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\documentclass[12pt]{article}
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% A tribute to the worthy AMS:
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\newtheorem{prop}{Proposition}
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\newtheorem{cnst}[prop]{Construction}
\newcommand{\Spec}{\mathop\mathrm{Spec}\nolimits}
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%
%
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\selectlanguage{francais}
\begin{document}
\title{Approximation faible aux places de bonne réduction
sur les surfaces cubiques sur les corps de fonctions}
\author{David A. Madore}
\maketitle
{\selectlanguage{english}
\begin{abstract}
We prove that a smooth cubic surface over the field of functions of a
curve on an algebraically closed field of characteristic~$0$ satisfies
weak approximation at places of good reduction.  The method used
imitates that employed by Swinnerton-Dyer~(\cite{SwD}) in the case of
number fields.
\end{abstract}
\selectlanguage{francais}}
\begin{abstract}
On démontre que les surfaces cubiques lisses sur les corps de
fonctions d'une courbe sur un corps algébriquement clos de
caractéristique $0$ vérifient l'approximation faible aux places de
bonne réduction.  La méthode utilisée imite celle employée par
Swinnerton-Dyer (\cite{SwD}) dans le cas des corps de nombres.
\end{abstract}
\bigskip
{\narrower MSC (2000) : 14J26, 14G05, 14H05, 11D25\par}
%
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%
\section*{Introduction}

Si $X$ est une variété lisse et géométriquement connexe sur le corps
de fonctions $K=k(\Gamma)$ d'une courbe sur un corps algébriquement
clos $k$ de caractéristique $0$, et $S$ un ensemble fini de places de
$K$ (identifiées à des points de $\Gamma$, supposée propre et lisse),
on dit que $X$ vérifie l'approximation faible aux places de $S$
lorsque l'image de la flèche diagonale naturelle $X(K) \to \prod_{v\in
S} X(\hat K_v)$ est dense, où $\hat K_v$ est le complété de $K$ en la
place $v$ et $X(\hat K_v)$ est muni de la topologie $v$-adique ; si ce
résultat vaut pour tout ensemble $S$ fini de places de $K$, on dira
tout simplement que $X$ vérifie l'approximation faible.  On renvoie
à \cite{CTGille} pour une discussion générale de l'approximation
faible sur les corps de fonctions d'une courbe.

Il est tentant de conjecturer que l'approximation faible vaut pour
toute variété projective lisse et géométriquement rationnellement
connexe sur $K$ (voir \cite{KollarBook} pour une définition du terme
« rationnellement connexe » ; rappelons que les surfaces
géométriquement rationnellement connexes sont les surfaces
géométriquement rationnelles).  Le meilleur résultat connu\footnote{Depuis,
Hassett et Tschinkel ont obtenu le résultat général de l'approximation
faible aux places de bonne réduction pour toutes les variétés
(projectives, lisses) rationnellement connexes.} dans cette
direction est dû à Kollár, Miyaoka et Mori (cf. \cite{KollarBook},
IV.6.10), mais il ne donne qu'une version affaiblie de l'approximation
(essentiellement la surjectivité sur la fibre spéciale, c'est-à-dire
l'approximation à l'ordre zéro) et seulement aux places de bonne
réduction.  Il est également à mettre en perspective avec un résultat
plus récent de Graber, Harris et Starr (\cite{GraberHarrisStarr}),
assurant que $X$ a toujours un $K$-point.  Par ailleurs, on peut
également remarquer que l'approximation faible vaut lorsque $X$ est
constante, c'est-à-dire provient d'une variété rationnellement connexe
définie sur $k$ (cf. \cite{KollarLowDegree} (4.1.2.4)).

En des termes plus géométriques, la question revient à s'intéresser à
un morphisme propre $p\colon\mathscr{X}\to\Gamma$, dont la fibre
générale est lisse et rationnellement connexe : le théorème de Graber,
Harris et Starr assure que $p$ a automatiquement une section, et celui
de Kollár, Miyaoka et Mori permet alors de trouver, étant donnés un nombre
fini de points dans des « bonnes » fibres (lisses et rationnellement
connexes), une section passant par ces points.  L'approximation faible
demande à pouvoir prescrire en outre le comportement infinitésimal de
la section aux points considérés.

Parmi les cas où l'on sait que l'approximation faible vaut (y compris
aux places de mauvaise réduction ; cf. \cite{CTGille} pour une
démonstration de ces différents résultats), on peut citer les surfaces
lisses fibrées en coniques sur une conique, ou encore les
intersections complètes lisses de deux quadriques dans $\mathbb{P}^4$,
c'est-à-dire les surfaces de Del Pezzo de degré $4$.  (Rappelons,
cf. \cite{KollarBook} III.2.1, que toute surface projective lisse,
géométriquement connexe et géométriquement rationnelle est
birationnelle soit à une surface fibrée en coniques sur une conique
soit à une surface de Del Pezzo de degré $1\leq d\leq 9$.)  Le cas des
surfaces de Del Pezzo de degré $d\geq 5$ étant trivial (car elles sont
$K$-rationnelles dès qu'elles ont un $K$-point,
cf. \cite{KollarBook} III.3), le cas $d=3$, c'est-à-dire des surfaces
cubiques, apparaît comme le premier cas intéressant.

