\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\topmargin=0.5mm \oddsidemargin=2mm\evensidemargin=-25mm
\newcommand{\lem}{\bf LEMME}
\newcommand{\teo}{\bf THEOREME}
\newcommand{\prop}{\bf PROPOSITION}
\newcommand{\coro}{\bf COROLLAIRE}
\newcommand{\exa}{\bf Examples}
\newcommand{\exer}{\bf Exercice.}
\newcommand{\prob}{\bf Probléme.}
\newcommand{\preuve}{ \it Preuve:}
\newcommand{\rem}{\bf Remarques}
\newcommand{\rap}{\bf Rappelle}
\newcommand{\dem}{ {\it Démonstration}:}


\newcommand{\const}{\mbox{Const.}}
\newcommand{\dsize}{\displaystyle}
\newcommand{\dfrac}{\displaystyle\frac}
\newcommand{\tsize}{\textstyle}

\definecolor{gris}{gray}{0.9
}
\def\vir#1{ { \mathop{{#1}}\limits^{\vee}}}
\newcommand{\h}{{H_1^2}}
\def\N{\mbox{I\hspace{ -.15em}N}}
\def\Z{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}}
\def\Q{\mbox{l\hspace{-.47em}Q}}
\def\R{\mbox{I\hspace{-.15em}R}}

\begin{document}
\Large{\Ovalbox{\hspace{0.5cm}{\begin{minipage}{13.5cm} {
\vspace{7cm}\begin{center}{\Large{\bf " \'EQUATIONS AUX
D\'ERIV\'EES PARTIELLES \par\vspace{0.2cm} ELLIPTIQUES DU
QUATRI\`EME ORDRE AVEC
\par\vspace{0.2cm} EXPOSANTS CRITIQUES SUR LES VARI\'ET\'EES
\par\vspace{0.2cm} RIEMANNIENNES COMPACTES AVEC ET SANS BORD."}
}\end{center}}\vspace{10cm}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}}}
\newpage
 \Large{\Ovalbox{\hspace{0.5cm}{\begin{minipage}{13.5cm}
{ \vspace{1cm}
\par Sur $(V_n,g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $n>4$ et de métrique g,
 on considère l'équation aux dérivées partielles : \vspace{0.3cm}\textcolor{red}{$$ \hbox{(E)}\hspace{1cm} \Delta^2 u + \nabla^i\left[a(x)
\nabla_i u \right]+ h(x)u=\lambda f(x)u|u|^{N-2} \hspace{1cm}
\hbox{\textcolor{black}{(1)}}$$}\vspace{0.3cm} où a(x),h(x) et
f(x) sont des fonctions $C^{\infty}$, $N={{2n}\over{n-4}}$ et
$\Delta\varphi=-\nabla^i\nabla_i \varphi$.\par \vspace{2cm} On
désigne pour $H^q_2(V)$ l'espace de Sobolev standard qui est le
complètement de $$C_k^q(V) =\left\lbrace \varphi\in C^\infty
(V)\;,\;\parallel \varphi
\parallel_{k,q}\leq \infty\right\rbrace, \,$$ par rapport à la norme $\parallel \varphi
\parallel_{k,q}= \sum_{l=0}^k \parallel \nabla^l\varphi \parallel_q $.\par
On note $H_2$, \, l'espace $H^2_2$ muni de la norme équivalente
$$\parallel \varphi
\parallel_{H_2}=\left(\parallel \Delta \varphi \parallel^2_2 +
\parallel \nabla \varphi \parallel^2_2 + \parallel \varphi
\parallel^2_2\right)^{1 \over 2}.$$\par\vspace{2cm} Le
problème  peut être énoncé de la façon suivante :
\par \vspace{0.2cm}
\textcolor{red}{\it Existe-il une constante $\lambda$ et une
fonction $u \in H_2(V_n)$ ($u\not\equiv 0$) solutions de
l'équation (E) ?}\par\vspace{0.6cm}
 Pour répondre à la question on considère les deux cas:
  \vspace{0.2cm}
 \par 1) f(x)= Const,\par
 \vspace{0.2cm}
       2) f(x) fonction partout positive.\vspace{0.7cm}\par

\end{minipage}\hspace{0.5cm}}}
\newpage
%**************************************************************
\Ovalbox{\hspace{0.5cm}{\begin{minipage}{13.5cm} { \vspace{0.2cm}
{\bf Inégalites de Sobolev}
\par \vspace{0.2cm}\par
\noindent Si ${1\over p} = {1\over q }- {2\over n}$($1\leq
q<{n\over 2}$) alors: l'inclusion $H^q_2 \subset L_p$ est continue
et pas compacte, l'inclusion $H^q_2 \subset L_q$ est continue et
compacte alors il existe un couple de constantes A,C tel que pour
tout $\varphi\in H_2^q$ vérifie: $$\hspace{2cm}\parallel \varphi
\parallel_p \leq C \parallel \varphi \parallel_{ H^q_2} + A
\parallel \varphi \parallel_q .\hspace{4cm} (2)$$
 La meilleure constante $K_2$= inf
C telle que A(C) existe est strictement
positive.}\par\vspace{0.3cm} \textcolor{black}{
 {\teo} {\bf 1.}}\par

