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\documentclass[12pt]{article}
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% A tribute to the worthy AMS:
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%
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\newtheorem{cnst}[prop]{Construction}
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%
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\begin{document}
\title{Une observation sur la R-équivalence sur les hypersurfaces cubiques sur les corps $p$-adiques}
\author{David A. Madore}
\maketitle
%\begin{center}
%CVS: \verb=$Id: cubtriv.tex,v 1.12 2005/04/15 20:46:18 david Exp $=
%\end{center}
%
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%
Le but de cette note est de prouver le point suivant :
\begin{prop}
\label{MainProp}
Soit $X$ une hypersurface cubique de dimension au moins $10$
sur un corps $p$-adique $K$.  Alors deux points quelconques de
$X(K)$ sont R-équivalents : $X(K)/R=\{*\}$.
\end{prop}

\begin{cor}
\label{ChowCor}
Soit $X$ une hypersurface cubique de dimension au moins $10$
sur un corps $p$-adique $K$.  Alors le groupe de Chow des
zéro-cycles de degré zéro sur $X$, modulo équivalence rationnelle, est
nul : $\Chow_0^0(X)=0$.
\end{cor}

On utilisera pour la proposition \ref{MainProp} uniquement les deux
propriétés suivantes du corps $K$ :
\begin{itemize}
\item toute forme quadratique sur $K$ en au moins $5$ variables
  possède un zéro non trivial, et
\item toute forme cubique sur $K$ en au moins $10$ variables possède
  un zéro non trivial (cf. \cite{Lewis}).
\end{itemize}
Le résultat sera donc valable sur tout corps $K$ possédant ces deux
propriétés (par exemple si $K$ est un corps $C_2$).  Le
corollaire \ref{ChowCor} utilise, lui, le fait que ces propriétés sont
encore satisfaites pour toute extension finie de $K$.

On commence par prouver le lemme suivant :
\begin{lem}
\label{KeyLemma}
Soit $d\geq 1$ un entier et soit $K$ un corps tel que toute forme
quadratique sur $K$ en au moins $d$ variables possède un zéro non
trivial.  Soit $Y$ une hypersurface cubique de dimension au moins
$d-1$ sur $K$, possédant un point singulier $K$-rationnel.  Alors deux
points quelconques de $Y(K)$ sont R-équivalents : $Y(K)/R=\{*\}$.
\end{lem}
\begin{proof}
Appelons $P \in Y(K)$ le point $K$-rationnel singulier dont
l'existence est supposée.  L'hypersurface $Y$ est donnée dans
$\mathbb{P}^n_K$ (où $n \geq d$), et on suppose pour fixer les idées
que $P$ a les coordonnées homogènes $(U_0:\cdots:U_n)=(1:0:\cdots:0)$.
Comme $P$ est singulier, l'équation de $Y$ s'écrit $U_0\,
q(U_1,\ldots,U_n) + c(U_1,\ldots,U_n) = 0$, où $q$ et $c$ sont des
polynômes homogènes à coefficients dans $K$ de degrés respectifs $2$
et $3$.

Soit $Q\in Y(K)$ : on va montrer que $P$ et $Q$ sont R-équivalents.

Si $Q=P$ ou si la droite reliant $P$ à $Q$ (dans $\mathbb{P}^n$) est
incluse dans $X$ alors le résultat est immédiat.  Supposons donc que
ce n'est pas le cas.

Remarquons que pour $(v_0:\cdots:v_n)$ les coordonnées de $Q$, on a
$(v_1,\ldots,v_n)\penalty0 \neq(0,\ldots,0)$ (puisque $Q\neq P$) et
$q(v_1,\ldots,v_n)\neq 0$ (puisque la droite reliant $P$ à $Q$
n'est pas incluse dans $X$, ce qui serait le cas si on avait
$q(v_1,\ldots,v_n)=0$ donc aussi $c(v_1,\ldots,v_n)=0$).

On définit une application rationnelle $\psi\colon\mathbb{P}^{n-1}
\dasharrow Y$ par $(U_1:\cdots:U_n) \mapsto (-c(U_1,\ldots,U_n) :
U_1\,q(U_1,\ldots,U_n) : \cdots : U_n\,q(U_1,\ldots,U_n))$.
D'après ce qui a été remarqué, cette application est au moins définie
en $(v_1:\cdots:v_n)$, qu'elle envoie sur $Q$.

Soit $(w_1,\ldots,w_n)\neq(0,\ldots,0)\in K^n$ tel que
$q(w_1,\ldots,w_n)=0$, ce qui existe car $n\geq d$ donc la forme
quadratique $q$ en $n$ variables a sur $K$ un zéro non trivial.
Soit $f\colon \mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^{n-1}$ (par exemple --- mais
pas nécessairement --- linéaire) telle que $f(0)=(w_1:\cdots:w_n)$
et $f(\infty)=(v_1:\cdots:v_n)$.  Posons $h = \psi\circ f$, qui se
prolonge en un morphisme $h\colon \mathbb{P}^1 \to Y$.  On a
certainement $h(\infty) = Q$.

