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Thèse Année : 2001

Résolution rapide d'équations intégrales pour un problème d'antennes par des méthodes d'ondelettes

Cyril Safa
  • Fonction : Auteur

Résumé

Integral equations methods for solving PDEs, and in particular Maxwell's equations system, are now well known for about twenty years. After discretization by finite elements, a dense linear system arises, which is unfortunate for any numerical implementation. For positive order operators, some successfull works have been led to reduce the discrete linear system to a sparse one. Some difficulties remained for Maxwell's system: energy space(s), presence of a negative order operator, and thus, choice of wavelets. In this thesis, I give a method to bring Maxwell's scattering problem back to classical Sobolev spaces on a manifold using Hodge decompositions. I also give a way to compress the discrete problem provided wavelets satisfy some properties (moment conditions, stability). The compression works even with wavelets based on piecewise linear finite elements, despite the presence of a negative order operator, and does not affect optimal convergence rates. The analysis has been done on a closed simply connected regular manifold as well as on a part of such manifolds, with a polygonal boundary (open surface). Functional spaces and wavelet compression, much more complicated in the latter case, are studied in detail.
Les méthodes intégrales pour résoudre des EDP, et en particulier le système de Maxwell, sont bien connues depuis environ vingt ans. Après discrétisation par éléments finis, un système linéaire plein apparaît, ce qui rend toute implémentation numérique difficile voire impossible. Pour les opérateurs d'ordre positif, quelques travaux ont été menés avec succès pour rendre creuse la matrice du système discret. Quelques difficultés restaient pour le problème de Maxwell: espace(s) d'énergie, présence d'un opérateur d'ordre négatif, et donc choix des ondelettes pour la résolution. Dans cette thèse, je donne une méthode pour ramener le système de Maxwell, issu d'un problème de diffraction en régime harmonique, à une étude sur des espaces de Sobolev classiques définis sur une surface, en utilisant des décompositions de Hodge. Je donne aussi une méthode de compression pourvu que les ondelettes vérifient certaines conditions (moments nuls, stabilité). La méthode de compression donnée fonctionne même avec des ondelettes formées à partir de polynômes de degré un, malgré la présence d'un opérateur d'ordre négatif, sans perturber des taux de convergence optimaux. L'analyse a été faite sur une surface fermée (sans bord) régulière simplement connexe, puis sur une partie à bord polygonal d'une telle surface (plaque ouverte). Les espaces fonctionnels et la compression de matrice, bien plus compliqués dans ce dernier cas, ont été étudiés en détail.
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Dates et versions

tel-00006317 , version 1 (24-06-2004)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00006317 , version 1

Citer

Cyril Safa. Résolution rapide d'équations intégrales pour un problème d'antennes par des méthodes d'ondelettes. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2001. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00006317⟩

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