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            <title xml:lang="fr">Dualité algébrique, structures et applications.</title>
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            <note type="commentary">Rapprteurs : Alicia Dickenstein, Professeur Loreano Gonzalez-Vega, Professeur Président : Roger Marlin Professeur Directeur : Bernard Mourrain examinateurs : Robert Rolland Maître de conférences Bruno Salvy Directeur de recherches Jean-Claude Yakoubsohn Professeur</note>
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            <abstract xml:lang="en">
              <p>In this thesis we are interested in quotient algebra structures and more specifically in contributions of duality theory to representation theory of coordinate algebras of zero-dimensional algebraic sets. The first part of the text is dedicated to representation theory of zero dimensional algebras and to interpolation problems. We generalize Lagrange and Hermite interpolation bases and give explicit formulae for them. In this framework we give closed formulae linking the roots of an algebraic system and its coefficients. In a second part, we apply those results to the design of iterative methods for simultaneous approximation of all roots of algebraic systems. The third part is dedicated to algebraic residues, their computational aspects and applications. In the last part, we are interested in algorithms linked to quasi-Toeplitz, quasi-Hankel, \ldots matrices as defined by B. Mourrain and V.Y. Pan. We show applications of such algorithms to asymptotic accelerations of iterative methods to solve algebraic systems.</p>
            </abstract>
            <abstract xml:lang="fr">
              <p>Dans cette thèse nous nous intéressons aux structures des algèbres quotients et plus particulièrement à l'apport de la dualité pour la représentation des algèbres de coordonnées. Une première partie de cette thèse est consacrée à la représentation des algèbres de dimension zéro et à des applications de la dualité à des problèmes d'interpolation. Nous généralisons les bases d'interpolation de Lagrange et d'Hermite pour lesquelles nous donnons des formules explicites. Cela nous permet de donner les relations entre les racines d'un système algébrique et ses coefficients avec des formules généralisant celles du cas univarié. Dans une deuxième partie, nous appliquons les résultats développés dans la première partie à la conception de méthodes itératives pour l'approximation simultanée de l'ensemble des solutions d'un système algébrique. La troisième partie est consacrée aux résidus algébriques. Nous rappelons les notions relatives aux algèbres de Gorenstein et à leurs représentations. Nous introduisons les bézoutiens et les résidus algébriques dont nous donnons des applications en géométrie. Dans la quatrième partie, nous nous intéressons à l'algorithmique associé aux matrices quasi-Toeplitz, quasi-Hankel, ..., telles que définies par B. Mourrain et V.Y. Pan. Nous en montrons des applications dans le cadre de l'algorithmique permettant des accélérations asymptotiques de méthodes de résolution de systèmes algébriques.</p>
            </abstract>
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