L'existence de $h$ atteste que le point $P_1 = h(0)$ est
R-équivalent à $Q$.  Si $c(w_1,\ldots,w_n) \neq 0$, alors $\psi$ est
définie en $(w_1:\cdots:w_n)$ et y vaut $P$, de sorte que $P_1=h(0)=P$
donc $P$ et $Q$ sont R-équivalents, ce qu'on voulait démontrer.  Si
au contraire $c(w_1,\ldots,w_n) = 0$, alors la droite $\Delta$ reliant
$P=(1:0:\cdots:0)$ à $(0\colon w_1\colon \cdots \colon w_n) \in
\mathbb{P}^n$ est tout entière contenue dans $Y$.  Or le point $P_1$
est sur cette droite $\Delta$ : en effet, si $\delta \colon
\mathbb{P}^n \dasharrow \mathbb{P}^{n-1}$ est $(U_0\colon \cdots\colon
U_n)\mapsto (U_1\colon\cdots\colon U_n)$, alors $\delta$ est définie
en au moins un point de l'image de $h$ (à savoir $h(\infty)=Q$) et
$\delta\circ\psi$ est l'identité, donc $\delta\circ h = f$, donc
$\delta(P_1) = f(0) = \delta(P)$, ce qui signifie bien que $P_1$ est
sur $\Delta$.

On voit alors que $Q$ et $P_1$ sont R-équivalents (par $h$) et que
$P$ et $P_1$ sont R-équivalents (par $\Delta$), ce qui prouve que
$P$ et $Q$ sont R-équivalents.

Dans tous les cas, la conclusion souhaitée est atteinte.
\end{proof}

Nous pouvons maintenant démontrer la proposition suivante, qui
(eu égard aux faits sur les corps $p$-adiques énoncés
précédemment) implique immédiatement la proposition \ref{MainProp}.
\begin{prop}
\label{EssProp}
Soit $d\geq 1$ un entier et soit $K$ un corps tel que toute forme
quadratique ou cubique sur $K$ en au moins $d$ variables possède un
zéro non trivial.  Soit $X$ une hypersurface cubique de dimension au
moins $d$ sur $K$.  Alors deux points quelconques de $X(K)$ sont
R-équivalents : $X(K)/R=\{*\}$.
\end{prop}
\begin{proof}
L'hypersurface $X$ est donnée dans $\mathbb{P}^n_K$ où $n \geq d+1$.
Soient $P$ et $Q$ dans $X(K)$.  On souhaite prouver que $P$ et $Q$
sont R-équivalents.  Soient $T(P)$ et $T(Q)$ les hyperplans tangents
respectifs à $X$ en $P$ et $Q$ ; soit $C(P)$ l'hypersurface cubique
dans $T(P) \cong \mathbb{P}^{n-1}$ intersection de ce dernier avec
$X$, et soit $C(Q)$ défini de façon analogue.  Ainsi, $C(P)$ et $C(Q)$
sont des hypersurfaces cubiques ayant un point singulier $K$-rationnel
($P$ ou $Q$ respectivement).  Si $P\in T(Q)$ ou $Q\in T(P)$, le
résultat est donné par le lemme \ref{KeyLemma}.  On peut donc supposer
$T(P)$ et $T(Q)$ distincts.  Alors leur intersection $H$ est un
sous-espace linéaire projectif de dimension $n-2$ de $\mathbb{P}^n$.
Il existe un point $M\in (X\cap H)(K)$ : en effet, $X\cap H$ est
défini par une forme cubique en $n-1 \geq d$ variables, qui possède un
zéro non trivial sur $K$.  Dans ces conditions, le
lemme \ref{KeyLemma} assure successivement que $P$ et $M$ sont
R-équivalents, puis que $Q$ et $M$ le sont : donc $P$ et $Q$ sont
bien R-équivalents, comme souhaité.
\end{proof}

Enfin, expliquons comment on en déduit le corollaire \ref{ChowCor}
(l'argument qui suit est classique).
\begin{proof}[Démonstration du corollaire \ref{ChowCor}.]
Soit $a\in X(K)$ (toute forme cubique sur $K$ en au moins $10$
variables possède un zéro non trivial) : il suffit pour conclure de
montrer que pour tout point fermé $x$ sur $X$, le zéro-cycle $[x]$
qu'il définit est rationnellement équivalent à un multiple de $[a]$.
Or si $K'$ est le corps résiduel de $x$, disons de degré $d=[K':K]$,
alors, sur $X_{K'}$, $x$ est R-équivalent, donc rationnellement
équivalent, à $a\otimes_K K'$, et en poussant par le morphisme
$p\colon X_{K'}\to X$ de degré $d$, on voit que $[x]-d[a]$ est
rationnellement équivalent à zéro, ce qui donne la conclusion
souhaitée.
\end{proof}

