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" ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES ELLIPTIQUES DU QUATRIÈME ORDRE AVEC EXPOSANTS CRITIQUES SUR LES VARIÉTÉES

RIEMANNIENNES COMPACTES AVEC ET SANS BORD."

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Sur (V_{n},g) une variété riemannienne compacte de dimension n > 4 et de métrique g, on considère l’équation aux dérivées partielles :

(E) Δ^{2}u + ∇^{i} [a(x)∇_{i}u] + h(x)u = λf(x)u|u|^{N−2} (1)

où a(x),h(x) et f(x) sont des fonctions C^{∞}, N = \frac{2n}{n−4} et Δφ =

−∇^{i}∇_{i}φ.

On désigne pour H_{2}^{q}(V) l’espace de Sobolev standard qui est le complètement de

C_{k}^{q}(V) = {φ ∈ C^{∞}(V) , ∥ φ ∥_{k,q}≤ ∞} ,

par rapport à la norme ∥ φ ∥_{k,q}= ∑_{l=0}^{k} ∥ ∇^{l}φ ∥_{q}. On note H_{2}, l’espace H_{2}^{2} muni de la norme équivalente

∥ φ ∥_{H_{2}}= (∥ Δφ ∥_{2}^{2} + ∥ ∇φ ∥_{2}^{2} + ∥ φ ∥_{2}^{2})^{\frac{1}{2}} .

Le problème peut être énoncé de la façon suivante :

Existe-il une constante λ et une fonction u ∈ H_{2}(V_{n}) (u ≢ 0) solutions de l’équation (E)?

Pour répondre à la question on considère les deux cas:

1) f(x)= Const,

2) f(x) fonction partout positive.

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Inégalites de Sobolev

Si \frac{1}{p} = \frac{1}{q} − \frac{2}{n}(1 ≤ q < \frac{n}{2}) alors: l’inclusion H_{2}^{q} ⊂ L_{p} est continue et pas compacte, l’inclusion H_{2}^{q} ⊂ L_{q} est continue et compacte alors il existe un couple de constantes A,C tel que pour tout φ ∈ H_{2}^{q} vérifie:

∥ φ ∥_{p}≤ C ∥ φ ∥_{H_{2}^{q}} +A ∥ φ ∥_{q} . (2)

La meilleure constante K_{2}= inf C telle que A(C) existe est strictement positive.

THEOREME 1. Soient une variété riemannienne compacte (V_{n},g) et q un réel 1 ≤ q < \frac{n}{2}. La meilleure constante K_{2} introduite plus haut ne dépend que de n et de q (K_{2} = K_{2}(n,q))). Ainsi pour tout ϵ > 0 il existe une constante A(ϵ) telle que tout φ ∈ H_{2}^{q} vérifie

∥ φ ∥_{p}≤ K_{2}(n,q)(1 + ϵ) ∥ φ ∥_{H_{2}^{q}} +A(ϵ) ∥ φ ∥_{q} . (3)

COROLLAIRE 1. Sur une variété riemannienne compacte (V,g) de dimension n > 4 , pour tout ϵ > 0 il existe une constante A(ϵ) telle que ∀f ∈ H_{2}(V) vérifie

∥ f ∥_{N}^{2}≤ (1 + ϵ)K_{2}^{2} ∫_{V} |Δf|^{2}dV + A(ϵ) ∫_{V} |f|^{2}dV (4)

avec N = \frac{2n}{n−4} et K_{2}^{−2}(n,2) = π^{2}n(n−4)(n^{2} −4) \{\frac{Γ(\frac{n}{2})}{Γ(n)}\}. K_{2}(n,2) est obtenu en utilisant les fonctions u_{λ} extrémales du problème Δ^{2}u = u^{N−1} sur IR^{n} avec

u_{λ}(r) = C_{n} [\frac{λ}{1 + λ^{2}r^{2}}]^{\frac{(n−4)}{2}}

où C_{n} est une constante qui ne dépend que de n.