La question de savoir si l'approximation faible vaut pour une surface
cubique lisse sur $K$, au moins aux places de bonne réduction, a été
posée par J. Kollár dans son exposé au congrès européen à Budapest en
juillet 1996.  Le but de cet article est de répondre positivement à
cette question, en prouvant le résultat suivant :
\begin{thm}
Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique $0$ et $K$ le
corps de fonctions d'une courbe $\Gamma$ sur $k$.  Soit $X$ une
surface cubique lisse sur $K$ et $S\subset\Gamma$ un ensemble fini
de places de bonne réduction (en une surface cubique lisse) de
$X$.  Alors, en notant $\hat K_v$ le complété de $K$ en un $v\in S$,
l'image de la flèche naturelle $X(K) \hookrightarrow \prod_{v\in S}
X(\hat K_v)$ est dense (où l'image est munie du produit des topologies
$v$-adiques).
\end{thm}
Dans une première partie, on démontre le résultat dans le cas où
l'ensemble $S$ est réduit à une seule place $v$ avec l'amélioration
consistant à prouver la densité $v$-adique de n'importe quelle classe
de R-équivalence (proposition \ref{FinalOnePlaceResult}) ; pour
cela, on commence par obtenir un résultat de surjectivité sur la fibre
spéciale (proposition \ref{SpecializationSurjective}) avant
d'améliorer l'approximation à n'importe quel ordre.  Dans une deuxième
partie, on montre comment ce résultat en une seule place permet
d'obtenir l'approximation faible en n'importe quel ensemble fini de
places de bonne réduction.

Les arguments utilisés ici (et notamment celui de la deuxième partie)
sont inspirés de ceux employés précédemment par Swinnerton-Dyer
dans \cite{SwD} pour prouver un résultat comparable dans le cas,
techniquement plus difficile, des surfaces cubiques sur les corps de
nombres.

On renvoie à \cite{Manin} pour les propriétés générales des surfaces
cubiques.

%
%
%
\section{Approximation en une seule place de bonne réduction}

\textbf{Notations et hypothèses pour la section :} Soient $k$ un corps
algébriquement clos de caractéristique $0$, $\Gamma$ une courbe
intègre sur $k$, qu'on peut toujours supposer propre et lisse, et
$K=k(\Gamma)$ son corps des fonctions.  Soit $v\in\Gamma$ une place de
$K$, identifiée à la valuation normalisée correspondante sur $K$.
Soit $A = \{f\in K : v(f)\geq 0\}$ l'anneau des entiers correspondant,
anneau de valuation discrète dont on note $\mathfrak{m} = \{f\in K :
v(f)\geq 1\}$ l'idéal maximal et $\pi$ une uniformisante
($\mathfrak{m}=\pi A$) ; le corps résiduel $A/\pi A$ est canoniquement
isomorphe à $k$.  Soit $\hat A$ le complété de $A$ pour sa valuation
$v$, et $\hat K = \Frac(\hat A)$ le corps des fractions de $\hat A$.

Soit $\mathcal{X} \subset \mathbb{P}^3_A$ une surface cubique sur $A$
dont on note $X = \mathcal{X}\times_{\Spec A}\Spec K$ la fibre
générique et $Y = \mathcal{X}\times_{\Spec A}\Spec k$ la fibre
spéciale.  On suppose que $X$ est lisse.

On dispose sur $\mathbb{P}^3(\hat K) = \mathbb{P}^3(\hat A)$ de la
topologique $v$-adique, pour laquelle un système fondamental de
voisinages de $(T_0:T_1:T_2)$ est formé par les ensembles des
$(T'_0:T'_1:T'_2)$ vérifiant $v(T'_i-T_i)\geq m$ (pour $i=0,1,2$) avec
$m\in\mathbb{N}$.  Cette topologie détermine une topologie $v$-adique
sur $X(\hat K) = \mathcal{X}(\hat A)$.

On se propose d'étudier la question de savoir si l'image de la flèche
naturelle $X(K) \hookrightarrow X(\hat K)$ est dense.  On aura
également besoin de considérer la flèche naturelle, de spécialisation,
$X(\hat K) \to Y(k)$ (déduite de celle de $\mathbb{P}^3(\hat K) \to
\mathbb{P}^3(k)$).

Nous supposons $Y$ lisse (i.e. $v$ est une place de bonne réduction).

\bigbreak

\textbf{Définitions générales :} Lorsque $P\in X(K)$ est un $K$-point
de $X$, de spécialisation $\tilde P \in Y(k)$, on appellera
$\mathcal{C}(P)$ l'intersection de $\mathcal{X}$ avec son plan tangent
en $P$ (vu comme point de $\mathcal{X}(A)$), dont la fibre générale
(intersection de $X$ avec son plan tangent en $P$) sera notée $C(P)$
et la fibre spéciale $\tilde C(\tilde P)$ (intersection de $Y$ avec
son plan tangent en $\tilde P$).  Lorsque $P$ (resp. $\tilde P$) n'est
situé sur aucune droite de $X$ (resp. $Y$), la courbe cubique $C(P)$
(resp. $\tilde C(\tilde P)$) est irréductible et a $P$ (resp. $\tilde
P$) comme seul point singulier, qui est soit un point double ordinaire
soit un point de rebroussement ; dans le cas contraire, $C(P)$
(resp. $\tilde C(\tilde P)$) est, réductible, formée soit de la
réunion de trois droites (éventuellement concourantes en $P$
(resp. $\tilde P$), qu'on appelle alors un « point d'Eckardt ») soit de
la réunion d'une droite et d'une conique lisse.