\textcolor{black}{{\it Soient une variété riemannienne compacte
$(V_n,g)$ et $q$ un réel $1\leq q < {n\over2}$. La meilleure
 constante $K_2$ introduite plus haut ne dépend que de $n$ et de $q$ $\left(K_2=K_2(n,q))\right)$.
 Ainsi pour tout $\epsilon>0$ il existe une constante
$A(\epsilon)$ telle que tout $\varphi\in H^q_2$ vérifie
$$\hspace{1cm}\parallel \varphi \parallel_p \leq
K_2(n,q)(1+\epsilon)
\parallel \varphi \parallel_{ H^q_2} + A(\epsilon) \parallel
\varphi
\parallel_q .\hspace{1.5cm}(3) $$ } }
\par \vspace{0.7cm}
 \textcolor{black}{{\coro} {\bf 1.}}\par \textcolor{black}{ {\it Sur une variété riemannienne compacte
(V,g) de dimension $n>4$ , pour tout $\epsilon > 0$ il existe une
constante $A(\epsilon)$ telle que $\forall f\in H_2(V)$ vérifie
$$\hspace{1cm}\parallel f
\parallel^2_N \leq (1+\epsilon)K_2^2\int_V|\Delta f|^2 dV +
A(\epsilon)\int_V | f|^2 dV \hspace{1.5cm}(4)$$ avec $N={{2n}
\over{n-4}}$ et $K^{-2}_2(n,2)= \pi^2 n (n-4)(n^2-4) \left\lbrace{
{\Gamma({{n}\over{2}})}\over {\Gamma(n)}}\right\rbrace$.
$K_2(n,2)$ est obtenu en utilisant les fonctions $u_{\lambda}$
extrémales du problème $\Delta^2u=u^{N-1}$ sur $\R^n$ avec
$$u_{\lambda}(r)=C_n\left[ {\lambda \over {1+ \lambda^2 r^2}}
\right]^{(n-4)\over 2} $$ où $C_n$ est une constante qui ne dépend
que de n.}}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}}}
%**********************************************************************
\newpage
%**********************************************************************

\Ovalbox{\hspace{0.5cm}{\begin{minipage}{13.5cm}{ \vspace{0.4cm}
\begin{center}{\bf Démonstration du
théorème 1}\end{center}}\par
\par \vspace{0.2cm}
 $\quad\bullet V=\R^n$ :\hspace{0.3cm}on montre que pout tout $\psi\in
 H^{q}_2(\R^n)$
$$\hspace{3cm}\parallel \psi \parallel_p \leq K_2(n,q)\parallel
\nabla^2 \psi\parallel_q\hspace{4cm}(5)$$
 $\quad \bullet V=(V,g)$ :\hspace{0.3cm} on considère un recouvrement fini de boules avec atlas associé: $\left\lbrace B_i(\delta),\varphi_i\right\rbrace_{1\leq i \leq m}$ ,
 et une partition de l'unité $\lbrace a_i\rbrace_{1\leq i\leq m}$ subordonnée à ce recouvrement.\par
$\quad\bullet  \forall f\in C^{\infty}(V)$, $
\hspace{1cm}\parallel f\parallel^q_p=\parallel f^q
\parallel_{p\over q}= \sum_{i=1}^m\parallel a_i^{ 1\over q}
f\parallel^q_p. \hspace{1cm}(6)$\par $\quad \bullet $ On applique
la (5) à $\psi=\psi_i=\left(a_i^{1\over q} f \right)\circ
\varphi_i^{-1}$ : $$  \hspace{2cm}\left( \int_{\Omega_i}|\psi_i|^p
dE \right)^{1\over p} \leq K_2(n,q) \left(\int_{\Omega_i}
|\nabla_E^2 \psi_i|^q \right)^{1\over q}  \hspace{1.5cm}(7)$$ avec
$\Omega_i=\varphi_i(B_i)$.\par
 $\quad \bullet$  $(V,g)$ est une variété riemannienne compacte
alors  $\forall \epsilon>0$ il existe une constante $C(\epsilon)$
telle que $$\parallel \psi \parallel^q_p \leq \mu^{{nq} \over
{2p}}K_2^q\lambda^{-{n \over 2}} \left [ (1+ \epsilon) \parallel
\nabla_g^2 \psi
\parallel^q_q + C(\epsilon)\parallel \nabla_g \psi \parallel^q_q
\right ]\hspace{0.9cm}(8)$$\par
 $\quad \bullet$ D'après la (6),(8) on a  $$
\parallel f \parallel_p^q\leq \mu^{{nq} \over
{2p}}K_2^q\lambda^{-{n \over 2}} \times$$$$\left[
(1+\epsilon)(1+\eta)\int_V |\nabla^2 f|^q dV + {\tilde{C}}\int_V
\left(|f|^q + |\nabla_g f|^q \right) dV \right]
\hspace{0.5cm}(9)$$ \vspace{0.2cm}\par$\quad\bullet$ D'après
l'inégalité d'interpolation:
 $\forall \epsilon>0$ il existe un  $\delta{(\epsilon)}>0$
 et $B(\epsilon)$ tels que
$\lambda,\mu\sim 1$ et $\forall f\in C^{\infty}(V)$:
$$\hspace{1.5cm}\parallel f
\parallel^q_p\leq (1+\epsilon)K_2^q(n,q)\parallel \nabla^2
f\parallel^q_q + B(\epsilon)\parallel f \parallel^q_q
\hspace{0.6cm}(10)$$ Mais les fonctions $C^{\infty}(V)$ sont
denses en $H^q_2(V)$ et donc la (10) , équivalent à la (3), est
vérifiée $\forall f\in H^q_2(V).\hspace{4cm}\blacksquare$
\vspace{0.3cm}\par}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}}}
%****************************************************************
\newpage
%****************************************************************
\Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{
\vspace{0.3cm}\par
\begin{center}{\bf \'Etude de l'équation (E) avec f(x)=Const.}\end{center}\vspace{0.1cm}\par Pour
résoudre l'équation $(E)$ on utilise la méthode
variationnelle.\vspace{1cm}
\par Considérons la fonctionnelle sur $H_2$:
\textcolor{red}{$$I(\varphi)=\int_V |\Delta \varphi|^2 dV - \int_V
a(x) \nabla^i \varphi \nabla_i\varphi dV+\int_Vh(x)\varphi^2 dV$$}
L'équation d'Euler du problème variationnel suivant:
\textcolor{red}{$$inf I(\varphi) \;\;\hbox{pour tout}\;\; \varphi
\in {\cal A} =\left\lbrace u\in H_2 \;,\;  \parallel u
\parallel_N=1 \right\rbrace$$} est l'équation (E) avec $f(x)$ une
constante . Notons \textcolor{red}{$\mu $} cet inf.
\par\vspace{1cm}