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Démonstration du théorème 1

•V = IR^{n}: on montre que pout tout ψ ∈ H_{2}^{q}(IR^{n})

∥ ψ ∥_{p}≤ K_{2}(n,q) ∥ ∇^{2}ψ ∥_{q} (5)

•V = (V,g) : on considère un recouvrement fini de boules avec atlas associé: {B_{i}(δ),φ_{i}}_{1≤i≤m} , et une partition de l’unité {a_{i}}_{1≤i≤m} subordonnée à ce recouvrement.

•∀f ∈ C^{∞}(V), ∥ f ∥_{p}^{q}=∥ f^{q} ∥\frac{p}{q}= ∑_{i=1}^{m} ∥ ai^{\frac{1}{q}}f ∥_{p}^{q} . (6)

• On applique la (5) à ψ = ψ_{i} = (ai^{\frac{1}{q}}f) ∘ φ_{i}^{−1} :

(∫_{Ω_{i}} |ψ_{i}|^{p}dE)^{\frac{1}{p}} ≤ K_{2}(n,q) (∫_{Ω_{i}} |∇_{E}^{2}ψ_{i}|^{q})^{\frac{1}{q}} (7)

avec Ω_{i} = φ_{i}(B_{i}).

• (V,g) est une variété riemannienne compacte alors ∀ϵ > 0 il existe une constante C(ϵ) telle que

∥ ψ ∥_{p}^{q}≤ μ^{\frac{nq}{2p}} K_{2}^{q}λ^{−\frac{n}{2}} [(1 + ϵ) ∥ ∇_{g}^{2}ψ ∥_{q}^{q} +C(ϵ) ∥ ∇_{g}ψ ∥_{q}^{q}] (8)

• D’après la (6),(8) on a

∥ f ∥_{p}^{q}≤ μ^{\frac{nq}{2p}} K_{2}^{q}λ^{−\frac{n}{2}}×

[(1 + ϵ)(1 + η) ∫_{V} |∇^{2}f|^{q}dV + C̃ ∫_{V} (|f|^{q} + |∇_{g}f|^{q}) dV ] (9)

• D’après l’inégalité d’interpolation: ∀ϵ > 0 il existe un δ(ϵ) > 0 et B(ϵ) tels que λ,μ ∼ 1 et ∀f ∈ C^{∞}(V):

∥ f ∥_{p}^{q}≤ (1 + ϵ)K_{2}^{q}(n,q) ∥ ∇^{2}f ∥_{q}^{q} +B(ϵ) ∥ f ∥_{q}^{q} (10)

Mais les fonctions C^{∞}(V) sont denses en H_{2}^{q}(V) et donc la (10) , équivalent à la (3), est vérifiée ∀f ∈ H_{2}^{q}(V). ■

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Étude de l’équation (E) avec f(x)=Const.

Pour résoudre l’équation (E) on utilise la méthode variationnelle.

Considérons la fonctionnelle sur H_{2}:

I(φ) = ∫_{V} |Δφ|^{2}dV − ∫_{V} a(x)∇^{i}φ∇_{i}φdV + ∫_{V} h(x)φ^{2}dV

L’équation d’Euler du problème variationnel suivant:

infI(φ) pour tout φ ∈ A = {u ∈ H_{2} , ∥ u ∥_{N}= 1}

est l’équation (E) avec f(x) une constante . Notons μ cet inf.

THEOREME 2. μ étant l’inf défini juste au dessus et K_{2} = K_{2}(n,2), on a toujours K_{2}^{2}μ ≤ 1. Si K_{2}^{2}μ < 1 , l’équation (E) avec f(x) constante admet une solution ψ ≢ 0 dans H_{2} qui minimise le problème variationnel. ψ ∈ C^{5,α} pour un certain α ∈ (0,1) dans le cas général mais par exemple pour les dimensions 5 ,6 ,8 et pour ψ > 0, ψ ∈ C^{∞} .