Toujours considérant $P\in X(K)$, on peut identifier sans perte de
généralité à $\mathbb{P}^2_A$ le plan tangent à $\mathcal{X}$ en $P$,
dont on notera $(T_0:T_1:T_2)$ les coordonnées homogènes, et on peut
supposer que $P$ a (sur $A$) les coordonnées $(1:0:0)$.  L'équation de
$\mathcal{C}(P)$ s'écrit alors $T_0\, q(T_1,T_2) + c(T_1,T_2) = 0$,
où $q\in A[T_1,T_2]$ est une forme quadratique et $c\in A[T_1,T_2]$
une forme cubique, dont on note $\tilde q\in k[T_1,T_2]$ et $\tilde
c\in k[T_1,T_2]$ les réductions respectives.  L'hypothèse selon
laquelle $P$ (resp. $\tilde P$) n'est pas situé sur une droite de $X$
(resp. $Y$) se traduit en le fait que $q$ et $c$ (resp. $\tilde q$ et
$\tilde c$) sont non nulles et sans zéro commun.

On définit une application rationnelle explicite de $\mathbb{P}^1_A$
vers $\mathcal{C}(P)$, qui dans certaines conditions favorables (que
nous précisons ci-dessous) est un paramétrage, de la façon
suivante :
\[
\begin{array}{rl}
F_P\colon&\mathbb{P}^1_A\dasharrow \mathcal{C}(P) \subset \mathbb{P}^2_A\\
&(\lambda:\mu)\mapsto (-c(\lambda,\mu) : \lambda q(\lambda,\mu) :
\mu q(\lambda,\mu))\\
\end{array}
\]
Lorsque $P$ n'est pas situé sur une droite
de $X$ (droite géométrique, c'est-à-dire définie sur la clôture
algébrique de $K$), ce qui assure que $\mathcal{C}(P)$ est géométriquement
irréductible, on a une flèche rationnelle dans l'autre direction :
\[
\begin{array}{rl}
G_P\colon&\mathbb{P}^2_A\supset \mathcal{C}(P)\dasharrow \mathbb{P}^1_A\\
&(T_0:T_1:T_2)\mapsto (T_1:T_2)\\
\end{array}
\]
Pour éviter toute ambiguïté, on notera $f_P$ et $g_P$ (resp. $\tilde
f_P$ et $\tilde g_P$) les restrictions de $F_P$ et $G_P$ à la fibre
générique (resp. à la fibre spéciale).

On se permettra par ailleurs d'utiliser encore les notations ci-dessus
lorsque $P$ sera un point défini sur une extension finie $K'$ de $K$
ou sur $\hat K$ : il faudra alors bien entendu comprendre que les
objets définis le seront sur $K'$ ou $\hat K$,
sur la fermeture intégrale $A'$ de $A$ dans $K'$ ou
la complétion $\hat A$, ou sur $k$.

\bigbreak

On appellera $X_{\sympa}\subseteq X$ l'ouvert de Zariski de $X$ formé
du complémentaire des droites tracées (au sens géométrique) sur $X$ et
des points $P$ de $X$ pour lesquels $C(P)$ a en $P$ un point de
rebroussement : autrement dit, pour $P\in X_{\sympa}(\bar K)$, la
courbe $C(P)$ est une cubique ayant un seul point singulier, $P$, qui
est un point double ordinaire.  On appellera $Y_{\sympa}$ l'ouvert
correspondant pour la fibre spéciale : $Y_{\sympa}$ est l'ouvert de
$Y$ dont les points $\tilde P\in Y_{\sympa}(k)$ sont ceux pour
lesquels $\tilde C(\tilde P)$ est une cubique ayant un seul point
singulier $\tilde P$, qui est un point double ordinaire.  Un point
$P\in X$ dont la spécialisation $\tilde P$ est dans $Y_{\sympa}$ est
lui-même dans $X_{\sympa}$ (en fait, $X_{\sympa} \cup Y_{\sympa}$ est
ouvert dans $\mathcal{X}$).

Il nous faut remarquer que $X_{\sympa}$ n'est pas vide (au sens
géométrique) : cela peut se justifier, par exemple, en prenant un
pinceau de Lefschetz de sections de $X$ (cf. \cite{Katz},
théorème 2.5).  Ce raisonnement (géométrique) montre aussi bien que
$Y_{\sympa}$ n'est pas vide, naturellement.

\bigbreak

Le corps $K = k(\Gamma)$ est un corps $C_1$ au sens de Lang, ce qui
implique notamment qu'il existe un point $K$-rationnel sur $X$ : on
peut donc choisir $P \in X(K)$.  Notre but ultime est de construire un
$P$ arbitrairement proche d'un $P^* \in X(\hat K)$ donné (et même,
vérifiant certaines conditions techniques supplémentaires qui seront
explicitées plus loin), mais dans un premier temps, cherchons à
montrer qu'il existe des $P \in X(K)$ se spécialisant en n'importe
quel $\tilde P \in Y(k)$ donné.

