Descente de torseurs, gerbes et points rationnels - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

Descente de torseurs, gerbes et points rationnels

Résumé

Let $k$ be a field of characteristic $0$ and $G$ a linear algebraic $k$-group. When $G$ is abelian, it is well known that torsors under $G_(X)$ over a $k$-scheme $\pi:X\rightarrow \textup(Spec)\;k$ provide an obstruction to the existence of $k$-rational points on $X$, since Leray spectral sequence gives rise (when $X$ is \textquotedblleft(nice)\textquotedblright, \textit(e.g.) $X$ smooth and proper) to an exact sequence of groups. This sequence gives an obstruction for a $\bar(G)_(X)$-torsor $\bar(P)\rightarrow\bar(X)$ with field of moduli $k$ to be defined over $k$, \textit(i.e.) to be obtained by extension of scalars to the algebraic closure $\bar(k)$ of $k$ from a $G_(X)$-torsor $P\rightarrow X$. This obstruction is measured by a gerbe, which is neutral if $X$ possesses a $k$-rational point. We try to extend this result to the non-commutative case, and in some cases, we deduce non-abelian cohomological obstruction to the existence of $k$-rational points on $X$, and results about descent of torsors.
Soient $k$ un corps de caractéristique nulle et $G$ un $k$-groupe algébrique linéaire. Il est bien connu que si $G$ est abélien, les torseurs sous $G_(X)$ sur un $k$-schéma $\pi:X\rightarrow \textup(Spec)\;k$ fournissent une obstruction à l'existence de points $k$-rationnels sur $X$, puisque la suite spectrale de Leray donne dans les bons cas (\textit(e.g.) $X$ propre) une suite exacte de groupes sur laquelle on peut directement lire l'obstruction à ce qu'un $\bar(G)_(X)$-torseur $\bar(P)\rightarrow\bar(X)$ de corps des modules $k$ soit défini sur $k$, \textit(i.e.) qu'il provienne par extension des scalaires à la cl(ô)ture algébrique $\bar(k)$ de $k$ d'un $G_(X)$-torseur $P\rightarrow X$. Le point crucial est que cette obstruction est mesurée par une gerbe, qui est neutre lorsque $X$ possède un point $k$-rationnel. On essaye ici d'étendre ce résultat au cas non-commutatif, et on en déduit (sous certaines conditions) des obstructions cohomologiques non-abéliennes à l'existence de points $k$-rationnels sur $X$, et des résultats sur la descente des torseurs.
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Dates et versions

tel-00004163 , version 1 (14-01-2004)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00004163 , version 1

Citer

Stephane Zahnd. Descente de torseurs, gerbes et points rationnels. Mathématiques [math]. Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00004163⟩

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