Un isomorphisme motivique entre deux variétés homogènes projectives sous l'action d'un groupe de type $G_2$ - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

Un isomorphisme motivique entre deux variétés homogènes projectives sous l'action d'un groupe de type $G_2$

Résumé

In this thesis, k is a field of characteristic different from 2 and variety means separated k-scheme of finite type. We study the homogenous projective varieties $X(\alpha_1)$ and $X(\alpha_2)$ associated to each two roots of a group of type $G_2$. The first one, $X(\alpha_1)$, is a 5-dimensional projective quadric associated to a Pfister neighbour and the second one, $X(\alpha_2)$, is a Fano variety (of genus 10). They are not isomorphic as algebraic varieties but they become isomorphic as objects of the category of correspoondences (and of consequently as objects in the category of Chow motives). We establish this result whether the varieties are split or not. In the first chapter, we recall classical results about octonions and we construct a split example of such an algebra. In the second, we present our varieties and recall some essential notions about algebraic groups theory and functor of points. In the third chapter, we construct in the split case a cellular structure for $X(\alpha_2)$. This is an important step of our work. We also find the relations defining the structure product of the Chow ring of $X(\alpha_2)$. Finally, in the last chapter, we define the category of correspondences, proove a nilpotence theorem in the particular case of $X(\alpha_2)$ and establish the motivic isomorphism in generality.
Dans toute cette thèse, k désigne un corps de caractéristique différente de 2 et par variété nous désignons un k-schéma, séparé et de type fini. Nous allons étudier $X(\alpha_1)$ et $X(\alpha_2)$, les variétés homogènes projectives associées à chacune des deux racines d'un groupes de type $G_(2)$. La pemière d'entre elles, $X(\alpha_1)$, est une quadrique projective de dimension 5 associée à une voisine de Pfister et l'autre, $X(\alpha_2)$, est une variété de Fano (de genre 10). Ces deux variétés ne sont pas isomorphes, pourtant elles le deviennent en tant qu'objets d'une catégorie plus large, à savoir la catégorie des correspondances (et par conséquent également dans la catégorie des motifs de Chow). Nous établissons que ce résultat est vrai que les variétés soient déployées ou non. Dans un premier chapitre, nous rappelons quelques résultats classiques sur les algèbres d'octonions et construisons un modèle d'algèbres d'octonions déployée. Dans le second, nous présentons les variétés mises en jeu et rappelons pour cela des notions essentielles de la théorie des groupes algébriques ainsi que de celle des foncteurs de points. Dans le troisième chapitre, nous construisons une structure cellulaire de $X(\alpha_2)$ lorsqu'elle est déployée, étape essentielle de notre travail. C'est également dans ce chapitre que nous calculons les relations définissant la structure d'anneau de $X(\alpha_2)$. Enfin, dans le quatrième et dernier chapitre, nous introduisons la catégorie des correspondances avant de prouver notre théorème de nilpotence dans le cas particulier de la variété $X(\alpha_2)$, puis nous établissons l'isomorphisme motivique en toute généralité.
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  • HAL Id : tel-00004214 , version 1

Citer

Jean-Paul Bonnet. Un isomorphisme motivique entre deux variétés homogènes projectives sous l'action d'un groupe de type $G_2$. Mathématiques [math]. Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00004214⟩
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