On sait au moins que les points $K$-rationnels de $X$ sont denses au
sens de Zariski, car une surface cubique est $K$-unirationnelle dès
qu'elle possède un point $K$-rationnel (\cite{KollarUni} ; ici, on
peut aussi appliquer \cite{Manin} II.12.11 et IV.30.1).  À présent,
prouvons le lemme suivant, qui permet de remplacer un point $P\in
X_{\sympa}(K)$ par un point dont la spécialisation est moins
insalubre :

\begin{lem}
Soit $U$ un ouvert de Zariski non vide de $X$.  Soit $P \in (U\cap
X_{\sympa})(K)$.  Alors pour tout point $\tilde Q$ \emph{lisse} sur
$\tilde C(\tilde P)$, il existe un $Q\in (C(P)\cap U \cap
X_{\sympa})(K)$ qui se spécialise en $\tilde Q$.
\label{SpecializationLiftLemma}
\end{lem}
\begin{proof}
Soit donc $P \in (U\cap X_{\sympa})(K)$.  Alors l'application
$f_P\colon \mathbb{P}^1_K \to C(P)$, définie plus haut, est un
paramétrage rationnel de $C(P)$.  Soit $\tilde Q$ un point lisse sur
$\tilde C(\tilde P)$ (ce qui implique notamment que $\tilde Q$ est
différent de $\tilde P$) ; et soit $Q^* \in (C(P)\cap U\cap
X_{\sympa}) (\hat K)$ un point qui se spécialise en $\tilde Q$ : un
tel point existe d'après le lemme de Hensel (il n'est pas difficile de
s'assurer qu'on peut le choisir dans $U\cap X_{\sympa}$ puisqu'il ne
faut pour cela éviter qu'un nombre fini de points sur $C(P)$).  On
pose alors $\delta^* = g_P(Q^*) \in \mathbb{P}^1(\hat K)$ (notons que
$g_P(Q^*)$ est bien défini car $Q^*$ est différent de $P$ puisque déjà
sa spécialisation $\tilde Q$ diffère de $\tilde P$).  On peut choisir
une suite $(\delta_i)_{i\in\mathbb{N}}$ d'éléments de
$\mathbb{P}^1(K)$ tels que $\delta_i \to \delta^*$ (au sens de la
topologie $v$-adique).  Puisque $f_P(\delta^*) = Q^*$ (ce qui vaut car
$P$ n'est pas situé sur une droite de $X$), on voit qu'en posant $Q_i
= f_P(\delta_i)$ (ce qui a certainement un sens pour $i$ assez grand)
on a $Q_i\to Q^*$ au sens $v$-adique.  On peut en conclure que, pour
$i$ assez grand, la spécialisation $\tilde Q_i$ de $Q_i$ coïncide avec
la spécialisation $\tilde Q$ de $Q^*$, et que $Q_i$ est dans l'ouvert
de Zariski $U\cap X_{\sympa}$.  Posant alors $Q=Q_i$, on a trouvé un
point $Q \in (C(P)\cap U\cap X_{\sympa})(K)$ comme souhaité : sa
spécialisation est $\tilde Q$.
\end{proof}

\begin{lem}
Soit $U$ un ouvert de Zariski non vide de $X$.  Soit $P \in (U\cap
X_{\sympa})(K)$.  Alors pour tout point $\tilde Q$ de $\tilde C(\tilde
P)$ (non nécessairement lisse), il existe un $Q\in (U \cap
X_{\sympa})(K)$ qui se spécialise en $\tilde Q$.
\label{BetterSpecializationLiftLemma}
\end{lem}
\begin{proof}
Si $\tilde Q$ est lisse sur $\tilde C(\tilde P)$, le résultat est déjà
démontré ci-dessus (lemme \ref{SpecializationLiftLemma}), et si
$\tilde Q = \tilde P$, il est trivial.  Il s'agit donc de considérer
le cas où $\tilde Q$ et $\tilde P$ sont deux points singuliers
distincts de $\tilde C(\tilde P)$.  Mais dans ce cas, la droite qui
les joint est nécessairement contenue dans $\tilde C(\tilde P)$ donc
dans $Y$.  Soit $\tilde R$ un point lisse de $\tilde C(\tilde P)$
situé sur cette droite : alors elle (la droite) est contenue dans
$\tilde C(\tilde R)$, donc notamment $\tilde Q$ est dans $\tilde
C(\tilde R)$, et par ailleurs il y est lisse (car le plan tangent à
$Y$ en $\tilde P$ est le plan tangent à $Y$ en $\tilde Q$, et ce n'est
\emph{pas} le plan tangent à $Y$ en $\tilde R$ puisque $\tilde R$ est
lisse sur $\tilde C(\tilde P)$).  Deux applications successives du
lemme \ref{SpecializationLiftLemma} montrent d'abord qu'il existe
$R\in (C(P)\cap U \cap X_{\sympa})(K)$ qui se spécialise en $\tilde
R$, puis $Q\in (C(R)\cap U \cap X_{\sympa})(K)$ qui se spécialise en
$\tilde Q$.
\end{proof}