Naturellement, le même raisonnement fournit des analogues du
lemme \ref{KeyLemma} et de la proposition \ref{EssProp} :
\begin{cor}
Soit $d\geq 1$ un entier et soit $K$ un corps tel que toute forme
quadratique sur une extension finie $K'$ de $K$ en au moins $d$
variables possède un zéro non trivial.  Soit $Y$ une hypersurface
cubique de dimension au moins $d-1$ sur $K$, possédant un point
singulier $K$-rationnel.  Alors le groupe de Chow des zéro-cycles de
degré zéro sur $Y$, modulo équivalence rationnelle, est nul :
$\Chow_0^0(Y)=0$.
\end{cor}
\begin{cor}
Soit $d\geq 1$ un entier et soit $K$ un corps tel que toute forme
quadratique ou cubique sur une extension finie $K'$ de $K$ en au moins
$d$ variables possède un zéro non trivial.  Soit $X$ une hypersurface
cubique de dimension au moins $d$ sur $K$.  Alors le groupe de Chow
des zéro-cycles de degré zéro sur $X$, modulo équivalence rationnelle,
est nul : $\Chow_0^0(X)=0$.
\end{cor}


\bigbreak {\footnotesize\linepenalty=300 \textbf{Remarque 1 :} Le
lemme \ref{KeyLemma} permet de corriger une inexactitude dans la
version publiée de \cite{selfRatEqv}, section 5.2 : l'affirmation
« les classes de R-équivalence sont denses pour la topologie de
Zariski » est erronée en général (sur un corps quelconque), elle ne
vaut que pour les classes de R-équivalence contenant un point
\emph{lisse} (un contre-exemple est fourni par la surface cubique sur
$\mathbb{R}$ d'équation $T(X^2+Y^2+Z^2)=X^3$ dans
$\mathbb{P}^3_{\mathbb{R}}$, dont le $\mathbb{R}$-point isolé
$X{=}Y{=}Z{=}0$ est une classe de R-équivalence) ; de même,
l'affirmation « une surface cubique $k$-rationnelle est R-triviale »
est incorrecte sans hypothèse sur le corps $k$ et sans hypothèse de
lissité sur la surface (même contre-exemple).  Néanmoins, avec les
hypothèses faites sur le corps $k$ (extension algébrique d'un corps
fini, ce qui implique que $k$ est $C_1$ et notamment que toute forme
quadratique en au moins trois variables possède un zéro non-trivial),
on résout ainsi la difficulté : d'une part, si la surface a un point
$k$-rationnel singulier, le lemme \ref{KeyLemma} ci-dessus permet de
conclure qu'elle est R-triviale, et d'autre part, si à l'inverse tous
les points $k$-rationnels sont lisses, le raisonnement tel qu'écrit
est correct.\par}

{\footnotesize \textbf{Remarque 2 :} On peut remarquer que les
résultats de cette note, combinés à ceux des parties 4.4 et 6.1
de \cite{selfRatEqv}, ou, de façon semblable, à ceux
de \cite{KollarSpecialz}, donnent immédiatement la R-trivialité, ainsi
que la nullité du groupe de Chow des classes de zéro-cycles de
degré $0$, pour une hypersurface cubique de dimension au moins $4$
ayant bonne réduction sur $\mathbb{C}(x)(\!(y)\!)$ ou sur
$\mathbb{C}(\!(x)\!)(\!(y)\!)$.  (Sans l'hypothèse de bonne réduction,
la présente note donne la même conclusion à partir de la dimension
$10$.)\par}

\bigbreak {\footnotesize \textbf{Remerciements :} Je remercie
Laurent Moret-Bailly, rapporteur, pour m'avoir expliqué comment
rédiger cette note de façon beaucoup plus agréable.\par}
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\begin{thebibliography}{foo}
%
\bibitem{Lewis}
D. J. Lewis, « Cubic homogeneous polynomials over $p$-adic fields »,
\textit{Ann. of Math} (2) \textbf{56} (1952), 473--478.
%
\bibitem{KollarSpecialz}
J. Kollár, « Specialization of zero-cycles »,
\textit{Publ. Res. Inst. Math. Sci.} \textbf{40} (2004) 689--708.
%
\bibitem{selfRatEqv}
D. A. Madore, « Équivalence rationnelle sur les hypersurfaces cubiques
sur les corps $p$-adiques », \textit{manuscripta mathematica}
\textbf{110} (2003), 171--185.
%
\end{thebibliography}
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\end{document}