Démonstration:

• On considère, comme a fait Yamabe, une famille d’équations approchées : ∀ 2 < q < N:

(E_{q}) Δ^{2}u + ∇^{ν} [a(x)∇_{ν}u] + h(x)u = λu|u|^{q−2}.

qui est l’équation d’Euler du problème variationnel

infI(φ) pour tout φ ∈ A_{q} = {u ∈ H_{2} , ∥ u ∥_{q}= 1} .

Notons μ_{q} cet inf.

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• Pour résoudre l’équation (E_{q}) on applique la méthode variationnelle :

(i) On montre que μ_{q} est fini.

(ii) On prend une suite minimisante {φ_{i}}_{i} de laquelle on pourra extraire une sous-suite convergente. Soit {φ_{i}} ⊂ A_{q} telle que I(φ_{i}) ⟶ μ_{q}. On peut supposer que I(φ_{i}) < 1 + μ_{q} i ∈ IN.

(iii) On montre que la suite est bornée dans H_{2},⇒ (théorémes de Banach et Kondrakov) il existe une fonction φ_{q} ∈ H_{2} et une soussuite {φ_{j}} ⊂ {φ_{i}} telles que :

α) φ_{j} ⟶ φ_{q} faibl. dans H_{2} ⇒ I(φ_{q}) ≤ lim_{j⟶∞}I_{q}(φ_{j}) = μ_{q}

β) φ_{j} ⟶ φ_{q} fort. dans L_{q}⇒ ∥ φ_{q} ∥_{q}= 1, φ_{q} ∈ A_{q} , I(φ_{q}) ≥ μ_{q}.

En conséquence I(φ_{q}) = μ_{q}, φ_{q} réalise le minimum , ∥ φ_{q} ∥_{q}= 1.

(iv) On calcule l’équation d’Euler du problème variationnel et on déduit que φ_{q} vérifie faiblement dans H_{2} l’équation

Δ^{2}φ_{q} + ∇^{ν} (a(x)∇_{ν}φ_{q}) + h(x)φ_{q} = μ_{q}φ_{q}|φ_{q}|^{q−2}.

• Régularité de la fonction φ_{q}: en appliquant la méthode bootstrap on montre :

LEMME 2. φ_{q} ∈ L_{∞} , ∀ q avec 2 < q < N. Ensuite pour les théorèmes de régularités classique il resulte que φ_{q} ∈ C^{5,α} pour un certain α ∈ (0,1).

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• Prenons q ⟶ N avec φ_{q} solution de l’équation (E_{q}).

Comme la suite {φ_{q}} est bornée dans H_{2}, il existe une fonction ψ ∈ H_{2} et une sous-suite {φ_{q_{i}}} telles que φ_{q_{i}} ⟶ ψ faiblement dans H_{2} et fortement dans L_{2} et H_{1} (Théorèmes de Banach et Kondrakov). Alors pour ∀ w ∈ H_{2}

∫_{V} ΔwΔφ_{q_{i}}dV − ∫_{V} a(x)∇^{ν}w∇_{ν}φ_{q_{i}}dV + ∫_{V} h(x)wφ_{q_{i}}dV

⟶ ∫_{V} ΔwΔψdV − ∫_{V} a(x)∇^{ν}w∇_{ν}ψdV + ∫_{V} h(x)wψdV.

De plus

∫_{V} wφ_{q_{i}}|φ_{q_{i}}|^{q_{i}−2}dV ⟶ ∫_{V} wψ|ψ|^{N−2}dV

pour la convergence faible dans L_{\frac{N}{N−1}} de |φ_{i}|^{q_{i}−2}φ_{i} ⟶ |ψ|^{N−2}ψ.

• On montre que les constantes μ_{q_{i}} sont uniformément bornées.

• ψ vérifie faiblement dans H_{2} l’équation

Δ^{2}ψ + ∇^{ν} (a(x)∇_{ν}ψ) + h(x)ψ = μ_{N}ψ|ψ|^{N−2},

avec lim_{q_{i}⟶N}μ_{q_{i}} = μ_{N} = μ.