\begin{prop}
Soit $U$ un ouvert de Zariski non vide de $X$.  Alors pour tout
$\tilde P\in Y(k)$, il existe $P\in (U \cap X_{\sympa})(K)$ qui se
spécialise en $\tilde P$.
\label{SpecializationSurjective}
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $R\in (U\cap X_{\sympa})(K)$ : un tel point existe car, comme
nous l'avons signalé plus haut, $X(K)$ est dense au sens de Zariski
sur $X$.  On considère la courbe $\tilde C(\tilde R)$ sur $Y$, d'une
part, et de l'autre la courbe\footnote{C'est bien une courbe car il
n'est pas possible que tous les plans tangents à $Y$ passent par un
même point, sans quoi $Y$ serait un cône ayant ce point pour sommet
(cf. par exemple \cite{self}, lemme 5).}
$\tilde D(\tilde P)$ formée des points $\tilde M \in Y(k)$ tels que
$\tilde P \in \tilde C(\tilde M)$ : ces deux courbes se rencontrent en
au moins un point $\tilde Q$ (vu que $\tilde C(\tilde M)$ est une
section plane).  Il vérifie donc $\tilde Q\in \tilde C(\tilde R)$ et
$\tilde P\in \tilde C(\tilde Q)$.  Deux applications successives du
lemme \ref{BetterSpecializationLiftLemma} montrent d'abord l'existence
d'un $Q\in (U\cap X_{\sympa})(K)$ tel que $Q$ se spécialise en $\tilde
Q$ puis d'un $P\in (U\cap X_{\sympa})(K)$ tel que $P$ se spécialise en
$\tilde P$.
\end{proof}

Cette proposition est un cas particulier du résultat général dû à
Kollár, Miyaoka et Mori (cf. \cite{KollarBook}, IV.6.10) mentionné
dans l'introduction, mais ici démontré dans ce cas par des méthodes
très différentes, particulières au cas des surfaces cubiques et
beaucoup plus simples.

\bigbreak

Nous décrivons maintenant une construction essentielle.  Considérons
dans un premier temps un point $M \in X_{\sympa}(K)$ tel que $\tilde M
\in Y_{\sympa}(k)$ (l'existence d'un tel $M$ est garantie par la
proposition \ref{SpecializationSurjective}).  On a introduit
précédemment une application rationnelle $F_M\colon \mathbb{P}^1_A
\dasharrow \mathcal{C}(M)$ définie par
\[
\begin{array}{rl}
F_{M}\colon&\mathbb{P}^1_A\dasharrow \mathcal{C}(M) \subset \mathbb{P}^2_A\\
&(\lambda:\mu)\mapsto (-c(\lambda,\mu) : \lambda q(\lambda,\mu) :
\mu q(\lambda,\mu))\\
\end{array}
\]
Dire que $\tilde q$ et $\tilde c$ n'ont pas de zéro projectif commun
signifie précisément que l'application rationnelle $F_M$ est un
morphisme.  C'est le cas ici puisque $\tilde M$ est dans $Y_{\sympa}$
donc n'est situé sur aucune droite de $Y$.  On a donc non seulement
une application rationnelle mais même un morphisme $F_M\colon
\mathbb{P}^1_A\to \mathcal{C}(M)$.

On appellera $\tau_1$ et $\tau_2$ deux points de $\mathbb{P}^1_K(K)$
tels que $\tilde f_M(\tilde \tau_1) = \tilde f_M(\tilde \tau_2) =
\tilde M$ avec $\tilde\tau_1\neq \tilde\tau_2$ et que $f_M(\tau_1)$ et
$f_M(\tau_2)$ (que nous appellerons respectivement $M_1$ et $M_2$)
soient tous deux distincts de $M$ (ils sont alors automatiquement
distincts l'un de l'autre).  Autrement dit, $M_1$ et $M_2$ sont deux
points $K$-rationnels sur $C(M)$, proches de $M$, sur l'une et l'autre
branche sur $\hat K$ de cette cubique qui a en $M$ un point double
ordinaire.

On introduit maintenant l'application rationnelle de composition
habituelle sur les surfaces cubiques : $\mathcal{X}\times \mathcal{X}
\dasharrow \mathcal{X}, (N_1,N_2)\mapsto N_1\bullet N_2$ envoie deux
points $N_1$ et $N_2$ de $\mathcal{X}$ en position générale sur le
troisième point $N_1\bullet N_2$ d'intersection de la droite $(N_1
N_2)\subset \mathbb{P}^3$ avec $\mathcal{X}$.  On sait que $N_1\bullet
N_2$ est définie (au sens d'application des deux variables, sur tout
$\Spec A$) au moins lorsque $N_1$ et $N_2$ ont des spécialisations
$\tilde N_1$ et $\tilde N_2$ distinctes et que la droite qui les relie
n'est pas contenue dans $Y$ ou, ce qui revient au même, lorsque
$\tilde N_2$ n'est pas situé sur $\tilde C(\tilde N_1)$ ni $\tilde
N_1$ sur $\tilde C(\tilde N_2)$.

