L'algèbre des symétries quantiques d'Ocneanu et la classification des systèmes conformes à 2D - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

The Ocneanu algebra of quantum symmetries and the classification of 2D conformal systems

L'algèbre des symétries quantiques d'Ocneanu et la classification des systèmes conformes à 2D

Résumé

The partition functions of a 2D conformal system - the modular invariant one or the generalized ones, coming from the introduction of defect lines - are expressed in terms of a set of coefficients that have the particularity to form nimreps of certain algebras. These coefficients define the various structure maps of a new class of Hopf Algebras, called Weak Hopf Algebras, and can be encoded in a set of graphs. The aim of chapter 1 is a presentation of the actual knowledge on this subject. In chapter 2 the Weak Hopf Algebra together with its structures is introduced, in particular the Ocneanu algebra of quantum symmetries, that play a key role in the study of 2d conformal systems. We analyze in details these structures for the A3 diagram, associated to the affine su(2) conformal system. In chapter 3, we present a realization of the Ocneanu algebra of quantum symmetries, constructed as a quotient of the tensor square of a graph algebra (ADE graph for the affine (2) model). This realization allows obtaining a very simple algorithm for the determination of the partition functions associated with the conformal model. Our construction can be naturally generalized to the affine su(n) cases, with n > 2, where few results were known. All the cases related of su(2)-type as well as three particular examples of su(3)-type are explicitly treated in chapter 4.
Cette thèse étudie la classification des théories conformes à 2d à l'aide de symétries quantiques de diagrammes. Les fonctions de partition d'un système conforme - l'invariante modulaire ou celles provenant de l'introduction de lignes de défauts - s'expriment en fonction d'un ensemble de coefficients qui forment des nimreps de certaines algèbres. Ces coefficients définissent les diverses structures d'une classe d'algèbres de Hopf, dites faibles, et peuvent être codés par un ensemble de graphes. Le chapitre 1 présente les connaissances actuelles sur ce sujet. Dans le chapitre 2 sont introduites l'algèbre de Hopf faible et ses structures, notamment l'algèbre des symétries quantiques d'Ocneanu, qui joue un rôle important dans l'étude des systèmes conformes à 2d. Nous analysons en détails ces structures pour le diagramme A3 du modèle affin su(2). Le chapitre 3 est dédié à la présentation d'une réalisation de l'algèbre des symétries quantiques d'Ocneanu, construite comme un quotient du carré tensoriel de l'algèbre d'un graphe G (de type ADE pour le modèle affin su(2)). Cette réalisation permet d'obtenir un algorithme simple permettant le calcul des fonctions de partition du modèle conforme associé. Notre construction se prête naturellement à une généralisation aux cas affins su(n), pour n > 2, pour lesquels peu de résultats étaient connus. Dans le chapitre 4, nous traitons explicitement tous les cas du type su(2) ainsi que trois exemples choisis du type su(3).
Fichier principal
Vignette du fichier
tel-00007545.pdf (1.36 Mo) Télécharger le fichier
tel-00007545.ppt (1.34 Mo) Télécharger le fichier
Format : Autre
Loading...

Dates et versions

tel-00007545 , version 1 (26-11-2004)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00007545 , version 1

Citer

Gil Schieber. L'algèbre des symétries quantiques d'Ocneanu et la classification des systèmes conformes à 2D. Mathématiques [math]. Université de Provence - Aix-Marseille I, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00007545⟩
143 Consultations
295 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More