• Régularité de la solution ψ: ψ ∈ L_{∞} (M.Vaugon [1979]), puis ψ ∈ C^{5,α} par la méthode de bootstrap enfin suivant la régularité de la fonction γ : x ⟶ |x|^{\frac{8}{n−4}} , ψ ∈ C^{∞} pour n= 5, 6 ,8 (γ ∈ C^{∞}) ou si ψ > 0(γ ∈ C^{∞} pour x > 0).

• Les μ_{q} et μ sont tous du même signe. ■

[figure]

La solution ψ est non triviale.

LEMME 3. Pour tout η > 0 il existe une constante C(η) telle que tout f ∈ C^{∞} vérifie:

∫_{V} |∇f|^{2}dV ≤ η ∫_{V} |Δf|^{2}dV + C̃(η) ∫_{V} f^{2}dV . (5)

Démonstration que ψ ≢ 0:

On a que 1 =∥ φ_{q} ∥_{q}^{2}≤ [∥ φ_{q} ∥_{N}^{q} V^{1−\frac{q}{N}} ]^{\frac{2}{q}} alors d’après (4) du Corollaire 1 pour η̃ choisi petit

V ^{\frac{2}{N} −\frac{2}{q}} ≤∥ φ_{q} ∥_{N}^{2}≤ (1 + ϵ)K_{2}^{2} ∫_{V} |Δφ_{q}|^{2}dV + a(ϵ) ∫_{V} |φ_{q}|^{2}dV

= (1 + ϵ)K_{2}^{2} {(1 + η̃) [μ_{q} + ∫_{V} a(x)∇^{i}φ_{q}∇_{i}φ_{q}dV − ∫_{V} h(x)φ_{q}^{2}]

−η̃∫_{V} |Δφ_{q}|^{2}dV } + a(ϵ) ∫_{V} |φ_{q}|^{2}dV. (6)

D’après le lemme 3 pour tout η > 0 il existe un C(η) tel que

∫_{V} a(x)∇^{i}φ_{q}∇_{i}φ_{q}dV ≤ supa(x) [η ∫_{V} |Δφ_{q}|^{2}dV + C̃(η) ∫ φ_{q}^{2}dV ] .

En utilisant la précé dente pour un choix convenable de η̃ on a:

V ^{\frac{2}{N} −\frac{2}{q}} − (1 + ϵ)K_{2}^{2}(1 + η̃)μ_{q} ≤ C(ϵ,η̃) ∫_{V} φ_{q}^{2}dV (7)

Quand q ⟶ N, V ^{\frac{2}{N} −\frac{2}{q}} ⟶ 1, K_{2}^{2}μ < 1 à partir d’un certain q_{0} < N alors pour q > q_{0} et ϵ et η bien choisis ∫_{V} φ_{q}^{2}dV ≥ C > 0 et comme φ_{q_{i}} ⟶ ψ fortement dans L_{2}, ∫_{V} ψ^{2}dV > 0 et ψ ≢ 0. ■

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Sur la positivité de ψ , solution de l’équation (E).

PROPOSITION 1. Si a(x) ≡ a = −2α et h(x) ≡ b = α^{2} le minimiseur ψ de la fonctionelle I_{q}(φ) sur A_{q}(resp I(φ) sur (A)) est strictement positif et C^{∞}. Même résultat si les racines de l’équation x^{2} + ax + b = 0 sont positives.

Démonstration:

• Soient α > 0 une constante et φ ∈ A_{q} . Comme l’opérateur Δ + α est inversible, il existe une fonction ϕ vérifiant l’équation

Δϕ + αϕ = |Δφ + αφ|. (8)

• Si Δφ + αφ ≥ 0 (resp ≤ 0) nous avons évidemment ϕ = φ (resp ϕ = −φ) , si non nous démontrons, en utilisant le principe de maximum, que ϕ > |φ| et que I(φ) = I(ϕ) .

• Si la solution de notre problème variationnel φ_{q} ≥ 0 (resp.ψ ≥ 0) le principe du maximum entraîne φ_{q} > 0 (resp. ψ > 0). Si non on pose φ = φ_{q} et on prend une constante k < 1 telle que kϕ ∈ A_{q}. Ce qui entraîne I(kϕ) < I(φ_{q}) = μ_{q}. D’où φ_{q} > 0 pour tout q. La fonction ψ qui est limite p.p. d’une suite φ_{q_{i}} donc pour le raisonnemment au dessus ψ > 0. ■

Applications du théorème 2.

