Supersingular module and rational points on modular curves
Module supersingulier et points rationnels des courbes modulaires
Résumé
We study here the free group generated by isomorphism classes of supersingular elliptic curves in positive characteristic $p$, called the supersingular module. We compare it with others Hecke modules: the homology of modular curve $X_0(p)$ and the set of modular forms of weight $2$ and level $p$. We give several interpretations and applications of Gross and Gross-Kudla's formulas about $L$-functions of modular forms. Using the links between supersingular module and geometry of X_0(p)$ we apply these results in order to study the rational points on certain modular curves. Following the method of Momose and Parent, we determinate an infinite set of primes $p$ for which the quotient of $X_0(p^r)$ ($r\geq 2$) by Atkin-Lehner operator has no rational points other than cusps and CM points.
Nous étudions ici le groupe libre engendré par les classes d'isomorphisme de courbes elliptiques supersingulières en caractéristique $p$ appelé module supersingulier. Nous le comparons à d'autres modules de Hecke : l'homologie de la courbe modulaire $X_0(p)$ et l'ensemble des formes modulaires de poids $2$ et de niveau $p$. Nous donnons des interprétations et des applications des formules de Gross et Gross-Kudla concernant les fonctions L de formes modulaires. Les liens entre le module supersingulier et la géométrie de $X_0(p)$ nous permettent d'appliquer ces résultats à l'étude des points rationnels de certaines courbes modulaires. Reprenant une méthode de Momose et Parent, nous déterminons notamment un ensemble infini de nombres premiers $p$ pour lesquels le quotient de $X_0(p^r)$ ($r\geq 2$) par l'opérateur d'Atkin-Lehner n'a pour points rationnels que les pointes et les points CM.
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