\textcolor{black}{
 {\teo} {\bf 2.}}\par
\textcolor{black}{ {\it $\mu$ étant l'inf défini juste au dessus
et $K_2=K_2(n,2)$, on  a toujours $K_2^2\mu \leq 1$.
 Si $K_2^2\mu <1$ , l'équation
(E) avec $f(x)$ constante admet une solution $\psi \not \equiv 0$
dans $H_2 $ qui minimise le problème variationnel. $\psi \in
C^{5,\alpha}$ pour un certain $\alpha\in (0,1)$
 dans le cas général mais
par  exemple pour les dimensions 5 ,6 ,8  et pour $\psi>0$,
$\psi\in C^{\infty}$ . } }
\par\vspace{0.7cm} {\dem}
\par $ \quad\bullet$ On considère,
comme a fait Yamabe, une famille d'équations approchées
:\vspace{0.2cm} $\forall \;2<q<N$: $$ (E_q)\qquad \Delta^2u
+\nabla^{\nu}\left[ a(x)\nabla_{\nu} u\right]+ h(x)u=\lambda
u|u|^{q-2}.\quad$$ qui est l'équation d'Euler du problème
variationnel  $$inf I(\varphi) \; \hbox{pour tout} \;\varphi \in
{\cal A}_{q} =\left\lbrace u\in H_2 \;,\;  \parallel u
\parallel_q=1 \right\rbrace .$$
Notons $\mu_q$ cet inf. \vspace{0.3cm}\par
}\end{minipage}\hspace{0.5cm}}
%****************************************************************
\newpage
%****************************************************************
 \Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{ \vspace{0.3cm}\par
 $\quad\bullet$  Pour
résoudre l'équation $(E_q)$ on applique la méthode variationnelle
:\vspace{0.5cm}\par {\bf(i)}\quad  On montre que $\mu_q$ est
fini.\vspace{0.5cm}\par {\bf(ii)}\quad On prend une suite
minimisante $\left\lbrace \varphi_i\right\rbrace_i$ de laquelle on
pourra extraire une sous-suite convergente.\par Soit $\left\lbrace
\varphi_i\right\rbrace \subset {\cal A}_q$ telle que
$I(\varphi_i)\longrightarrow \mu_q.$ On peut supposer que
$I(\varphi_i)< 1+\mu_q \quad i\in \N$.\vspace{0.7cm}\par
{\bf(iii)}\quad On montre que la suite est bornée dans
$H_2$,$\Rightarrow$ {\it (théorémes de Banach et Kondrakov)} il
existe une fonction $\varphi_q\in H_2$ et une sous-suite
$\left\lbrace \varphi_j\right\rbrace\subset\left\lbrace
\varphi_i\right\rbrace$ telles que :\par\vspace{0.5cm } $\alpha) $
$\varphi_j\longrightarrow \varphi_q $ faibl. dans $H_2$
$\Rightarrow$ $I(\varphi_q)\leq lim_{j\longrightarrow
\infty}I_q(\varphi_j)=\mu_q$ \vspace{0.5cm}\par $\beta)$
$\varphi_j\longrightarrow \varphi_q $ fort. dans
$L_q$$\Rightarrow$ $\parallel \varphi_q\parallel_q=1 $,
$\varphi_q\in {\cal A}_{q}$ ,  $I(\varphi_q)\geq
\mu_q$.\vspace{0.5cm}\par En conséquence $I(\varphi_q)=\mu_q$,
$\varphi_q$ réalise le minimum , $\parallel \varphi_q\parallel_q
=1. $ \vspace{0.5cm}\par {\bf(iv)}\quad On calcule l'équation
d'Euler du problème variationnel et on déduit que $\varphi_q$
vérifie faiblement dans $H_2$ l'équation $$ \Delta^2 \varphi_q +
\nabla^{\nu}\left( a(x)\nabla_{\nu} \varphi_q\right)+
h(x)\varphi_q=\mu_q \varphi_q |\varphi_q|^{q-2}.$$
\vspace{0.3cm}\par $\bullet$  {\it Régularité de la fonction
$\varphi_q$}: en appliquant la méthode bootstrap on montre
:\vspace{0.2cm}\par \textcolor{black}{{\lem}{ \bf2.}}\par
\textcolor{black}{ {\it $\varphi_q\in L_{\infty}$ , $ \forall \;q
$ avec $ 2<q<N$.}}\par Ensuite pour les théorèmes de régularités
classique il resulte que $\varphi_q\in C^{5,\alpha}$ pour un
certain $\alpha \in (0,1)$. \vspace{0.3cm}\par
}\end{minipage}\hspace{0.5cm}}
%****************************************************************
\newpage
%****************************************************************
 \Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{ \vspace{0.5cm}\par
$\quad\bullet$ Prenons $q\longrightarrow N$ avec $\varphi_q$
solution de l'équation $(E_q)$.\vspace{0.3cm}\par Comme la suite
$\left\lbrace \varphi_q\right\rbrace $ est bornée dans $H_2$, il
existe une fonction $\psi \in H_2$ et une sous-suite $\left\lbrace
\varphi_{q_i}\right\rbrace$ telles que