THEOREME 3. Soit J(φ) = \frac{I(φ)}{∥φ∥_{N}^{2}} . Si J(1) = V ^{\frac{4−n}{n}} ∫_{V} h(x)dV ≤ K^{−2} alors il existe une solution. Ainsi si ∫_{V} h(x)dV ≤ K^{−2}V ^{\frac{n−4}{n}} alors quelque soit a(x) l’équation (E) avec f(x) = Const. a une solution .

Démonstration: Si μ < J(1) ≤ K^{−2} le théorème 2 s’applique. Si μ = J(1) , c’est dire que 1 est solution de l’équation . ■

[figure]

THEOREME 4. Lorsque n > 6 , si en un point P ∈ V , R(P) > −C(n)a(P) avec C(n) = \frac{2n(n−1)}{n^{2}−2n−4} > 0 alors (E) avec f(x) = Const., a une solution ψ ∈ H_{2} . Si ∥ ψ ∥_{N}= 1 , f(x) = μ.

Démonstration: Considérons un système de coordonnées normales géodésiques centré en P, un point de la variété. Lorsque n>6 faisons un développement limité de J(λφ_{k}) pour k ⟶ 0 , avec la suite

λφ_{k} = λ(r)(r^{2} + k^{2})^{−\frac{(n−4)}{2}},

λ(r) est une fonction C^{∞} égale à 1 sur B_{p}(ϵ) et 0 sur V \ B_{p}(2ϵ).

• Nos calculs montrent que

J(λφ_{k}) ⟶ K^{−2} {1 − k^{2} [a(P)C_{1}(n) + R(P)C_{2}(n)] + O(k^{3})}

et

μ ≤ K^{−2} = \frac{n(n + 2)(n − 2)(n − 4)}{2^{4}} ωn^{\frac{4}{n}}.

• Et nous avons μ < K^{−2} s’il existe un point P tel que

R(P) > −C(n)a(P) = −\frac{2n(n − 1)}{n^{2} − 2n − 4}a(P).

D’après le théorème 2, il existe alors une solution non triviale de l’équation (E).

THEOREME 5. Lorsque n = 6, s’il existe un point P ∈ V où R(P) > −3a(P) alors (E) a une solution ψ ∈ H_{2}.

[figure]

Etude de l’équation (E) avec f(x) partout positive.

Considérons la fonctionnelle sur H_{2} :

J(φ) = \frac{∫_{V} |Δφ|^{2}dV − ∫_{V} a(x)|∇φ|^{2}dV + ∫_{V} h(x)φ^{2}(x)dV}{[∫_{V} f(x)|φ|^{N}(x)dV ]^{2/N}}

où φ ∈ H_{2} et φ ≢ 0. L’équation d’Euler du problème variationnel suivant:

(∗) Inf J(φ), φ ∈ A = {φ ∈ H_{2}(V),φ ≢ 0}

est l’équation (E). Notons ν cet inf.

THEOREME 6. ν ≤ K_{2}^{−2}[supf]^{−2/N}. Si ν < K_{2}^{−2}[supf]^{−2/N}, l’équation (E) a une solution ψ ∈ H_{2}, ψ ≢ 0,ψ ∈ C^{(5,α)} α ∈ (0.1) (C^{∞} si n=5,6,8 ou ψ > 0) qui minimise le problème (*).

Démonstration: Nous considérons les équations approchées suivantes: ∀ 2 < q < N:

Δ^{2}φ + ∇ [a(x)∇φ] + h(x)φ = λf(x)φ|φ|^{q−2} (E_{q})

et la fonctionnelle

J_{q}(φ) = \frac{∫_{V} |Δφ|^{2}dV − ∫_{V} a(x)|∇φ|^{2}dV + ∫_{V} h(x)φ^{2}(x)dV}{[∫_{V} f(x)|φ|^{q}(x)dV ]^{2/q}} .

