Contributions à l'étude diophantienne des polylogarithmes et des groupes algébriques - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

Contributions to the diophantine study of polylogarithms and algebraic groups

Contributions à l'étude diophantienne des polylogarithmes et des groupes algébriques

Résumé

The first part of this thesis is dedicated to irrationality of values of polylogarithms. First, we exhibit changes of variables between multiple integrals, which allow us to generalize Rhin-Viola's groups and to connect Beukers' and Vasilyev's integrals to Sorokin's. Then, in a joint work with Rivoal, we write a very general hypergeometric series as the unique solution of a Padé approximant problem. We prove in this way that among the three numbers $\Li_s(1/2)+\frac(\log(1/2)^s)((s-1)!)$, $s \in \(2,3,4\)$, at least one is irrational. The second part is about transcendence in algebraic groups. First, we prove for some varieties a conjecture of Roy which is equivalent to the algebraic independence conjecture of logarithms of algebraic numbers. Then we prove an interpolation lemma in a commutative algebraic group $G$, which is a generalization (with multiplicities) of Masser's. When $G$ is linear, this lemma (and Fourier-Borel duality) can be stated in terms of Hopf algebras.
La première partie de la thèse porte sur l'irrationalité de valeurs de polylogarithmes. On exhibe des changements de variables entre intégrales multiples, qui généralisent les groupes de Rhin-Viola et relient les intégrales de Beukers et Vasilyev à celles de Sorokin. Puis, en commun avec Rivoal, on écrit comme solution unique d'un problème d'approximation de Padé une série hypergéométrique très générale. On en déduit notamment que l'un au moins des nombres $\Li_s(1/2)+\frac(\log(1/2)^s)((s-1)!)$, $s \in \(2,3,4\)$, est irrationnel. La seconde partie est consacrée à la transcendance dans les groupes algébriques. On démontre pour certaines variétés une conjecture de Roy (équivalente à la conjecture d'indépendance algébrique des logarithmes). Puis on prouve un lemme d'interpolation dans un groupe algébrique commutatif $G$, qui généralise celui de Masser en y incluant des multiplicités. Quand $G$ est linéaire, on exprime ce lemme et la dualité de Fourier-Borel en termes d'algèbres de Hopf.
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Dates et versions

tel-00002988 , version 1 (11-06-2003)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00002988 , version 1

Citer

Stéphane Fischler. Contributions à l'étude diophantienne des polylogarithmes et des groupes algébriques. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00002988⟩
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