$\varphi_{q_i}\longrightarrow \psi $ faiblement dans $H_2$ et
 fortement dans $L_2$ et $H_1$ {\it(Théorèmes de Banach et Kondrakov)}.\par
  Alors pour $\forall\; w \in
H_2$ $$\int_V \Delta w \Delta \varphi_{q_i}  dV - \int_V
a(x)\nabla^{\nu}w \nabla_{\nu}\varphi_{q_i} dV+\int_V
h(x)w\varphi_{q_i}  dV$$ $$\longrightarrow  \int_V \Delta w\Delta
\psi dV - \int_V a(x)\nabla^{\nu}w \nabla_{\nu}\psi dV+\int_V
h(x)w\psi  dV. $$ De plus $$ \int_V w\varphi_{q_i} |\varphi_{q_i}
|^{q_i- 2} dV \longrightarrow \int_V w\psi |\psi|^{N-2}dV $$ pour
la convergence faible dans $L_{N\over{ N-1}}$ de
$|\varphi_i|^{q_i-2}\varphi_i\longrightarrow |\psi|^{N-2}\psi$.
\vspace{0.5cm}\par$\quad \bullet$ On montre que les constantes
$\mu_{q_i}$ sont uniformément bornées.\vspace{0.5cm}\par
$\quad\bullet$ $\psi $ vérifie faiblement dans $H_2$ l'équation
$$\Delta^2 \psi + \nabla^{\nu}\left( a(x)\nabla_{\nu} \psi
\right)+ h(x)\psi =\mu_N \psi |\psi|^{N-2}, $$ avec
$lim_{{q_i}\longrightarrow
N}\mu_{q_i}=\mu_N=\mu.$\vspace{1.5cm}\par $\quad \bullet$ {\it
Régularité de la solution $\psi$}: \quad $\psi\in L_{\infty}$
(M.Vaugon [1979]), puis $\psi \in C^{5,\alpha}$ par la méthode de
bootstrap enfin suivant la régularité de la fonction $\gamma
:x\longrightarrow |x|^{{8}\over{n-4}}$ , $\psi \in C^{\infty}$
pour n= 5, 6 ,8 $(\gamma \in  C^{\infty})$ ou si $\psi>0 (\gamma
\in C^{\infty} \;\hbox{pour}\; x>0)$.\vspace{1cm} \par $\quad
\bullet$ { \bf Les $\mu_q$ et $\mu $ sont tous du même signe.
\hspace{4 cm}$\blacksquare$}
\par\vspace{0.3cm} }
\end{minipage}\hspace{0.5cm}}
%****************************************************************
\newpage
%****************************************************************
 \Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{ \vspace{0.3cm}\par
{\bf La solution $\psi$ est non triviale.} \par\vspace{0.3cm}
\textcolor{black}{ {\lem}{ \bf 3.}}\par \textcolor{black}{{\it
Pour tout $\eta>0$ il existe une constante $C(\eta)$ telle que
tout $f\in C^{\infty}$ vérifie:} $$\hspace{1cm} {\int_V | \nabla
f|^2 dV }\leq {\eta \int_V |\Delta f|^2 dV + \tilde{C}(\eta)
\int_V f^2 dV} .\hspace{1cm} (5)$$ }\par \vspace{0.2cm}{\it
Démonstration que $\psi\not\equiv 0$:} \vspace{0.3cm}\par On a que
$1=\parallel \varphi_q
\parallel_q^2}\leq \left[ \parallel \varphi_q
\parallel_N^q} V^{1-{q\over N}}\right]^{2\over q}$ alors
d'après (4) du Corollaire 1 pour ${\tilde\eta}$ choisi petit
$$V^{{2 \over N} - {2 \over q}}\leq
\parallel \varphi_q\parallel_N^2  \leq{(1+\epsilon) K_2^2\int_V |\Delta \varphi_q|^2
dV } + a(\epsilon)\int_V |\varphi_q|^2 dV $$ $$=(1+\epsilon) K_2^2
\left\lbrace (1+ {\tilde\eta})\left[ \mu_q +\int_V
a(x)\nabla^i\varphi_q \nabla_i \varphi_q dV -\int_V
h(x)\varphi_q^2 \right] \right.$$ $$ \left .-{\tilde\eta}\int_V
|\Delta\varphi_q|^2 dV  \right\rbrace +
a(\epsilon)\int_V|\varphi_q|^2 dV .\hspace{4cm}(6)$$\vspace{0.2cm}
D'après le lemme 3 pour tout $\eta >0$ il existe un $C(\eta)$ tel
que $$\int_V a(x)\nabla^i\varphi_q \nabla_i\varphi_q dV\leq sup
a(x)\left[\eta \int_V|\Delta \varphi_q|^2 dV + {\tilde
C}(\eta)\int \varphi_q^2 dV\right].$$\par\vspace{0.3cm} En
utilisant la précé dente pour un choix convenable de
$\tilde{\eta}$ on a: $$\hspace{1cm} V^{{2 \over N}-{2 \over q}}-
(1+\epsilon)K_2^2 (1+{\tilde\eta})\mu_q \leq
C(\epsilon,{\tilde\eta})\int_V\varphi_q^2 dV \hspace{1cm} (7)$$
\par\vspace{0.3cm} Quand $q\longrightarrow N $, $V^{{2 \over N}-{2
\over q}}\longrightarrow 1$,  $K_2^2\mu <1$  à partir d'un certain
$ q_0<N $ alors pour $ q > q_0 $ et $\epsilon$ et $\eta$
 bien choisis
  $\int_V \varphi_q^2 dV\geq C>0$ et comme
$\varphi_{q_i} \longrightarrow \psi$ fortement dans $L_2$, $\int_V
\psi^2 dV>0$ et $\psi\not\equiv0$. $\blacksquare$