On définit

λ_{q} = Inf J_{q}(φ), pour φ ∈ H_{2}(V_{n}) , φ ≢ 0.

• En manière analogue a celle du théorème 1 on prouve que:

∀ 2 < q < N, ∃ φ_{q} ∈ H_{2}(V), φ_{q} ≢ 0 avec ∫_{V} f(x)|φ_{q}|^{q}dV = 1,

solution faible de l’équation (E_{q}).

• La suite {φ_{q}}_{1<q<N} est bornée dans H_{2} et la suite {λ_{q}}_{1<q<N} est bornée.

[figure]

• Prenons une suite q ⟶ N avec φ_{q} solution de l’équation (E_{q}). Comme la suite {φ_{q}} est bornée dans H_{2},il existe une fonction ψ ∈ H_{2} et une sous-suite q_{i} ⟶ N telles que φ_{q_{i}} ⟶ ψ faiblement dans H_{2}, fortement dans H_{1} et L_{2} et p.p. (Th Banach et Kondrakov).

• D’après la convergence faible pour tout g ∈ H_{2}

∫_{V} ΔgΔφ_{q_{i}}dV −∫_{V} a(x)∇^{ν}g∇_{ν}φ_{q_{i}}dV +∫_{V} h(x)gφ_{q_{i}}dV

⟶ ∫_{V} ΔgΔψdV − ∫_{V} a(x)∇^{ν}g∇_{ν}ψdV + ∫_{V} h(x)gψdV.

• φ_{q_{i}}|φ_{q_{i}}|^{q_{i}−2} vers ψ|ψ|^{N−2} faiblement dans L_{\frac{N}{N−1}} ainsi fg ∈

(L_{\frac{N}{N−1}})^{∗} d’où

∫_{V} fgφ_{q_{i}}|φ_{q_{i}}|^{q_{i}−2}dV ⟶ ∫_{V} fgψ|ψ|^{N−2}dV.

• On déduit que ψ vérifie faiblement dans H_{2} l’équation

Δ^{2}ψ + ∇ [a(x)∇ψ] + h(x)ψ = λ_{N}f(x)ψ|ψ|^{N−2}

avec λ_{N} limite d’une sous-suite convergente extraite de {λ_{q_{i}}} qui est bornée.

• La solution ψ est non triviale et elle est C^{5,α}(0 < α < 1). ■

PROPOSITION 2. Les λ_{q} sont soit tous positifs, soit tous négatifs, soit tous nuls. La fonction q ⟶ |λ_{q}| est décroissante et continue. De plus λ_{N} = lim_{q_{i}⟶N}λ_{q_{i}} est égal à ν = InfJ(φ) pour φ ∈ H_{2} , φ ≢ 0 dans le cas positif.

PROPOSITION 3. Si a(x) ≡ a = −2α et h(x) ≡ b = α^{2}, le mi= nimiseur ψ de la fonctionnelle J(φ) sur H_{2} est strictement positif et C^{∞}. Même résultat si les racines de l’équation x^{2} + ax + b = 0 sont positives.

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Applications du théorème 6.

THEOREME 7. Lorsque n>6, si en un point P où f est maximum, a(P)C(n)+R(P)+C̃(n)\frac{Δf}{f(P)} > 0 alors (E) a une solution ψ ∈ H_{2}.

Démonstration: Lorsque n>6 faisons un développement limité de J(λφ_{k}) pour k ⟶ 0, avec la suite

λφ_{k} = λ(r)(r^{2} + k^{2})^{−\frac{(n−4)}{2}}.

Nos calculs montrent que:

J(λφ_{k}) = K_{2}^{−2}f(P)^{−\frac{2}{N}} ×

\{1 − k^{2} [a(P)C_{1}(n) + R(P)C_{2}(n) + C_{3}(P)\frac{Δf}{f(P)}] + O(k^{3}).\}

D’où

J(λφ_{k}) ⟶ K_{2}^{−2}f(P)^{−\frac{2}{N}} et ν ≤ K_{2}^{−2}f(P)^{−\frac{2}{N}} .