Soit $P\in X(K)$ tel que $\tilde P\not\in \tilde C(\tilde M)$ (en
fait, dans la suite, ce sera $P$ qui sera choisi en premier, puis $M$
vérifiant certaines conditions décrites plus loin,
mais pour l'instant $M$ comme $P$ font partie des données de la
construction).  On introduit l'application rationnelle suivante :
\[
\begin{array}{rl}
\varphi\colon&\mathbb{P}^1_A\times_{\Spec A}\mathbb{P}^1_A\dasharrow\mathcal{X}\\
&(u,v)\mapsto (((P\bullet F_M(u))\bullet M_1)\bullet F_M(v))\bullet M_2\\
\end{array}
\]
Comme $\tilde P$ est différent de $\tilde M = \tilde M_1 = \tilde M_2$
et que $\tilde P\bullet \tilde M$ est lui aussi différent de $\tilde M$,
et comme $\tilde M$ n'est pas situé sur une droite de $Y$, on voit que
$\varphi$, comme composée d'applications rationnelles successivement
définies aux points considérés\footnote{C'est-à-dire qu'il n'y a
jamais à restreindre et à prolonger.}, est définie au moins au point
$(\tilde\tau_1,\tilde\tau_2)$ de la fibre spéciale $\mathbb{P}^2_k$ de
$\mathbb{P}^2_A$, et $\varphi(\tau_1,\tau_2) = P$.  Par ailleurs, au
moins pour $v \in \mathbb{P}^1_A$ dans un voisinage de Zariski de
$\tau_2$, on a $\varphi(\tau_1, v) = (P \bullet F_M(v))\bullet M_2$
et, au moins pour $u \in \mathbb{P}^1_A$ dans un voisinage de Zariski
de $\tau_1$, on a $\varphi(u, \tau_2) = (P\bullet F_M(u))\bullet
M_1$ : on voit donc, si on calcule les deux différentielles partielles
de $\varphi$ en $(\tilde\tau_1, \tilde\tau_2)$, en réduction à $k$,
qu'elles sont non nulles et non colinéaires, puisque la courbe $\tilde
C(\tilde M)$ a deux branches distinctes en $\tilde M$ (et que
l'application $\tilde N \mapsto (\tilde P\bullet \tilde N)\bullet
\tilde M$ est un automorphisme birationnel).  Ainsi, la différentielle
(totale) de $\varphi$ en $(\tilde\tau_1, \tilde\tau_2)$ est bijective
en réduction à $k$.  On a donc prouvé :
\begin{cnst}
Soit $P\in X(K)$ quelconque.  Alors il existe $\varphi \colon
\mathbb{P}^1_A \times \mathbb{P}^1_A \dasharrow \mathcal{X}$ telle que
$\varphi(\tau_1,\tau_2) = P$ pour un certain $(\tau_1,\tau_2) \in
\mathbb{P}^1_K(K) \times \mathbb{P}^1_K(K)$ en lequel $\varphi$ est
définie, ainsi qu'en sa réduction $(\tilde\tau_1,\tilde\tau_2)$, et a
une différentielle bijective en réduction à $k$.
\end{cnst}

(La seule chose à observer est qu'une fois $P$ fixé on peut trouver
$\tilde M$, puis $M$, pour faire la construction : et c'est bien
possible car la proposition \ref{SpecializationSurjective} permet de
choisir $M$ avec $\tilde M \not\in \tilde C(\tilde P) \cup \tilde
D(\tilde P)$ --- où $\tilde D(\tilde P)$ désigne la courbe des points
$\tilde M \in Y(k)$ tels que $\tilde P \in \tilde C(\tilde M)$.)

Notamment, $\varphi$ est étale au point $(\tilde\tau_1,\tilde\tau_2)$
de la fibre spéciale (la platitude découle par exemple de
\cite{Hartshorne}, III, lemme 10.3a).  En particulier, $\varphi$ est
dominante.  Cette construction démontre de nouveau que $X$ est
unirationnelle, mais par une application rationnelle $\varphi$ qui a
la vertu qu'elle prend la valeur $P$ (quelconque fixée) en un certain
point rationnel particulier, que sa spécialisation est encore
dominante, et plus précisément sa différentielle (en spécialisation,
toujours) est bijective au point rationnel particulier.

Explicitons maintenant les conséquences de cette construction :

\begin{prop}
Soit $P\in X(K)$ quelconque.  Alors il existe un ouvert de Zariski $V$
non vide de $Y$ tel que pour tout $Q^*\in X(\hat K)$ dont la
spécialisation $\tilde Q$ vérifie $\tilde Q\in V(k)$ et tout voisinage
$v$-adique $H$ de $Q^*$ il existe un $Q\in X(K)\cap H$ pour lequel, de
plus, il existe un morphisme $\psi \colon \mathbb{P}^1_K\to X$ avec
$\psi(0)=P$ et $\psi(\infty)=Q$ (les points rationnels $P$ et $Q$ sont
« directement R-équivalents »).
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $\mathcal{U}\subseteq\mathbb{P}^1_A \times_{\Spec A}
\mathbb{P}^1_A$ un ouvert de Zariski de $\mathcal{X}$ sur lequel
$\varphi$, construit plus haut, est défini et étale --- on sait de
plus qu'on peut trouver $\mathcal{U}$ ayant une intersection non vide
avec la fibre spéciale, par exemple contenant $(\tilde\tau_1,
\tilde\tau_2)$.  On a donc $\varphi\colon \mathcal{U}\to \mathcal{X}$
étale (tout défini sur $\Spec A$).  Soit $V\subseteq Y$ l'ouvert de
Zariski image par $\tilde\varphi$ de $\mathcal{U}\times_{\Spec A}\Spec
k$.  Si $Q^* \in \mathcal{X}(\hat A) = X(\hat K)$ vérifie $\tilde Q\in
V(k)$, alors le lemme de Hensel (appliqué à $\varphi$ au-dessus de
$Q^*$, sachant que $\tilde Q$ se relève par $\tilde\varphi$) assure
l'existence de $(\delta^*_1, \delta^*_2) \in \mathbb{P}^1_K(\hat
K)\times \mathbb{P}^1_K(\hat K)$ tels que $\varphi (\delta^*_1,
\delta^*_2) = Q^*$.  On peut donc trouver un tel $(\delta_1, \delta_2)
\in \mathbb{P}^1_K(K)\times \mathbb{P}^1_K(K)$ tel que
$\varphi(\delta_1, \delta_2)$ soit dans le voisinage $H$ prescrit, ce
qui définit $Q\in X(K)$.  Enfin, quitte à composer $\varphi$ avec un
morphisme $\mathbb{P}^1_K \to \mathbb{P}^1_K \times_{\Spec K}
\mathbb{P}^1_K$ qui envoie $0$ sur $(\tau_1,\tau_2)$ et $\infty$ sur
$(\delta_1,\delta_2)$, on a le résultat souhaité.
\end{proof}

