analyse pseudo-différentielle p-adique
Résumé
We develop the pseudodifferential analysis of operators acting on complex--valued functions on k?, where k is a non--Archimedean field. Our study relies on the generalization of classical concepts such as the the Weyl calculus and Heisenberg's representation, also on the characterization of classes of operators by means of their action on "families of coherent states". A Beals--type characterization of certain classes of operators, together with the usual application to a functional calculus of operators of weight one, is derived as a consequence. Since no derivation operators are available in the p--adic analysis, no Moyal--style expansion of the composition of two symbols is possible: nevertheless, using the theory of multiplicative characters of k^(×), we give a composition formula expressing the decomposition in "homogeneous terms" of a sharp--product f?f? in terms of the corresponding decompositions of the two factors.
On développe ici l'analyse pseudodifférentielle des opérateurs agissant sur les fonctions à valeurs complexes sur k?, où k est un corps non archimédien. Cette étude met en jeu, pour commencer, une géné-ralisation au cas p--adique des méthodes obligatoires (calcul de Weyl, représentation d'Heisenberg) ou souhaitables (utilisation de familles d'états cohérents et caractérisation des classes d'opérateurs par leur action sur ces états) de l'analyse pseudodifférentielle. On en déduit une caractérisation "à la Beals" de classes d'opérateurs, ainsi qu'un calcul fonctionnel des opérateurs de poids un. L'absence d'opérateurs de dérivation interdit bien sûr tout développement "à la Moyal" de la composition de deux symboles: mais, utilisant la théorie des caractères multiplicatifs de k^(×), on donne une formule de composition reliant la décomposition en termes "homogènes" d'un produit f?f? aux décompositions de cette espèce de f? et f?
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