 \vspace{0.3cm}\par }\end{minipage}\hspace{0.5cm}}
%****************************************************************
\newpage
%****************************************************************

 \Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{ \vspace{0.3cm}\par {\bf Sur la positivité de $\psi$ , solution de
l'équation (E).}
 \vspace{0.3cm}\par
\textcolor{black}{{\prop}{ \bf 1.}}\par \textcolor{black}{ {\it Si
$a(x)\equiv a=-2\alpha $ et $h(x)\equiv b=\alpha^2$ le
 minimiseur $\psi$ de la fonctionelle $I_q(\varphi)$ sur $A_q$(resp
$I(\varphi)$ sur $(A)$) est strictement positif et $C^{\infty}$.
 Même résultat si les racines de l'équation $x^2+ax+b=0$ sont
 positives. }
 }\par\vspace{0.5cm}
{\dem}\par  $\quad\bullet$ Soient $\alpha>0$ une constante et
$\varphi\in {\cal A}_q$ .  Comme l'opérateur $\Delta + \alpha$ est
inversible, il existe une fonction $\phi$ vérifiant l'équation $$
\hspace{3cm}\Delta \phi + \alpha \phi =|\Delta \varphi + \alpha
\varphi|.\hspace{4cm}(8)$$ \par\vspace{0.5cm} $\quad \bullet$ Si
$\Delta \varphi + \alpha \varphi \geq 0$ (resp $\leq 0$) nous
avons évidemment $\phi=\varphi$ (resp $\phi=-\varphi$) , si non
nous démontrons, en utilisant le principe de maximum, que
$\phi>|\varphi|$ et que $I(\varphi)=I(\phi)$ .
\par\vspace{0.5cm} $\quad \bullet$ Si
la solution de notre problème variationnel $\varphi_q\geq 0$
(resp.$\psi \geq 0$) le principe du maximum entraîne $\varphi_q>0$
(resp. $\psi >0$).  Si non on pose $\varphi=\varphi_q$ et on prend
 une constante $k<1$ telle que $k\phi\in {\cal A}_q$. Ce qui
entraîne $I(k\phi)<I(\varphi_q)=\mu_q$.\par D'où $\varphi_q>0$
pour tout $q$. La fonction $\psi$ qui est limite p.p. d'une suite
$\varphi_{q_i}$ donc pour le raisonnemment au dessus $\psi>0$.
\hspace{2cm}$\blacksquare$ \vspace{0.2cm}\par  {\bf Applications
du théorème 2.}\vspace{0.3cm}\par {\teo} {\bf{3.}}}\par
\textcolor{black}{{\it Soit
$J(\varphi)={{I(\varphi)}\over{\parallel \varphi\parallel_N^2 }}$.
Si $J(1)=V^{{4-n}\over n}\int_V h(x) dV \leq K^{-2}$ alors il
existe une solution. Ainsi si $\int_V h(x)dV \leq K^{-2}
V^{{n-4}\over n}$  alors quelque soit $a(x)$ l'équation $(E)$ avec
$f(x)=\hbox{Const.}$ a une solution .}}\par\vspace{0.2cm}
 {\dem }\par Si $\mu<J(1)\leq K^{-2}$ le théorème 2
s'applique. Si $\mu=J(1)$ , c'est dire que 1 est solution de
l'équation .\hspace{5cm}$\blacksquare$
}\end{minipage}\hspace{0.5cm}}

%****************************************************************
\newpage
%****************************************************************
 \Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{
\textcolor{black}{\par \vspace{0.2cm} \textcolor{black}{ {\teo}
{\bf{4.}}} \par \textcolor{black}{ {\it Lorsque  $n>6$ , si en un
point $P\in V$ , $R(P)>-C(n)a(P)$ avec
$C(n)={{2n(n-1)}\over{n^2-2n-4}}>0$ alors $(E)$ avec
$f(x)=\hbox{Const.}$ , a une solution $\psi\in H_2$ . Si
${\parallel \psi \parallel_N=1}$ ,
 $f(x)=\mu$ .}}\par\vspace{0.5cm}
 {\dem }\par Considérons un système de coordonnées
normales géodésiques centré en P, un point de la variété. \par
Lorsque n>6 faisons un développement limité  de
$J(\lambda\varphi_k)$ pour $k\longrightarrow 0 $ , avec la suite
$$\lambda\varphi_k=\lambda(r)(r^2+k^2)^{-{{(n-4)}\over{2}}},$$
 $\lambda(r)$
est une fonction $C^{\infty}$ égale à 1 sur $B_p(\epsilon)$ et 0
sur $V\setminus B_p(2\epsilon).$
\par\vspace{0.5cm}$\quad\bullet$ Nos calculs montrent que
$$J(\lambda \varphi_k)\longrightarrow K^{-2}\left\lbrace
1-k^2\left\lbrack a(P)C_1(n)+R(P)C_2(n)
\right\rbrack+O(k^3)\right\rbrace $$ et $$\mu\leq
K^{-2}={{n(n+2)(n-2)(n-4)}\over{2^4}} \;\omega_n^{{4}\over {n}}.$$
\par \vspace{0.5cm}\noindent $\quad\bullet$ Et nous avons $\mu<K^{-2}$ s'il existe un point $P$
tel que $$R(P)>-C(n)a(P)=-{{2n(n-1)}\over{n^2-2n-4}}a(P).$$
D'après le théorème 2, il existe alors une solution non triviale
de l'équation (E).\par\vspace{1cm} \textcolor{black}{ {\teo} {\bf
5.} {\it Lorsque $n=6$, s'il existe un point $P\in V$ où
$R(P)>-3a(P)$ alors
 (E) a une solution $\psi \in H_2$. }}
\par\vspace{1.5cm} }\end{minipage}\hspace{0.5cm}}
%****************************************************************

