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Thèse Année : 2003

Box-schemes : Numerical and Theoretical study

Schemas boite : Etude theorique et numerique

Résumé

The main object of this thesis is the theoretical and numerical analysis of box schemes. This class of schemes, has been introduced by H.B. Keller in 1971 for parabolic problems. In the case of elliptic problems, the basic principle is to average the two continuous equations (conservation and flux) given by the mixed form of the problem, onto the boxes of the mesh. Box schemes belong to the category of so-called mixed Petrov-Galerkin finite volume methods. Indeed, the approximation is performed on the mixed form of the problem, with a pair of trial spaces different from the pair of test spaces. The trial spaces (for $u$ and $\nabla u$) are of finite element type and the test spaces are of Galerkin-discontinuous type. The selection of the different spaces functions (trial and test) is difficult, because they have to satisfy the compatibility Babuska-Brezzi condition. However, contrary to other schemes, the method requires an unique mesh. In most of the cases, the scheme is equivalent to a variational formulation in the principal unknow ($u$) and a local reconstruction of the flux ($\nabla u$). Firstly, I studied the bidimensional mixed form of the Poisson problem with a box scheme on triangular or quadrangular meshes. Stability results and error estimates are given using the finite element theory. A numerical study on several test cases (Matlab code) completes our theoretical results. As part of the research group MoMaS for deep ground repositories of radioactive wastes, the potential interest of box schemes for unstationary convection-diffusion problems has been tested. A box scheme has been designed for the 1D equation. Two kinds of upwinding are introduced, each one being designed to cure the two classical oscillations sources present in the approximation of convective-diffusion equations. The generalization to the bidimensional case is perfomed using an ADI-like method (Alternating Direction Implicit).
Dans cette these, nous etudions les schemas boite. Ils ont ete introduits par H.B. Keller en 1971. Dans un premier temps, on s'est interesse a des problemes elliptiques de type Poisson. Plusieurs schemas boite pour des domaines de $\mathbb(R)^2$ mailles par des triangles ou des rectangles ont ete introduits. Dans ce cas, la discretisation s'effectue sur la forme mixte du probleme en prenant la moyenne des deux equations (conservation et flux) sur les cellules du maillage. La methode peut etre qualifiee de ``methode volumes finis mixte de type Petrov-Galerkin ``. Une des difficultes du design de cette famille de schemas reside dans le choix des differents espaces de fonctions (approximation et test) qui doivent satisfaire des conditions de compatibilite de type Babuska-Brezzi. En revanche, cette methode de discretisation ne necessite qu'un seul maillage (le maillage du domaine). De plus, on montre dans la plupart des cas que le schema obtenu est equivalent a un probleme découplé : la résolution d'un probleme variationnel pour l'inconnue principale et une formule locale pour le gradient (le flux). Cette formulation facilite le calcul des inconnues discretes. Des resultats de stabilite et les calculs d'erreurs reposant sur la theorie des elements finis ont ete etablis. Une etude numérique valide ces resultats pour quelques cas tests. Dans le cadre du Groupement de Recherche MoMaS pour le stockage des dechets nucleaires dans la Meuse, j'ai ensuite etudie des problemes de convection-diffusion instationnaires. Un schéma boite permettant d'approcher ces equations dans le cas monodimensionnel a ete introduit. Des coefficients de decentrement propres a chaque maille permettent de controler le schema (precision, stabilite). Afin de generaliser rapidement ce schema au cas bidimensionnel, je me suis concentree sur une extension du schema boite monodimensionnel par la methode ADI (Alternating Direction Implicit).
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Dates et versions

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  • HAL Id : tel-00005922 , version 1

Citer

Isabelle Greff. Schemas boite : Etude theorique et numerique. Mathématiques [math]. Université de Metz, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00005922⟩
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