Real algebraic curves and real pseudoholomorphic curves in ruled surfaces - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2004

Real algebraic curves and real pseudoholomorphic curves in ruled surfaces

Courbes algébriques réelles et courbes pseudoholomorphes réelles dans les surfaces réglées

Résumé

This thesis is motivated by the study of real algebraic curves in the real projective plane and in rational geometrically ruled surfaces equipped with their standard real structure. We were especially interested in two particular problems. The ovals of a nonsingular curves in the projective plane of even degree are naturally divided in two disjoint sets : even ovals, contained in an even number of ovals, and odd ovals. Combining the Harnack and Petrovsky inequalities, one obtains an upper bound on the number of even ovals, and on the number of odd ovals with respect to the degree of the curve. We generalize here a previous construction of I. Itenberg, and show that this upper bound is asymptotically sharp. Almost all known prohibitions on the topology of real algebraic curves are still valid for a wider class of objects, real pseudoholomorphic curves. An open problem is the existence of a real scheme realizable by a nonsingular real pseudoholomorphic curve but not realizable by a nonsingular real algebraic curve of the same degree. In this thesis, we study real nonsingular algebraic and pseudoholomorphic symmetric curves of degree 7 in the real projective plane. In particular, we give several classifications and exhibit two real schemes realizable by dividing nonsingular real symmetric pseudoholomorphic curves of degree 7, but not realizable by such algebraic curves. Some results of this thesis are based on the techniques of dessins d'enfants. In real algebraic geometry these objects were first used by S. Yu. Orevkov. In particular, they allow one to answer the following question : does there exist two real polynomials P and Q of degree n such that the real roots of P, Q, and P+Q realize a given arrangement? Following Orevkov, we give a necessary and sufficient condition for the existence of two such polynomials, formulated in terms of dessins d'enfants. We also give an algorithm which gives a possibility to check whether a given L-scheme is realizable by a real trigonal algebraic curve.
Cette thèse est motivée par l'étude des courbes algébriques réelles dans le plan projectif réel et dans les surfaces rationnelles géométriquement réglées, munis de leur structure réelle standard. Deux problèmes ont particulièrement retenus notre attention. Les ovales d'une courbe non singulière dans dans le plan projectif réel de degré pair sont naturellement divisés en deux ensembles disjoints : les ovales pairs, contenus dans un nombre pair d'ovales, et les ovales impairs. La combinaison des inégalités de Harnack et de Petrovsky permet d'obtenir une borne supérieure pour le nombre d'ovales pairs et le nombre d'ovales impairs en fonction du degré de la courbe. Généralisant une construction antérieure d'I. Itenberg, nous montrons que cette borne est asymptotiquement optimale. La majorité des restrictions connues sur la topologie des courbes algébriques réelles sont aussi valables pour une classe plus vaste d'objets, les courbes pseudoholomorphes réelles. Un problème ouvert est celui de l'existence d'un schéma réel réalisable par une courbe pseudoholomorphe réelle non singulière, mais pas par une courbe algébrique réelle non singulière de même degré. Nous étudions dans cette thèse les courbes réelles non singulières symétriques de degré 7 dans le plan projectif réel, algébriques et pseudoholomorphes. Nous obtenons en particulier plusieurs classifications, et exhibons deux schémas réels réalisables par des courbes pseudoholomorphes réelles séparantes symétriques non singulières de degré 7 mais pas par de telles courbes algébriques. Certains des résultats de cette thèse sont basés sur l'utilisation des dessins d'enfants. En géométrie algébrique réelle, ces objets ont été utilisés la première fois par S. Yu. Orevkov. Ils permettent en particulier de répondre à la question suivante : Existe-t-il deux polynômes réels P et Q de degré n tels que les racines réelles de P, Q et P+Q réalisent un arrangement donné? Suivant Orevkov, nous donnons une condition nécessaire et suffisante à l'existence de deux tels polynômes, formulée en terme de dessins d'enfants. Nous donnons aussi un algorithme permettant d'établir si un L-schéma donné est réalisable par une courbe algébrique réelle trigonale.
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Dates et versions

tel-00008652 , version 1 (03-03-2005)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00008652 , version 1

Citer

Erwan Brugallé. Real algebraic curves and real pseudoholomorphic curves in ruled surfaces. Mathematics [math]. Université Rennes 1, 2004. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00008652⟩
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