modules homotopiques avec transferts et motifs génériques - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2002

modules homotopiques avec transferts et motifs génériques

Résumé

In this thesis, the (arithmetic) theory of cycle modules of M.Rost is related to the (more geometrical) theory of homotopy invariant sheaves with transfers of V. Voevodsky: the latter category is a localization of the category of cycle modules. Moreover, inspired by the construction of spectra in algebraic topology, homotopy module with transfers is introduced; these are defined as certain graded modules in the category of homotopy invariant sheaves with transfers. The category formed by these modules is equivalent to the category of cycle modules, thus extending the relation concerning homotopy invariant sheaves with transfers. This allows another proof to be given, using results of M. Rost on Chow groups with coefficients in cycle modules, that homotopy invariant sheaves with transfers have cohomology groups which are homotopy invariant, a result first obtained by V. Voevodsky. In addition, we deduce from the equivalence of categories above that the category of cycle modules is a Grothendieck abelian category equipped with a monoïdal structure for which Milnor K-theory is the unit. In addition, we show how the techniques used can be generalized to the derived category of motives defined by V. Voevodsky, thus obtaining formulae which bring into play the Gysin distinguished triangles. For example, we give a way to interpret ramification in the case of discrete valuation rings of equal characteristic by using deformation to the normal cone. The work concludes with the definition of certain pro-motives, which we baptize generic motives. These are pro-objects of the derived category of motives, which are associated to finite-type extensions of the base field (which is assumed to be perfect). The 'twists' of these motives by the motive Z(1)[1], or one of its powers by any relative integer, are also considered. In a surprising way, each part of the data of a cycle pre-module has an analogue which is a morphism of generic motives. Moreover, the structural relations on the data of a cycle pre-module hold in the category of generic motives, thus giving a geometrical incarnation of the rather arithmetic axioms of cycle pre-modules.
Dans cette thèse, je relie la théorie, plutôt arithmétique, des modules de cycles de M.Rost à la théorie plus géométrique des faisceaux avec transferts invariants par homotopie de V.Voevodsky. Je montre précisément que cette dernière catégorie est une localisation de la catégorie des modules de cycles. De plus, en s'inspirant de la construction des spectres de la topologie algébrique, j'introduit la notion de module homotopique avec transferts à partir des faisceaux invariants par homotopie avec transferts. La catégorie formée par ces modules est équivalente à la catégorie des modules de cycles, prolongeant ainsi l'affirmation concernant les faisceaux homotopiques. Ceci me permet de redémontrer à l'aide des résultats de M.Rost que les faisceaux invariants par homotopie avec transferts ont une cohomologie invariante par homotopie, résultat déjà obtenu par V.Voevodsky. Par ailleurs, j'en déduis que la catégorie des modules de cycles est abélienne de Grothendieck, et munie d'une structure monoïdale telle que la K-théorie de Milnor est l'élément neutre. Par ailleurs, nous montrons comment les techniques employées se prolongent à la catégorie des motifs, obtenant ainsi des formules qui mettent en jeu les triangles de Gysin. On donne ainsi un lemme qui permet d'interpréter géométriquement la ramification au sens des anneaux de valuations discrètes d'égales caractéristiques. Le travail s'achève sur la définition de certains pro-motifs baptisés motifs génériques. Ce sont des pro-objets de la catégorie dérivée des motifs mixtes, associés à des extensions de type fini du corps de base (supposé parfait). On considère aussi que ces motifs peuvent être "twistés" par le motif Z(1)[1] ou une de ses puissances par un entier relatif n quelconque. De manière surprenante, chacune des données des pré-modules de cycles a en fait son analogue en tant que morphisme de motifs génériques. Et par ailleurs, les relations structurales sur les données des pré-modules de cycles sont vraies dans la catégorie des motifs génériques, réalisant ainsi l'incarnation géométrique des axiomes plutôt arithmétiques des pré-modules de cycles.
Fichier principal
Vignette du fichier
tel-00002562.pdf (2.43 Mo) Télécharger le fichier
Loading...

Dates et versions

tel-00002562 , version 1 (19-03-2003)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00002562 , version 1

Citer

Frédéric Déglise. modules homotopiques avec transferts et motifs génériques. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2002. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00002562⟩
167 Consultations
280 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More