Correspondance de McKay : variations en dimension trois - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2004

McKay correspondance: dimension three variations

Correspondance de McKay : variations en dimension trois

Résumé

Let $X$ be a quasiprojective scheme smooth over $\mathbb(C)$ and $G$ a finite group. In a first part, we study the $G$-Hilbert scheme of $X$, and construct the Hilbert-Chow morphism by linearization of the determinant. We are then interested in a family of dimension three non abelian singularities, wich admit two natural crepant resolutions. One of them is the result of a Jung process of desingularization of singularities, and the other is the equivariant Hilbert scheme. To compare those resolutions, we calculate the fibres over any singular point in both cases. We exhib a McKay correspondance phenomenon for the Hilbert scheme resolution and construct a new family of vector bundles on $E$ parametrized by the $W_+$-Hilbert scheme. In the last part, we are interested in the $G$-equivariant derived category of $X$. We compare the $G$-equivariant derived category of $X$ with the derived category of the quotient by giving a descent criterion. We also give an equivariant version of Be(\u\i)linson's equivalence of categories.
Le thème central de cette thèse est la correspondance de McKay en dimension trois. Soit $X$ un schéma projectif lisse sur un corps $k$ et $G$ un groupe réductif fini. Dans un premier temps, on s'intéresse au schéma de Hilbert $G$-équivariant de $X$. On le définit dans un cadre général et on construit le morphisme de Hilbert-Chow par une méthode de linéarisation du déterminant. On étudie alors le cas particulier où le quotient $X/G$ est lisse. Dans un deuxième temps, on étudie une famille de singularités de dimension trois qui admettent deux résolutions crépantes naturelles : l'une est le schéma de Hilbert équivariant, et l'autre est le résultat d'un processus de désingularisation de singularités de points doubles. On calcule les fibres de ces deux résolutions et on conclut que le schéma de Hilbert donne une résolution plus naturelle au sens de McKay. On donne alors une interprétation de ce schéma en tant qu'espace modulaire d'une famille de fibrés vectoriels. Enfin, on s'intéresse à la catégorie dérivée équivariante. On donne une version $G$-équivariante du théorème de Be\u(\i)linson, puis on compare la catégorie dérivée $G$-équivariante de $X$ et la catégorie dérivée du quotient $X/G$ en déterminant l'image du foncteur $(\bf L)\pi^* : (\cal D)(X/G)\rightarrow (\cal D)^G(X)$.
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Dates et versions

tel-00006683 , version 1 (16-08-2004)
tel-00006683 , version 2 (14-10-2004)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00006683 , version 2

Citer

Sophie Térouanne. Correspondance de McKay : variations en dimension trois. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00006683v2⟩
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