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Thèse Année : 2002

Étude de la stabilité de systèmes dynamiques quantiques

Olivier Bourget
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Résumé

The dynamics of a periodic time-dependent quantum system may be described by means of a Floquet operator on a suitable Hilbert space. The spectral properties of this operator give some information on the long time behaviour of the system. Two models are considered here. First, we investigate the spectral properties of the Floquet operators of some stationary quantum systems with a discrete and simple spectrum, periodically perturbed by a rank one kick. Our first result is the following: if the perturbation is suitably chosen and if the eigenvalues of the stationary system are given by a polynomial with some arithmetic condition on its coefficients, the spectrum of the Floquet operator is purely singular continuous. Then, we prove this is still true for some rank one perturbation, if the eigenvalues grow suitably fast and if the period belongs to a set of full Lebesgue measure. These results complete a previous study of Combescure. The spectral properties of a family of Floquet operators with a matrix representation displaying a band structure are also analyzed. Such operators appear in the study of some electronic conduction models. Although they depend on a larger number of parameters, we prove their spectral properties depend in some limit, on the choice of two infinite sequences of phases. We prove therefore that the spectrum remains purely singular if the phases are determined by some ergodic processes. However, the spectrum is absolutely continuous and may possess a finite number of isolated simple eigenvalues if the phases are built according to a periodic procedure.
La dynamique d'un système quantique gouverné par un hamiltonien dépendant du temps de manière périodique peut être décrite à l'aide d'un opérateur de Floquet sur un espace de Hilbert convenable. La nature spectrale de cet opérateur donne des informations sur le comportement temporel asymptotique du système concerné. Deux modèles sont étudiés dans cette perspective. La première analyse que nous proposons, prolonge et complète les travaux de Combescure sur la dynamique de systèmes stationnaires à spectre discret, simple, frappés périodiquement par une perturbation de rang un. Un premier résultat est d'abord obtenu lorsque les valeurs propres du système stationnaire sont données par un polynôme vérifiant certaines conditions arithmétiques et lorsque la perturbation est convenablement choisie : le spectre de l'opérateur de Floquet est alors singulier continu. Nous montrons ensuite que sous certaines hypothèses sur la croissance de ces valeurs propres, ce spectre reste singulier continu pour presque toute période au sens de la mesure de Lebesgue et tout choix convenable de la perturbation de rang un. Une stratégie d'analyse spectrale différente est ensuite mise en place pour une classe d'opérateurs de Floquet intervenant dans un modèle de conduction électronique et ayant une représentation matricielle multi-diagonale. Bien que ces opérateurs soient bâtis autour d'un nombre de paramètres plus importants, nous montrons que dans une certaine limite motivée par des considérations physiques, l'étude spectrale est seulement gouvernée par deux suites de phases. Lorsque ces phases sont engendrées par certains processus ergodiques, nous montrons que le spectre de l'opérateur de Floquet est singulier. Lorsqu'elles sont données par une construction périodique, le spectre présente une portion absolument continue ainsi qu'un nombre fini de valeurs propres isolées et de multiplicité un.
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Dates et versions

tel-00002171 , version 1 (18-12-2002)

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  • HAL Id : tel-00002171 , version 1

Citer

Olivier Bourget. Étude de la stabilité de systèmes dynamiques quantiques. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2002. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00002171⟩
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