%*******************************************************************

\Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{
\vspace{0.1cm}\par
\begin{center}{\bf Etude de l'équation (E) avec f(x) partout positive.}\end{center}\vspace{0.1cm}\par
Considérons la fonctionnelle sur $H_2$ :
\textcolor{red}{$$J(\varphi)={{\int_V |\Delta \varphi|^2 dV
-\int_V a(x)|\nabla\varphi|^2  dV+\int_V h(x)\varphi^2(x) dV}\over
{\left\lbrack\int_V f(x)|\varphi|^N(x) dV\right\rbrack^{2/N}}}
\hspace{1.5cm}$$} où $\varphi \in H_2$ et $\varphi\not \equiv
0.$\par  L'équation d'Euler du problème variationnel suivant:
\textcolor{red}{$$(*)\hspace{1cm}\hbox{Inf }\;J(\varphi ),\quad
\varphi\in {\cal A} =\left\lbrace \varphi\in H_2(V), \varphi
\not\equiv 0 \right \rbrace\hspace{4cm}$$} est l'équation (E).
Notons \textcolor{red}{$\nu $} cet inf.
\par \vspace{0.5cm}
\textcolor{black}{ {\teo} {\bf 6.} {\it
 $\nu\leq K_2^{-2}\lbrack
supf\rbrack^{-2/N}$.
 Si $\nu<K_2^{-2}\lbrack sup f
\rbrack^{-2/N}$,\\
 l'équation (E) a une solution $\psi\in H_2$,
$\psi\not\equiv 0 $,$\psi\in C^{(5,\alpha)}$ $\alpha\in(0.1 )$\\
($C^\infty$ si n=5,6,8 ou $\psi>0 $) qui minimise le problème (*).
}}
\par\vspace{0.4cm} {\dem}\par Nous considérons les
équations approchées suivantes: \par $\forall\,2<q<N$: $$ \Delta^2
\varphi + \nabla\left\lbrack
a(x)\nabla\varphi\right\rbrack+h(x)\varphi = \lambda
f(x)\varphi|\varphi|^{q-2}\qquad (E_q) $$ et la fonctionnelle
$$J_q(\varphi)={{\int_V |\Delta \varphi|^2  dV -\int_V
a(x)|\nabla\varphi|^2  dV+\int_V h(x)\varphi^2(x) dV}\over
{\left\lbrack\int_V f(x)|\varphi|^q(x) dV\right\rbrack^{2/q}}}. $$
 On définit $$ \lambda_q =\hbox{Inf
}\;J_q(\varphi ),\quad \hbox{pour}\quad \varphi\in H_2(V_n) \;, \;
\varphi \not\equiv 0.$$\vspace{0.2cm} $\quad \bullet$ En manière
analogue a celle du théorème 1 on prouve que: $\forall\, 2<q<N$,
$\exists$ $\varphi_q\in H_2(V)$, $\varphi_q\not\equiv 0$ avec
$\int_V f(x)|\varphi_q|^qdV=1$,\par\vspace{0.2cm} solution faible
de l'équation $(E_q)$.
\par\vspace{0.2cm} $\quad\bullet $ La suite $\left\lbrace\varphi_q\right\rbrace_{1<q<N}$ est
bornée dans $H_2$ et la suite
$\left\lbrace\lambda_q\right\rbrace_{1<q<N}$ est bornée. }
\end{minipage}\hspace{0.5cm}}
\newpage
 \Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{
\vspace{0.3cm}\par $\quad\bullet$ Prenons une suite
$q\longrightarrow N$ avec $\varphi_q$ solution de l'équation
$(E_q)$. Comme la suite $\lbrace \varphi_{q}\rbrace$ est bornée
dans $H_2$,il existe une fonction
  $\psi \in H_2$ et une sous-suite $q_i \longrightarrow N $ telles que $\varphi_{q_i}\longrightarrow \psi$ faiblement dans $ H_2$, fortement dans $H_1$ et $L_2$
  et p.p. (Th Banach et Kondrakov).\par
  $\quad\bullet$ D'après la convergence faible pour tout $g\in H_2$
  $$\hspace{1cm}\int_V \Delta g \Delta
\varphi_{q_i} dV - \int_V a(x)\nabla^{\nu}g
\nabla_{\nu}\varphi_{q_i} dV+\int_V h(x)g\varphi_{q_i}
dV\hspace{2cm}$$ $$\longrightarrow  \int_V \Delta g \Delta \psi dV
- \int_V a(x)\nabla^{\nu}g \nabla_{\nu}\psi dV+\int_V h(x)g\psi
dV.$$ $\quad\bullet$ $\varphi_{q_i}|\varphi_{q_i}|^{q_i -2} $ vers
$ \psi|\psi|^{N-2}$ faiblement dans $L_{N\over{ N-1}}$ ainsi
$fg\in \left(L_{N\over{ N-1}}\right)^* $ d'où $$\hspace{1cm}
\int_V fg\varphi_{q_i}|\varphi_{q_i} |^{q_i- 2} dV \longrightarrow
\int_V fg\psi |\psi|^{N-2}dV .$$ $\quad\bullet$ On déduit que
$\psi$ vérifie faiblement dans $H_2$ l'équation $$
\hspace{1cm}\Delta^2 \psi + \nabla\left\lbrack
a(x)\nabla\psi\right\rbrack+h(x)\psi=
  \lambda_N
f(x)\psi|\psi|^{N-2}$$

avec $\lambda_N$ limite d'une sous-suite convergente extraite de
$\left\lbrace \lambda_{q_i}\right\rbrace$ qui est bornée.\par
$\quad\bullet$ La solution $\psi$ est non triviale et elle est
$C^{5,\alpha}$($0<\alpha<1$).\hspace{0.6 cm}$\blacksquare$ \par
 \vspace{0.5cm} \textcolor{black}{{\prop} {\bf 2.} {\it Les $\lambda_q$ sont
soit tous positifs, soit tous négatifs, soit tous nuls.
 La fonction $q \longrightarrow |\lambda_q|$ est décroissante et continue. De plus $\lambda_N=lim_{q_i \longrightarrow
N}\lambda_{q_i}$ est égal à $\nu= Inf J(\varphi)$ pour $\varphi\in
 H_2 \,,\, \varphi\not\equiv 0$ dans le cas positif.}}
 \par
 \vspace{1cm}\textcolor{black}{ {\prop} {\bf 3.} {\it Si $a(x)\equiv
a=-2\alpha $ et $h(x)\equiv b=\alpha^2$, le
 mi=\\ nimiseur $\psi$ de la fonctionnelle $J(\varphi)$ sur $H_2$ est strictement
 positif \\ et $C^{\infty}$.
 Même résultat si les racines de l'équation $x^2+ax+b=0$\\ sont
positives.} }\end{minipage}\hspace{0.5cm}}}
\newpage


\Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{
\vspace{0.1cm}\par
\begin{center}{\bf Applications du théorème 6.}\end{center}\vspace{0.1cm}\par
 \par\vspace{0.3
 cm}