L’inégalité du théorème 6: ν < K_{2}^{−2}f(P)^{−\frac{2}{N}} est vérifiée s’il existe un point P où f est maximum tel que

R(P) + a(P)C(n) + C̃(n)\frac{Δf}{f(P)} > 0,

avec C̃ < 0. En conséquence, d’après le théorème 6, il existe une solution non triviale de l’équation (E). ■

THEOREME 8. Lorsque n = 6, s’il existe un point P ∈ V où R(P) > −3a(P) alors (E) a une solution ψ ∈ H_{2}, quelle que soit la fonction f(x) partout positive.

[figure]

Sur (\overline{W} ,g), une variété riemannienne, compacte C^{∞} et à bord ∂W on considère le problème elliptique du quatrième ordre avec données au bord:

(P) \{ \begin{matrix}Δ^{2}u + ∇^{i} [a(x)∇_{i}u] + h(x)u = λf(x)u|u|^{N−2} sur W_{n}, \\ Δu|_{∂W} = γ|_{∂W} u|_{∂W} = η, \end{matrix}

γ et η sont deux fonctions C^{∞} sur (\overline{W} ,g), N = \frac{2n}{n−4}, λ est un réel à déterminer, a(x), h(x) et f(x) comme précédemment.

On considère pour 2 < q < N le problème suivant:

(P_{q}) \{ \begin{matrix}Δ^{2}v + ∇^{i} [a∇_{i}v] + hv = λf(v + φ)|v + φ|^{q−2} + g & sur W_{n} \\ Δv|_{∂W} = 0 v|_{∂W} = 0, \end{matrix}

où g et φ sont des fonctions C^{∞}(\overline{W}) , φ ≢ Const et pour tout λ g(x) + λf(x)φ(x)|φ(x)|^{N−2} ≢ 0. Soit

J_{q}(v) = ∫_{W} |Δv|^{2} dW − ∫_{W} a(x)|∇v|^{2} dW + ∫_{W} h(x)v^{2} dW

−2 ∫_{W} g(x)vdW

la fonctionnelle associée.

On définit

A = H̊_{1} ∩ H_{2} , A_{q} = {w ∈ A : ∫_{W} f(x)|w + φ|^{q}dW = μ,μ > 0}

λ_{q} = Inf J_{q}(v) pour tout v ∈ A_{q}

[figure]

THEOREME 9. Pour 2 < q < N, il existe un réel λ = λ_{q} et une

fonction v_{q} ∈ A_{q} solution du problème P_{q} avec J_{q}(v_{q}) = λ_{q}.

Démonstration:

(i) λ_{q} est fini. (A_{q} n’est pas vide et λ_{q} > Const).

(ii) Soit {v_{i}} ∈ A_{q} une suite minimisante :

lim_{i⟶∞}J_{q}(v_{i}) = λ_{q}.

Nous montrons que la suite {v_{i}} est bornée dans H_{2}(W).

(iii) Il existe une fonction v_{q} ∈ H_{2} et une sous -suite de {v_{i}} qui converge a v_{q} faiblement dans H_{2} et fortement dans L_{q}, H_{1} (Th Banach et Kondrakov). D’où ∫_{V} f(x)|v_{q} +φ|^{q} = μ et v_{q} réalise le minimum de la fonctionnelle, λ_{q} = J(v_{q}).

(iv) v_{q} satisfait l’équation d’Euler du problème variationnel considéré. On a que v_{q} vérifie au sens de distribution, sur W

Δ^{2}v_{q} + ∇^{i} [a∇_{i}v_{q}] + hv_{q} = β_{q}f(v_{q} + φ)|v_{q} + φ|^{q−2} + g (21)

sur ∂W:Δv_{q} = 0 et en général λ_{q} ≢ β_{q}:

λ_{q} = β_{q} ∫_{W} f(x)|v_{q} + φ|^{q−2}(v_{q} + φ)v_{q}dW − ∫_{W} gv_{q}dW.

