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Thèse Année : 2004

On the modeling of thin plates in nonlinear elasticity

Sur la modélisation des plaques minces en élasticité non linéaire

Karim Trabelsi

Résumé

This PhD thesis is dedicated to the mathematical modelling of nonlinearly elastic thin plates. Namely, nonlinear two-dimensional models of plates are derived from three-dimensional elasticity via two methods: the formal asymptotic expansions and Gamma-convergence. Two classes of realistic hyperelastic materials with singular stored energy function are considered. For the first class of materials, the energy tends to infinity as the determinant of the deformation gradient tends to zero hence preventing the annihilation of volumes. Here, using the first method, we draw a new nonlinear membrane model that precludes the formation of \textit(folds) and that approximates the classical model for small deformations. The classical nonlinear inextensional model is also retrieved. Then incompressible materials are considered i.e. stored energy functions are infinite whenever the determinant of the deformation gradient is different from one. A nonlinear membrane model is produced using the second method. Finally, we show the non-existence of minimizers for membranes under compression and make some general remarks on the topic.
Ma thèse a été consacrée à la modélisation mathématique des plaques minces en élasticité non linéaire. Plus précisément, il s'agit d'obtenir des modèles non linéaires bidimensionnels de plaques à partir de l'élasticité non linéaire tridimensionnelle en employant essentiellement deux méthodes: le développement asymptotique formel et la Gamma-convergence. Deux classes de matériaux hyperélastiques réalistes à densités d'énergie singulières sont étudiées. Pour la première classe, l'énergie tend vers l'infini lorsque le déterminant du gradient de la déformation tend vers zéro i.e. l'on ne peut comprimer un volume en un point. Pour ce type de plaques, on obtient, en employant la première méthode, un nouveau modèle membranaire non linéaire qui empêche la formation de plis et qui approche le modèle classique pour les petites déformations. On retrouve aussi le modèle inextensionnel non linéaire classique. Ensuite, on considère les matériaux incompressibles i.e. la densité d'énergie est infinie pour les déformations dont le déterminant du gradient est différent de un. On produit grâce à la deuxième méthode un modèle membranaire non linéaire. Enfin, on montre un résultat de non existence de minimiseurs pour le modèle membranaire non linéaire classique comprimé et quelques remarques générales sont faites à ce sujet.
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tel-00008991 , version 1 (11-04-2005)

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  • HAL Id : tel-00008991 , version 1

Citer

Karim Trabelsi. On the modeling of thin plates in nonlinear elasticity. Mechanics [physics.med-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00008991⟩
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