On a en fait plus fort --- voici atteint le but souhaité, toute
classe de R-équivalence de $X(K)$ est dense dans $X(\hat K)$ :
\begin{prop}
Soit $P\in X(K)$ quelconque.  Alors pour tout $Q^*\in X(\hat K)$ et
tout voisinage $v$-adique $H$ de $Q^*$, il existe un $Q\in X(K)\cap H$
qui est directement R-équivalent à $P$.
\label{FinalOnePlaceResult}
\end{prop}
\begin{proof}
Écrivons $P = P_1 \bullet P_2$ avec $P_1,P_2\in X(K)$, où $\tilde P_1$
et $\tilde P_2$ sont distincts et ne sont situés sur aucune droite de
$Y$ : d'après la proposition \ref{SpecializationSurjective}, il est
certainement possible d'arriver à une telle écriture (on choisit
d'abord $\tilde P_1$ et $\tilde P_2$, puis $P_1$, et enfin on pose
$P_2 = P \bullet P_1$).  D'après le corollaire précédent, il existe un
ouvert de Zariski $V$ non vide de $Y$ tel que pour tous $Q_1^*$ et
$Q_2^*$ de $X(\hat K)$ se spécialisant dans $V$ et tous voisinages
$v$-adiques $H_1$ et $H_2$ de $Q_1^*$ et $Q_2^*$ respectivement on
puisse trouver des $Q_1,Q_2\in X(K)$ appartenant à $H_1$ et $H_2$
respectivement, et qui soient directement R-équivalents à $P_1$ et
$P_2$ respectivement.  Appelons $\tilde Q$ la spécialisation de $Q^*$
et choisissons une écriture $\tilde Q = \tilde Q_1 \bullet \tilde
Q_2$, où $\tilde Q_1, \tilde Q_2$ sont dans $V(k)$, sont distincts et
ne sont situés sur aucune droite de $Y$.  Relevons $\tilde Q_1$ en un
$Q_1^*\in X(\hat K)$ par ailleurs arbitraire, et posons $Q_2^* =
Q^*\bullet Q_1^*$.  Par continuité $v$-adique de l'application de
composition au voisinage de $(Q_1^*,Q_2^*)$, on peut trouver des
voisinages $H_1$ et $H_2$ de $Q_1^*$ et $Q_2^*$ respectivement tels
que $\bullet$ envoie $H_1\times H_2$ dans $H$.  Soit $Q_1\in X(K)\cap
H_1$ qui est directement R-équivalent à $P_1$, et $Q_2\in X(K)\cap
H_2$ qui est directement R-équivalent à $P_2$.  Soient $\psi_i
\colon \mathbb{P}^1_K \to X$ (pour $i=1,2$) tels que $\psi_i(0)=P_i$
et $\psi_i(\infty)=Q_i$.  On pose $\psi(t) = \psi_1(t)\bullet
\psi_2(t)$ et $Q = \psi(\infty) = Q_1\bullet Q_2$.  Alors
manifestement l'application rationnelle $\psi$, définie au moins en
$0$ et $\infty$ s'étend en un morphisme $\mathbb{P}^1\to X$ qui montre
que $P$ et $Q$ sont directement R-équivalents, et par ailleurs $Q\in
X(K)\cap H$.
\end{proof}

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\section{Approximation en plusieurs places de bonne réduction}

\textbf{Notations et hypothèses :} Soient, comme dans la partie
précédente, $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique $0$,
$\Gamma$ une courbe intègre sur $k$, qu'on peut toujours supposer
propre et lisse, et $K=k(\Gamma)$ son corps des fonctions.  Soit
$S\subset \Gamma$ un ensemble fini de places de $K$, pour chacune $v$
desquelles on notera $A_v = \{f\in K : v(f)\geq 0\}$ l'anneau des
entiers correspondant, anneau de valuation discrète dont on note
$\mathfrak{m}_v = \{f\in K : v(f)\geq 1\}$ l'idéal maximal et $\pi_v$
une uniformisante.  Soit $\hat A_v$ le complété de $A_v$ pour sa
valuation $v$, et $\hat K_v = \Frac(\hat A_v)$ le corps des fractions
de $\hat A_v$.  Soit $A = \bigcap_{v\in S} A_v \subseteq K$ l'anneau
des éléments de $K$ entiers en toutes les places de $S$.