(v) En plus v_{q} ≢ 0 car v_{q} ≡ 0 n’est pas solution faible dans A de l’équation (21). Si non on aurait g(x) = −β_{q} ∫_{W} f(x)|φ|^{q−2}φdW, ce qui est contraire à l’hypothèse pour q voisin de N.

(vi) La suite {β_{q}} est bornée.

(vii) Régularité pour v_{q}. Comme v_{q} vérifie (21), v_{q} ∈ C^{5,α}(W) pour un certain α ∈ (01).

[figure]

THEOREME 10. Il existe un réel λ et une fonction non identiquement nulle v dans A_{N} = {w ∈ A : ∫_{W} f(x)|w + φ|^{N}dV = μ} , solutions du problème

(P_{N}) \{ \begin{matrix}Δ^{2}v + ∇^{i} [a∇_{i}v] + hv = λf(v + φ)|v + φ|^{N−2} + g & sur W_{n} \\ Δv|_{∂W_{n}} = 0 v|_{∂W_{n}} = 0. \end{matrix}

Démonstration:

• Prenons une suite q ⟶ N avec v_{q} solution de (P_{q}). La suite {v_{q}} est bornée dans H_{2} alors il existe une fonction v ∈ H_{2} et une sous-suite q_{i} ⟶ N telles que v_{q_{i}} ⟶ v faiblement dans H_{2}, fortement dans H_{1} et donc dans L_{2} et p.p.(th de Kondrakov et Banach).

D’après la convergence faible pour tout ψ ∈ A

∫_{W} ΔψΔv_{q_{i}}dW −∫_{W} a∇^{ν}ψ∇_{ν}v_{q_{i}}dW +∫_{V} hψv_{q_{i}}dW −2 ∫_{W} gψdW

⟶ ∫_{W} ΔψΔvdW −∫_{W} a∇^{ν}ψ∇_{ν}vdW +∫_{V} hψvdW −2 ∫_{W} gvdW.

• De plus

∫_{W} f(v_{q_{i}} + φ)|v_{q_{i}} + φ|^{q_{i}−2}ψdW ⟶ ∫_{W} f(v + φ)|v + φ|^{N−2}ψdW

pour la convergence faible de (v_{q_{i}} +φ)|v_{q_{i}} +φ|^{q_{i}−2} vers (v +φ)|v + φ|^{N−2} dans L_{\frac{N}{N−1}} (convergence p.p + suite bornée dans L_{\frac{N}{N−1}} alors convergence faible dans L_{\frac{N}{N−1}} ).

• La fonction v vérifie au sens faible dans A le problème (P) avec, λ = lim_{q_{i}⟶N}β_{q_{i}} (où d’une sous-suite) puisque la suite {β_{q_{i}}}_{2<q_{i}<N} est uniformément bornée. ■

[figure]

THEOREME 11. Le problème (P) est équivalent au problème (P_{N}) avec u = v + φ, où φ ∈ C^{∞} est la solution de l’équation du deuxième ordre:

(Q) \{ \begin{matrix}Δφ(x) = γ(x) dans W, \\ φ(x)|_{∂W_{n}} = η(x)|_{∂W_{n}}. \end{matrix}

v est alors la solution du problème (P_{N}).

Démonstration: En effet si on pose u = v + φ le problème (P) devient :

(P) \{ \begin{matrix}Δ^{2}v + ∇^{i} [a∇_{i}v] + hv = λf(v + φ)|v + φ|^{N−2} + g W_{n}, \\ Δv|_{∂W} = v|_{∂W_{n}} = 0, \end{matrix}

où la fonction −g(x) = Δ^{2}φ + ∇^{i} [a(x)∇_{i}φ] + h(x)φ.

Sous l’hypothèse g(x)+λf(x)φ(x)|φ(x)|^{N−2} ≢ 0 on a montré que v ≢ 0 et donc la fonction u = v + φ solution du problème (P).

Si g(x) + λf(x)φ(x)|φ(x)|^{N−2} ≡ 0 alors u = φ est la solution cherchée. ■