Sur quelques problèmes de la géométrie des systoles
Résumé
This thesis is devoted to the study of universal geometric inequalities on Riemannian manifolds. More specifically, we focus our attention on free curvature relations between the volume and the length of short closed geodesics.
First, we study the extremal metrics of the isosystolic problem on surfaces. We establish a criterion for the extremality of metrics on orientable surfaces and examine the case of genus two.
Then, we show that the length of the shortest nontrivial trajectory among the simple closed geodesics of index one and the figure eight geodesics of null index bounds from below the area and the diameter of Riemannian spheres. We also discuss the rigidity and the softness of the filling radius with respect to the lengths of short closed geodesics arising from Morse theory on the one-cycle space.
Finally, we bound from below the volume and the diameter of complete Riemannian manifolds using the length of the shortest nontrivial geodesic loop. Furthermore, we obtain a lower bound on the growth of the volume of balls of ``small'' radius, as well as a homotopic finiteness result.
First, we study the extremal metrics of the isosystolic problem on surfaces. We establish a criterion for the extremality of metrics on orientable surfaces and examine the case of genus two.
Then, we show that the length of the shortest nontrivial trajectory among the simple closed geodesics of index one and the figure eight geodesics of null index bounds from below the area and the diameter of Riemannian spheres. We also discuss the rigidity and the softness of the filling radius with respect to the lengths of short closed geodesics arising from Morse theory on the one-cycle space.
Finally, we bound from below the volume and the diameter of complete Riemannian manifolds using the length of the shortest nontrivial geodesic loop. Furthermore, we obtain a lower bound on the growth of the volume of balls of ``small'' radius, as well as a homotopic finiteness result.
Cette thèse est consacrée à l'étude d'inégalités géométriques universelles sur les variétés riemanniennes. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux relations entre le volume et la longueur des courtes géodésiques fermées, sans hypothèse de courbure.
Tout d'abord, nous étudions les métriques extrémales pour le problème isosystolique sur les surfaces. Nous établissons un critère à l'extrémalité des métriques sur les surfaces orientables et examinons le cas de genre deux.
Ensuite, nous montrons que la longueur de la plus courte trajectoire non triviale parmi les géodésiques fermées simples d'indice un et les géodésiques en huit d'indice nul minore l'aire et le diamètre des sphères riemanniennes.
Nous discutons aussi de la rigidité et de la souplesse du rayon de remplissage par rapport aux longueurs de courtes géodésiques provenant de la théorie de Morse sur l'espace des 1-cycles.
Finalement, nous minorons le volume et le diamètre des variétés riemanniennes complètes à l'aide de la longueur du plus court lacet géodésique non trivial. De plus, nous obtenons une minoration de la croissance du volume des boules de ``petit'' rayon, ainsi qu'un résultat de finitude homotopique.
Tout d'abord, nous étudions les métriques extrémales pour le problème isosystolique sur les surfaces. Nous établissons un critère à l'extrémalité des métriques sur les surfaces orientables et examinons le cas de genre deux.
Ensuite, nous montrons que la longueur de la plus courte trajectoire non triviale parmi les géodésiques fermées simples d'indice un et les géodésiques en huit d'indice nul minore l'aire et le diamètre des sphères riemanniennes.
Nous discutons aussi de la rigidité et de la souplesse du rayon de remplissage par rapport aux longueurs de courtes géodésiques provenant de la théorie de Morse sur l'espace des 1-cycles.
Finalement, nous minorons le volume et le diamètre des variétés riemanniennes complètes à l'aide de la longueur du plus court lacet géodésique non trivial. De plus, nous obtenons une minoration de la croissance du volume des boules de ``petit'' rayon, ainsi qu'un résultat de finitude homotopique.