Soit $\mathcal{X} \subset \mathbb{P}^3_A$ une surface cubique sur $A$
dont on note $X = \mathcal{X}\times_{\Spec A}\Spec K$ la fibre
générique et $Y_v = \mathcal{X}\times_{\Spec A_v}\Spec k_v$ la fibre
spéciale (sur $k_v\cong k$).  On suppose que $X$ est lisse.

On suppose que toutes les places $v$ de $S$ sont des places de bonne
réduction de $\mathcal{X}$, c'est-à-dire que $\mathcal{X}$ est lisse
sur $A$ (tous les $Y_v$ sont lisses).

On cherche à prouver que l'image de la flèche $X(K) \to \prod_{v\in S}
X(\hat K_v)$ est dense (où le but est muni de la topologie produit des
topologies $v$-adiques).  Autrement dit, que si $P_v \in X(\hat K_v)$
pour tout $v\in S$ et que $U_v$ est un voisinage $v$-adique de $P_v$
pour tout $v\in S$, alors il existe un $P \in X(K)$ tel que $P \in
U_v$ pour tout $v\in S$.  Or pour cela (et puisque $X(K)$ n'est pas
vide), il suffit manifestement (par récurrence sur $\card S$) de
prouver que si $P_0 \in X(K)$ est donné et que pour tout $v\in S$ on
se donne un voisinage $v$-adique $U_v$ de $P_0$ sauf pour un certain
$w \in S$ pour lequel $U_w$ est un voisinage $w$-adique d'un $P_w \in
X(\hat K_w)$, alors il existe $P\in X(K)$ tel que $P\in U_v$ pour tout
$v\in S$.  Enfin, d'après la partie précédente, on peut supposer $P_w
\in X(K)$.

En fait, le résultat de la section précédente montre qu'on peut plus
précisément supposer que $P_w \in X(K)$ est directement R-équivalent
à un point initial fixé quelconque dans $X(K)$, dont on peut supposer que
c'est $P_0$ : soit donc $\psi\colon \mathbb{P}^1_K\to X$ tel que
$\psi(0) = P_0$ et $\psi(\infty) = P_w$.  Mais alors, en appliquant
l'approximation faible sur $\mathbb{P}^1_K$, en trouvant un $t\in
\mathbb{P}^1_K(K)$ qui approche $\infty$ en la place $w$ et $0$ en
toutes les places $v\in S\setminus\{w\}$, on voit que $P=\psi(t)$
fournit le point désiré.

\bigbreak {\footnotesize \textbf{Remerciements :} Je remercie
Jean-Louis Colliot-Thélène pour m'avoir patiemment aidé à mettre en
forme les arguments contenus dans cet article, ainsi qu'Antoine Ducros
pour m'avoir invité à Rennes pour exposer ce résultat.\par}
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\begin{thebibliography}{foo}
%
\bibitem{CTGille}
J.-L. Colliot-Thélène \& P. Gille, « Remarques sur
l'approximation faible sur un corps de fonctions d'une variable »,
\textit{in} : \textit{Arithmetic of higher dimensional arithmetic
varieties}, B. Poonen \& Yu. Tschinkel (éd.), Birkhäuser, Progress in
Mathematics, 2003, p. 121--133.
%
\bibitem{GraberHarrisStarr}
T. Graber, J. Harris \& J. Starr, « Families of
rationally connected
varieties », \textit{J. Amer. Math. Soc.},
\textbf{16} (2003), 57--67.
%
\bibitem{Hartshorne}
R. Hartshorne, \textit{Algebraic Geometry}, Springer, Graduate Texts in
Mathematics 52.
%
\bibitem{Katz}
N. Katz, « Pinceaux de Lefschetz : théorème d'existence »
(exposé XVII), \textit{in} : \textit{Séminaire de Géométrie Algébrique
du Bois-Marie : Groupes de monodromie en géométrie algébrique II},
A. Grothendieck \& al. (SGA7-II).
%
\bibitem{KollarBook}
J. Kollár, \textit{Rational Curves on Algebraic Varieties}, Springer,
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge, Band 32.
%
\bibitem{KollarLowDegree}
J. Kollár, \textit{Low degree polynomial equations: arithmetic,
geometry and topology}, preprint, disponible sur \verb=www.arxiv.org=
comme \verb=alg-geom/9607016=.
%
\bibitem{KollarUni}
J. Kollár, « Unirationality of cubic hypersurfaces »,
\textit{J. Inst. Math. Jussieu} \textbf{1} (2002) nº3, 467--476.
%
\bibitem{self}
D. A. Madore, « Équivalence rationnelle sur les hypersurfaces cubiques
sur les corps $p$-adiques », \textit{manuscripta mathematica}
\textbf{110} (2003), 171--185.
%
\bibitem{Manin}
Yu. I. Manin, \textit{Cubic Forms: Algebra, Geometry,
Arithmetic}, North-Holland (1974, second enlarged edition 1986).
%
\bibitem{SwD}
Sir Peter Swinnerton-Dyer, « Weak approximation and R-equivalence on
cubic surfaces », \textit{in} : \textit{Rational points on algebraic
varieties}, É. Peyre \& Yu. Tschinkel (éd.), Birkäuser, Progress in
Mathematics \textbf{199}, p. 359--406.
%
\end{thebibliography}
%
%
%
\end{document}
