Quelques résultats mathématiques et simulations numériques d'écoulements régis par des modèles bifluides. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2000

Quelques résultats mathématiques et simulations numériques d'écoulements régis par des modèles bifluides.

Résumé

We study here some aspects of the hyperbolicity, in
particular the relationship between hyperbolicity and
well-posedness for Cauchy problem obtained from system of
partial differential equations from the fluid dynamics or
the numerical simulation of such a problem.

We first recall how linearization appears in the study of a
system of partial differential equations and how, the study
of this linearized equations, particularly its
well-posedness, leads to the introduction of hyperbolicity.

We then are interested in particular by the case of a four
equations model describing a two fluid flow with viscous
terms. We prove that the Cauchy problems obtained with the
linearized equations are well-posed even if they are
non-hyperbolic.

Finally, we consider a two fluid flow model with five
equations. This model comprises instead of algebraic
closure equation (e.g. perfect gaz law). The advection
operator is still non hyperbolic but all eigenvalues are
real. The numerical simulation of Ransom faucet flow with
this model does not show instability considering that the
linearized system is non hyperbolic and as the isentropic
four equations model does.
L'objet de cette thèse est l'étude de quelques aspects de
la notion d'hyperbolicité, plus particulièrement de la
relation qui existe entre celle-ci et la nature bien posée
d'un problème de Cauchy obtenu à partir d'un système
d'équations aux dérivées partielles issu de la mécanique
des fluides ou la réalisation de la simulation numérique
d'un tel problème.

Dans un premier temps, nous rappelons en quoi la notion de
linéarisation d'un système d'équations aux dérivées
partielles semble naturelle à l'étude de ce système et
comment, de l'étude de ces problèmes linéarisés, plus
précisément de leur nature bien posée c'est-à-dire de leur
stabilité, découle la notion d'hyperbolicité.

Nous étudions ensuite le cas particulier d'un modèle à
quatre équations pour un écoulement bifluide comportant des
termes de diffusion pour les équations de quantité de
mouvement. Nous montrons alors que, bien que, pour ce
système, l'ajout des termes de diffusion n'entraîne pas
l'hyperbolicité du modèle obtenu, les problèmes de Cauchy
construits à partir de la linéarisation de ce système,
autour d'un état constant, sont désormais bien posés.

Enfin, nous considérons le cas d'un modèle à cinq équations
pour un écoulement bifluide. Ce modèle ne nécessite pas de
loi de fermeture algébrique (équations d'état ou lois
tabulées) mais comporte une équation aux dérivées
partielles portant sur la pression. Le système ainsi
obtenu n'est pas hyperbolique mais les valeurs propres de
l'opérateur d'advection sont toutes réelles. La simulation
numérique d'un écoulement régi par ce modèle, pour le cas
test du robinet de Ransom, ne fait néanmoins pas apparaître
les instabilités numériques que la nature mal posée du
linéarisé nous faisait craindre et qui sont présentes dans
les simulations réalisées à partir du modèle isentropique
classique à quatre équations.
Fichier principal
Vignette du fichier
tel-00001347.pdf (5.62 Mo) Télécharger le fichier

Dates et versions

tel-00001347 , version 1 (17-05-2002)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00001347 , version 1

Citer

David Ramos. Quelques résultats mathématiques et simulations numériques d'écoulements régis par des modèles bifluides.. Mathématiques [math]. École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2000. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00001347⟩
732 Consultations
183 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More