 \textcolor{black}{{\teo} {\bf 7.} { \it Lorsque n>6, si en un point P où f est maximum, $
a(P)C(n)+R(P)+\tilde{C}(n){{\Delta f}\over{f(P)}} >0$ alors
 (E) a une solution $\psi\in H_2$. }}\par
 {\dem}\par
Lorsque n>6 faisons un développement limité  de
$J(\lambda\varphi_k)$ pour $k\longrightarrow 0 $, avec la suite
$$\lambda\varphi_k=\lambda(r)(r^2+k^2)^{-{{(n-4)}\over{2}}}.$$
 Nos calculs montrent que:
$$J(\lambda\varphi_k)=K_2^{-2}f(P)^{-{2\over N}}\times$$ $$\left
\lbrace 1-k^2\left \lbrack a(P)C_1(n)+R(P)C_2(n)+C_3(P){{\Delta
f}\over{f(P)}} \right\rbrack +O(k^3). \right\rbrace$$
\par D'où
$$J(\lambda\varphi_k)\longrightarrow K_2^{-2}f(P)^{-{2\over N }}
 \qquad  \hbox{et}
  \qquad   \nu\leq K_2^{-2}f(P)^{-{2\over N }}.$$ \par
  L'inégalité du théorème 6: $\nu< K_2^{-2}f(P)^{-{2\over N }}$ est vérifiée s'il existe un
point $P$ où f est maximum  tel que
$$R(P)+a(P)C(n)+\tilde{C}(n){{\Delta f}\over{f(P)}}>0,$$ avec
$\tilde{C}<0$.
 En conséquence, d'après le  théorème 6, il existe une solution non
 triviale de l'équation (E).$\hspace{5cm}\blacksquare$\par
 \vspace{1cm}
\textcolor{black}{{\teo} {\bf 8.} {\it Lorsque $n=6$, s'il existe
un point $P\in V$ où $R(P)>-3a(P)$ alors
 (E) a une solution $\psi \in H_2$, quelle que soit la fonction f(x) partout positive. }} \par \vspace{0.5cm}
\vspace{0.3cm}}\end{minipage}\hspace{1cm}}
\newpage
\Ovalbox{\hspace{0.5cm}{\begin{minipage}{13.5cm} { \vspace{1cm}
Sur  $(\overline{W},g)$, une variété riemannienne, compacte
 $C^\infty$ et à bord  $\partial W $ on considère le
problème elliptique du quatrième ordre avec données au bord:
\textcolor{red}{$$(P)\quad\left\lbrace
 \begin{array}{1}
 {\Delta^2u + \nabla^i \left[ a(x)\nabla_i u  \right] + h(x)u = \lambda f(x)u|u|^{N-2} \;
   \hbox{sur $W_n$,}}\\
{\Delta u |_{\partial W}=\gamma|_{\partial W} \quad u |_{\partial
W}=\eta ,}
 \end{array}
 \right.$$}
 $\gamma $ et $\eta$ sont deux fonctions $C^\infty$ sur
$(\overline{W},g)$, $N={{2n}\over{n-4}}$, $\lambda$ est un réel à
déterminer, a(x), h(x) et f(x) comme précédemment.\par
 \vspace{1.5cm} On considère pour $2<q<N$ le problème suivant:
$$(P_q)\;\left\lbrace
 \begin{array}{c}
 {\Delta^2{v} + \nabla^i \left[ a\nabla_i {v}\right] + h{v} = \lambda f(v+\varphi)|v+\varphi|^{q-2}+
 g}\;\,\hbox{sur $W_n$}
 \\
 \\
 {\Delta {v} |_{\partial W}=0 \quad {v}|_{\partial W}=0,}
 \end{array}
 \right.$$
où $g$ et $\varphi $ sont des fonctions $C^{\infty}(\overline{W})$
, $\varphi\not\equiv
 Const$ et  pour tout $\lambda$  $g(x)+\lambda f(x)\varphi(x)|\varphi(x)|^{N-2} \not \equiv 0 $.\par Soit
 $$
  J_q(v)=\int_W |\Delta v|^2 \;dW -\int_W a(x)|\nabla v|^2 \;dW+\int_W h(x)v^2 \;dW$$$$
  -2\int_W g(x)v dW\hspace{0.3cm}$$
 la fonctionnelle associée.
 \vspace{0.5cm}\par
On définit \par  \vspace{0.2cm}$ {\cal{A}}=\mathring{H}_1\cap
H_2$\;
, \; ${\cal{A}}_q =\left\lbrace w\in {\cal{A}} : \int_W
f(x)|w+\varphi|^qdW=\mu, \mu>0\right\rbrace $
$$\lambda_q=\hbox{Inf }\,J_q(v) \;
 \hbox{pour tout}\;v\in {\cal{A}}_q $$
 \vspace{0.1cm}\par
}\end{minipage}\hspace{0.5cm}}
\newpage
\Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{
\vspace{0.3cm}\par\textcolor{black}{ \vspace{0.3cm}{\teo} {\bf 9.}
{\it Pour $2<q<N$, il existe un réel $\lambda=\lambda_q$ et une
fonction $v_q \in {\cal{A}}_q$ solution du problème $P_q$
 avec $J_q(v_q)=\lambda_q $.}}\par\vspace{0.2cm}
 {\dem}\vspace{0.3cm}
 \par
 {\bf (i)}\quad $\lambda_q$ est fini. (${\cal{A}}_q$ n'est pas vide et $\lambda_q>Const$ ).\par\vspace{0.3cm}
   \par\vspace{0.4cm}
 {\bf (ii)}\quad Soit
$\left\lbrace v_{i}\right\rbrace \in {\cal A}_q$ une suite
minimisante : $$lim_{i\longrightarrow \infty}
J_q(v_{i})=\lambda_q.$$ Nous montrons que la suite $\left\lbrace
v_{i}\right\rbrace$ est bornée dans $H_2(W)$.\par
  \vspace{0.4cm}
{\bf (iii)}\quad Il existe une fonction $v_q\in H_2$ et une sous
  -suite de $\left\lbrace v_{i}\right\rbrace$ qui converge a $v_q$ faiblement dans $H_2$ et fortement dans $L_q$, $H_1$ {(\it Th Banach et Kondrakov)}.\par D'où $\int_V f(x)|v_q+\varphi |^q=\mu $
et $v_q$ réalise le minimum de la fonctionnelle,
$\lambda_q=J(v_q)$.\par
 \vspace{0.4cm}
 {\bf (iv)}\quad $v_q$ satisfait l'équation d'Euler du problème variationnel considéré. On a que
 $v_q $ vérifie au sens de distribution, sur W
  $${\Delta^2{v_q} + \nabla^i \left[ a\nabla_i {v_q}\right] + h{v_q} = \beta_q f(v_q+\varphi)|v_q+\varphi|^{q-2}+
   g}\hspace{0.3cm}(21)$$
    sur $\partial W$:$\Delta v_q=0$ et
 en général $\lambda_q\not\equiv \beta_q $:
  $$\lambda_q=\beta_q\int _W f(x)|v_q+ \varphi|^{q-2}(v_q+ \varphi)v_q dW-\int_W gv_q dW.$$
  \par\vspace{0.4cm}
  {\bf (v)}\quad En plus
$v_q\not\equiv 0$ car $v_q\equiv 0$ n'est pas
  solution faible dans ${\cal{A}}$ de l'équation (21).
  Si non on aurait $g(x)=-\beta_q \int_W f(x)|\varphi|^{q-2}\varphi
  dW$,
   ce qui est contraire à l'hypothèse pour q voisin de N.\par

\vspace{0.4cm} {\bf (vi)}\quad La suite $\lbrace \beta_q \rbrace$
est bornée.\par
 \vspace{0.4cm}
 {\bf (vii)}\quad {\it Régularité pour $v_q$}.\par Comme $v_q$ vérifie (21), $v_q\in
C^{5,\alpha}(W)$ pour un certain $\alpha\in (01)$.

