Classification des cycles homoclines forces par symetrie dans R^4
Résumé
In this thesis we classify the
robust homoclinic cycles of $\mathbb{R}^4$ in presence of
symmetry. We limit our self to the case of a group G finite and,
without loss of generality, included in the orthogonal group
$O(4)$. We show that an infinite family of cycles exists; we give
the generators, a presentation and a detailed analysis of its
symmetry groups. The topology of the cycles is also studied.\\
These cycles
can
appear by a bifurcation from a trivial equilibrium so we can obtain
some
vector fields displaying such homoclinic cycles in the simplest
cases.
The numerical integration of such vector fields using the software
$\mathbf{Dstool}$ is possible; we visualize the projection of these cycles on
some planes.
robust homoclinic cycles of $\mathbb{R}^4$ in presence of
symmetry. We limit our self to the case of a group G finite and,
without loss of generality, included in the orthogonal group
$O(4)$. We show that an infinite family of cycles exists; we give
the generators, a presentation and a detailed analysis of its
symmetry groups. The topology of the cycles is also studied.\\
These cycles
can
appear by a bifurcation from a trivial equilibrium so we can obtain
some
vector fields displaying such homoclinic cycles in the simplest
cases.
The numerical integration of such vector fields using the software
$\mathbf{Dstool}$ is possible; we visualize the projection of these cycles on
some planes.
Dans cette thèse on classe les cycles homoclines robustes de
$\mathbb{R}^4$ en présence de symétries. On se borne au cas
ou le groupe de symétrie $G$ est fini et, sans perte de
généralité, contenu dans le groupe orthogonal $O(4)$. On
montre notamment qu'une famille infinie de cycles existe; on
fournit les générateurs, une présentation ainsi qu'une
étude détaillée de ses groupes de symétrie. La topologie
des cycles est aussi étudiée.\\ Ces cycles peuvent
appara\^{\i}tre par bifurcation à partir d'un équilibre
trivial. Ceci permet de déterminer des champs de vecteurs
possédant des branches de tels cycles homoclines dans les cas
les plus simples. En intégrant ces champs à l'aide du
logiciel de simulation de systèmes dynamiques $\mathbf{Dstool}$,
on visualise les projections de ces cycles sur des plans.
$\mathbb{R}^4$ en présence de symétries. On se borne au cas
ou le groupe de symétrie $G$ est fini et, sans perte de
généralité, contenu dans le groupe orthogonal $O(4)$. On
montre notamment qu'une famille infinie de cycles existe; on
fournit les générateurs, une présentation ainsi qu'une
étude détaillée de ses groupes de symétrie. La topologie
des cycles est aussi étudiée.\\ Ces cycles peuvent
appara\^{\i}tre par bifurcation à partir d'un équilibre
trivial. Ceci permet de déterminer des champs de vecteurs
possédant des branches de tels cycles homoclines dans les cas
les plus simples. En intégrant ces champs à l'aide du
logiciel de simulation de systèmes dynamiques $\mathbf{Dstool}$,
on visualise les projections de ces cycles sur des plans.