Algebraic descriptions of weighted directed graphs and their applications - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

Algebraic descriptions of weighted directed graphs and their applications

Description algèbrique des graphes orientés pondérés et applications

Résumé

One of the main goal of this thesis is the construction of an algebraic formalism embedding the notion of weighted directed graph and that of coassociative coalgebra. We show the necessity to work with coalgebras equipped with two coproducts or co-operations. Therefore, we recover the notion of associative dialgebra introduced ten years ago by Jean-Louis Loday, notion motivated by K-theory, proposing thus a complementary point of view to his formalism. The development of the algebraic formalism introduced in this thesis also proposes an extension of the notion of directed graphs and demonstrate the usefulness of coalgebras equipped with several coproducts. The constuction of directed graphs on algebraic objects such as algebras, bialgebras or Hopf algebras motivate the natural construction of other types of algebras such as associative trialgebras, cubical trialgebras, dendriform algebras, dipterous algebras and pre-dendriform algebras introduced by Jean-Louis Loday and Maria Ronco and re-discovered by the author. The construction of tilings or coassociative coverings of directed graphs by coassociative coalgebras or codipterous coalgebras allows the construction of more general algebraic objects named coassociative manifolds. Other objectives developed in this thesis are related to coassociative grammars or to the Quillen formalism applied to Leibniz-Ito derivatives, a tool arising in classical and quantum stochastic calculi and naturally related to the author's framework.
Un des objectifs majeurs de cette thèse est la construction d'un formalisme algébrique englobant la notion de graphe orienté pondéré et celle de cogèbre coassociative. On montre la nécessité de travailler avec des cogèbres équipées de deux coproduits ou co-opérations. Ce faisant on retrouve la notion de digèbre associative introduite dix ans plus tôt par Jean-Louis Loday, notion motivée par la K-théorie, proposant ainsi un point de vue complémentaire à son formalisme. Le développement du formalisme algébrique introduit dans cette thèse propose aussi une extension de la notion de graphe orienté ainsi que l'utilisation de cogèbres équipées de plusieurs coproduits. La construction de graphes orientés sur des objets algébriques tels que les produits. La construction de graphes orientés sur des objets algébriques tels que les algèbres, bigèbres ou algèbres de Hopf motive ainsi la construction naturelle d'autres types d'algèbres tels que les trigèbres associatives, trigèbres cubiques, algèbres dendriformes, algèbres diptères et algèbres pré-dendriformes introduites par Jean-Louis Loday et Maria Ronco et re-découvertes par l'auteur. La construction de pavages ou de recouvrements coassociatifs de graphes orientés par des cogèbres coassociatives ou cogèbres codiptères permet la construction d'objets algèbriques plus généraux qu'on appelle variétés coassociatives. D'autres objectifs développés dans cette thèse sont liés à l'utilisation de grammaires coassociatives ou au formalisme de Quillen appliqué aux dérivées de type Leibniz-Ito, outils apparaissant en calculs stochastiques classique et quantique et reliés de très près au formalisme proposé par l'auteur.
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  • HAL Id : tel-00007375 , version 1

Citer

Philippe Leroux. Algebraic descriptions of weighted directed graphs and their applications. Mathematics [math]. Université Rennes 1, 2003. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00007375⟩
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