Approche probabiliste des particules collantes et système de gaz sans pression - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

Probabilistic approch of sticky particles and pressure-less gas system

Approche probabiliste des particules collantes et système de gaz sans pression

Résumé

At each time $t$, our construction of sticky particle dynamics, with initial mass repartition function $F_0$ and velocities $u_0$, is given by the convex hull $H(\cdot,t)$ of the function $m\in (0, 1)\mapsto \int_a^m\big( F_0^(-1)(z) + tu_0\big(F_0^(-1)(z)\big)\big)dz$. Here, $F_0^(-1)$ is one of two inverse functions of $F_0$. We show that the processes $X_t^-(m)= \partial_m^-H(m,t),\; X_t^+(m) = \partial_m^+H(m,t)$, defined on the probability space $([0, 1], (\cal B), \lambda)$, are not distinguishable, and they model the particle trajectories. The process $X_t=:X_t^-=X_t^+$ is a solution of the equation $(SDE):\;\frac(dX_t)(dt) =\E[ u_0(X_0)/X_t]$, such that $P(X_0 \leq x) = F_0(x)\,\,\forall x$. The inverse $M_t:= M(\cdot,t)$ of the map $m\mapsto \partial_mH(m,t)$ is the mass repartition function at time $t$. It is also the repartition function of the random variable $X_t$. We show the existence of a forward flow map $\big(\phi(x,t,M_s, u_s),\,s < t\big)$ satisfying $X_t = \phi(X_s,t,M_s,u_s)$, where $u_s(x) = \E[ u_0(X_0)/X_s = x]$ is the velocity map of the particles at time $s$. If $\frac(dF_0^n)(dx)$ converges weakly towards $\frac(dF_0)(dx)$, then the flow $\phi(\cdot,\cdot,F_0^n,u_0)$ converges uniformly, on every compact subset of $\R\times\R_+$, towards $\phi(\cdot,\cdot,F_0,u_0)$. We then recover and generalise some results about partial differential equations : the map $(x,t)\mapsto M(x,t)$ is the entropy solution of a scalar conservation law with $F_0$ as initial data, and the family $\big(\rho(dx,t) = P(X_t\in dx),\, u(x,t) = \E[ u_0(X_0)/X_t = x],\,t >0\big)$ is a weak solution of the pressure-less gas system of equations with initial datum $\frac(dF_0(x))(dx), u_0$. This thesis also presents other solutions of the above stochastic differential equation $(SDE)$.
A chaque instant $t$, nous construisons la dynamique des particules collantes dont la masse est distribuée initialement suivant une fonction de répartition $F_0$, avec une vitesse $u_0$, à partir de l'enveloppe convexe $H(\cdot,t)$ de la fonction $m\in (0,1)\mapsto \int_a^m\big( F_0^(-1)(z) + tu_0\big(F_0^(-1)(z)\big)\big)dz$. Ici, $F_0^(-1)$ est l'une des deux fonctions inverses de $F_0$. Nous montrons que les deux processus stochastiques $X_t^-(m)= \partial_m^-H(m,t),\; X_t^+(m) = \partial_m^+H(m,t)$, définis sur l'espace probabilisé $([0, 1], (\cal B), \lambda)$, sont indistinguables et ils modélisent les trajectoires des particules. Le processus $X_t:= X_t^- = X_t^+$ est une solution de l'équation $(EDS): \; \frac(dX_t)(dt) =\E[ u_0(X_0)/X_t]$, telle que $P(X_0 \leq x) = F_0(x)\,\,\forall x$. L'inverse $M_t:= M(\cdot,t)$ de la fonction $m\mapsto \partial_mH(m,t)$ est la fonction de répartition de la masse à l'instant $t$. Elle est aussi la fonction de répartition de la variable aléatoire $X_t$. On montre l'existence d'un flot $(\phi(x,t,M_s, u_s))_( s < t)$ tel que $X_t= \phi(X_s,t,M_s,u_s)$, où $u_s(x) = \E[ u_0(X_0)/X_s = x]$ est la fonction vitesse des particules à l'instant $s$. Si $\frac(dF_0^n)(dx)$ converge faiblement vers $\frac(dF_0)(dx)$, alors la suite des flots $\phi(\cdot,\cdot,F_0^n,u_0)$ converge uniformément, sur tout compact, vers $\phi(\cdot,\cdot,F_0,u_0)$. Ensuite, nous retrouvons et étendons certains résultats des équations aux dérivées partielles, à savoir que la fonction $(x,t)\mapsto M(x,t)$ est la solution entropique d'une loi de conservation scalaire de donnée initiale $F_0$, et la famille $\big(\rho(dx,t) = P(X_t\in dx),\, u(x,t) = \E[ u_0(X_0)/X_t = x]\big)_(t >0)$ est une solution faible du système de gaz sans pression de données initiales $\frac(dF_0(x))(dx), u_0$. Cette thèse contient aussi d'autres solutions de l'équation différentielle stochastique $(EDS)$ ci-dessus.
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  • HAL Id : tel-00008721 , version 2

Citer

Octave Moutsinga. Approche probabiliste des particules collantes et système de gaz sans pression. Mathématiques [math]. Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00008721v2⟩
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