 \par
\vspace{0.1cm}\par }\end{minipage}\hspace{0.5cm}}
\newpage

\Ovalbox{\hspace{0.5cm}\begin{minipage}{13.5cm}{
\vspace{0.7cm}\par \textcolor{black}{{\teo} {\bf 10.}}
\textcolor{black}{{\it Il existe un réel $\lambda$ et une fonction
non identiquement nulle $v$ dans ${\cal{A}}_N=\left\lbrace w\in
{\cal{A}} : \int_W f(x)|w+\varphi|^N dV=\mu \right\rbrace,$
solutions du problème $$(P_N)\,\left\lbrace
 \begin{array}{c}
 {\Delta^2{v} + \nabla^i \left[ a\nabla_i {v}\right] + h{v} = \lambda f(v+\varphi)|v+\varphi|^{N-2}+ g} \, \hbox{sur $W_n$} \\
 \\
 {\Delta {v} |_{\partial W_n}=0 \quad {v}|_{\partial W_n}=0.}
 \end{array}
 \right.$$ }}\par\vspace{0.1cm}
{\dem}
\par\vspace{0.1cm}
 $\quad\bullet$ Prenons une suite $q\longrightarrow N$ avec $v_q$ solution de $(P_q)$. La suite $\lbrace v_q\rbrace$ est bornée dans $H_2$ alors il
existe une fonction
  $v \in H_2$ et une sous-suite $q_i \longrightarrow N $ telles que $v_{q_i}\longrightarrow v$ faiblement dans $ H_2$, fortement dans $H_1$ et donc dans $L_2$
  et p.p.{\it (th de Kondrakov et Banach)}. \par\vspace{0.7 cm}
 D'après la convergence faible pour tout $\psi\in {\cal{A}} $
  $$\int_W \Delta \psi \Delta
v_{q_i} dW - \int_W a\nabla^{\nu}\psi \nabla_{\nu}v_{q_i} dW
+\int_V h\psi v_{q_i} dW -2\int_W g \psi dW $$$$\longrightarrow
\int_W \Delta \psi \Delta v dW - \int_W a\nabla^{\nu}\psi
\nabla_{\nu}v dW+\int_V h\psi v  dW - 2\int_W gv  dW.
$$\par\vspace{0.5 cm} $\quad \bullet$ De plus $$ \int_W f(
v_{q_i}+\varphi )|v_{q_i} +\varphi|^{q_i- 2}\psi dW
\longrightarrow \int_W f( v +\varphi ) |v+\varphi |^{N- 2}\psi dW
$$ pour la convergence faible de
$(v_{q_i}+\varphi)|v_{q_i}+\varphi|^{q_i -2} $ vers $
(v+\varphi)|v+\varphi|^{N-2}$ dans $L_{N\over{ N-1}}$ {\it
(convergence p.p + suite bornée dans $L_{N\over{ N-1}}$ alors
convergence faible dans $L_{N\over{ N-1}}$ )}.
\par\vspace{0.7cm}
 $\quad\bullet$ La fonction $v$
vérifie au sens faible dans $\cal{A}$ le problème $(P)$ avec,
$\lambda=lim_{{q_i}\longrightarrow N} \beta_{q_i}$ (où d'une
sous-suite) puisque la suite
$\left\lbrace{\beta_{q_i}}\right\rbrace_{2<q_i<N}$ est
uniformément bornée.\hspace{5.3cm}$\blacksquare$\par
 \par
 \vspace{0.5cm} }\end{minipage}\hspace{0.5cm}}

\newpage
\Ovalbox{\hspace{1cm}\begin{minipage}{13.5cm}{ \vspace{1cm}\par {
{\teo} {\bf 11.} {\it Le problème (P) est équivalent au
 problème
  $(P_N)$ avec $u=v+\varphi$, où $\varphi\in C^{\infty}$ est la
 solution de l'équation\\  du deuxième ordre:
$$ (Q)\quad \left\lbrace
\begin{array}{c}
 {\Delta \varphi(x) =\gamma(x) \quad \hbox{dans }\quad W, }\\
 \\
 { \varphi(x)|_{\partial W_n}=\eta(x)|_{\partial W_n}.}
   \end{array}\right.$$  $v$ est alors la solution du problème
   $(P_N)$.}\par
   \vspace{0.6cm}
   {\dem}\par
   \vspace{0.1cm}
   En effet si on pose $u=v+\varphi$ le problème (P) devient :
   $$(P)\,\left\lbrace
 \begin{array}{c}
 {\Delta^2v + \nabla^i \left[ a\nabla_i v  \right] + hv = \lambda f(v+\varphi)|v+\varphi|^{N-2}+ g\, W_n, }\\
 \\
 {\Delta v |_{\partial W}= v |_{\partial W_n}=0,}
 \end{array}
 \right.$$
 où la fonction $-g(x)=\Delta^2 \varphi + \nabla^i \left[ a(x)\nabla_i \varphi  \right] +
h(x) \varphi$.\par\vspace{0.5cm}
 Sous l'hypothèse $g(x)+ \lambda f(x)\varphi(x)|\varphi(x)|^{N-2} \not \equiv 0$
 on a montré que
 $v\not\equiv 0$ et donc la fonction
 $u=v+\varphi $ solution du problème (P).\par\vspace{0.3cm}
 Si $g(x)+ \lambda f(x)\varphi(x)|\varphi(x)|^{N-2}  \equiv 0$ alors
 $u=\varphi$ est la solution cherchée.\hspace{11cm}$\blacksquare$

\par
\vspace{7cm} }\end{minipage}\hspace{0.5cm}}


\end{document}
