Les singularités des polynômes à l'infini et les compactifications toriques - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2002

Les singularités des polynômes à l'infini et les compactifications toriques

David Alessandrini
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 831140

Résumé

This thesis is devoted to the study of topology of complex polynomials. In the preliminaries, we present the various techniques we used, like stratified vector field and control conditions about this vector field, and toric varieties. We also introduce preparatories results about properties of toric compactification of polynomial's fibers.
In chapter 2, we give main results in the case of weighted toric compactification of affine space C^n. We prove affine polynomial triviality with the help of tame hypothesis on Malgrange-Paunescu's weight gradient : |grad_Wf(z)|_W is lower bounded. Thanks to this hypothesis we also prove that Kuo-Paunescu vector field after toric modification become a control vector field in relation to the divisor at infinity. This last condition give us the main condition : non-characteristic condition. We deduce local triviality in a divisor point.
Chapter 3 is based on Hamm, Lê and Mebkhout works. It describe
connection between the non-characteristic condition obtain in
chapter 2 and the notion of vanishing cycles and also local
triviality.

Chapter 4 generalised theorem of chapter 2 for any toric
compactification of affine space C^n.
Cette thèse porte sur l'étude de la topologie des fibres d'un polynôme complexe. Dans les préliminaires, on présente les différentes techniques qui seront utilisées comme les champs de vecteurs stratifiés et les conditions de contrôles sur ces champs, les variétés toriques. On présente aussi quelques résultats préparatoires sur les propriétés de la compactification torique des fibres d'un polynôme.

Le chapitre 2 donne les principaux résultats de cette thèse
dans le cas d'une compactification torique par poids de l'espace
affine C^n. On démontre la trivialité affine d'un
polynôme à l'aide de l'hypothèse de modération sur le
gradient par poids de Malgrange-Paunescu :
|grad_Wf(z)|_W est minoré. On démontre aussi grâce
à la même hypothèse de modération sur le gradient la
propriété locale suivante : le champ de vecteurs de
Kuo-Paunescu après modification torique donne un champ de
vecteurs controlé par rapport au diviseur à l'infini. Cette
dernière condition nous donne la condition la plus importante :
la condition non-caractéristique. On en déduit la trivialité
locale en un point du diviseur.

Le chapitre 3 est basé sur les travaux de Hamm, Lê et
Mebkhout. Il décrit la correspondance entre la condition
non-caractéristique obtenue au chapitre 2 et la notion de
cycles évanescents ainsi que celle de trivialité locale.

Le chapitre 4 présente la généralisation des théorèmes
du chapitre 2 pour une compactification torique quelconque de
l'espace affine C^n.
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Dates et versions

tel-00002671 , version 1 (02-04-2003)
tel-00002671 , version 2 (03-04-2003)
tel-00002671 , version 3 (15-03-2007)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00002671 , version 2

Citer

David Alessandrini. Les singularités des polynômes à l'infini et les compactifications toriques. Mathématiques [math]. Université d'Angers, 2002. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00002671v2⟩
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