Inférence statistique par lissage linéaire local pour une fonction de régression présentant des discontinuités - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 1999

Statistical inference by local linear smooth for change-point problems

Inférence statistique par lissage linéaire local pour une fonction de régression présentant des discontinuités

Résumé

In this thesis, we consider the change-point problems in nonparametric regression model: detection of change-points, estimation of the change-point parameters and segmentation of the regression function are investigated. The proposed method is based on a comparison of left and right one-sided smoothers. These smoothers are obtained by local linear regression. \par First, we propose an estimator of the jump size in the regression function when the location of the change-point is known. We derive the expression of its asymptotic MSE and its asymptotic normality. Next we propose an estimator of the location of the change-point and give its asymptotic distribution and corresponding rate of convergence. Afterwards, we are interested in testing for a change-point. The properties of the deviation process associated with the jump estimate process, allow to obtain the asymptotic distributions of some test statistics for a change-point. In the case where there are more than one change, we introduce a consistant algorithm to estimate the number of change-points together with their localizations. Finally, we propose a method for the estimation of a piecewise smooth regression fonction. We show that, provided discontinuities can be located with sufficient accuracy, our approach enjoys rates of convergence similar to those obtained in smooth case. For each of the proposed procedures, we provide numerical experiments that show evidence of the quality of the method and give some information about the dependence upon such parameters as the kernel and the bandwith.
Nous nous intéressons dans cette thèse à l'estimation, dans un cadre non paramétrique, d'une fonction de régression présentant des discontinuités et, plus précisément aux pro\-blè\-mes de détection de ruptures, d'estimation des paramètres de rupture (nombre, localisations, amplitudes) et de segmentation de la fonction de régression (reconstitution de la fonction). La méthode utilisée est basée sur les propriétés du processsus de saut estimé, $\hat(\gamma)(t)$, défini en tout $t$ comme la différence entre un estimateur à droite et un estimateur à gauche, ces estimateurs étant obtenus régression linéaire locale.\par Dans un premier temps, nous considérons la situation d'une seule discontinuité et étudions les propriétés de l'estimateur de l'amplitude de la discontinuité lorsque la localisation est connue. Nous donnons l'expression de l'erreur quadratique moyenne asymptotique et montrons la convergence et la normalité asymptotique de l'estimateur. Lorsque la localisation $\tau$ n'est pas connue, nous construisons un estimateur de $\tau$ à l'aide du processus de déviation locale associé à $\hat(\gamma)(t)$ et montrons que cet estimateur converge avec une vitesse en $n^(-1)$ ou arbitrairement proche de $n^(-1)$ selon le noyau utilisé. Nous proposons ensuite trois tests d'existence d'une rupture : un test strictement local, un test local et un test global, tous trois définis en terme d'une statistique construite à l'aide du processus de saut estimé. Concernant le problème d'estimation du nombre de ruptures nous élaborons une procédure permettant à la fois d'estimer le nombre $p$ de ruptures et les localisations $\tau_1,\dots,\tau_p$. Nous montrons la convergence presque sûre de ces estimateurs et donnons aussi des résultats sur les vitesses de convergence. Enfin nous proposons une méthode de reconstitution d'une fonction de régression présentant des discontinuités basée sur la segmentation des observations. Nous montrons qu'en utilisant la procédure d'estimation du nombre de ruptures et des localisations développée auparavant, nous obtenons un estimateur de la fonction de régression qui a la même vitesse de convergence qu'en l'absence de ruptures. Des expérimentations numériques sont fournies pour chacun des problèmes étudiés de manière à mettre en évidence les propriétés des procédures étudiées et leur sensibilité aux divers paramètres.
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  • HAL Id : tel-00004840 , version 1

Citer

Zouhir Hamrouni. Inférence statistique par lissage linéaire local pour une fonction de régression présentant des discontinuités. Modélisation et simulation. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1999. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00004840⟩
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