%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ae}
\usepackage{aeguill}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
%
\newtheorem{prop}{Proposition}[section]
\newtheorem{thm}[prop]{Théorème}
\newtheorem{lem}[prop]{Lemme}
\newtheorem{cor}[prop]{Corollaire}
\newtheorem{fct}[prop]{Fait}
\newcommand{\Spec}{\mathop\mathrm{Spec}\nolimits}
\newcommand{\Mor}{\mathop\mathrm{Mor}\nolimits}
\newcommand{\ev}{\mathop\mathrm{ev}\nolimits}
%
%
%
\begin{document}
\title{Équivalence rationnelle sur les hypersurfaces cubiques sur les
  corps $p$-adiques}
\author{David A. Madore}
\maketitle
%\begin{center}
%CVS: \verb=$Id: cubwhole.tex,v 1.16 2005/04/15 20:23:42 david Exp $=
%\end{center}
%
%
%
\section{Introduction}

Lorsque $V$ est une variété projective lisse définie sur un corps $k$,
on s'intéresse notamment au quotient $V(k)/R$ de l'ensemble $V(k)$ des
points rationnels de $V$ par la relation de R-équivalence : deux
points $x,x'\in V(k)$ sont dits R-équivalents lorsqu'ils peuvent
être reliés par une chaîne d'images de $\mathbb{P}^1$, c'est-à-dire
lorsqu'il existe une suite finie $x=x_0,\ldots,x_\ell=x'$ de points
rationnels et une suite finie $f_1,\ldots,f_\ell$ de morphismes
$\mathbb{P}^1\to V$ définis sur $k$ tels que pour chaque $i$ on ait
$f_i(0)=x_{i-1}$ et $f_i(1)=x_i$.

Nous nous penchons ici sur le cas des hypersurfaces cubiques $V$
(cf. \cite{Manin}), de dimension au moins $2$, sur des corps $k$ dont
on supposera toujours que la caractéristique ne divise pas $6$ ; on
sait qu'au moins pour $k$ algébriquement clos on a alors $V(k)/R$
réduit à un élément : une démonstration de ce fait sera
rappelée plus bas.  On souhaiterait obtenir le même résultat sur
d'autres corps, notamment les corps $p$-adiques\footnote{Remarquons en
revanche que $V(k)/R$ n'est \emph{pas} toujours un singleton lorsque $k$
est le corps $\mathbb{R}$ des réels : ainsi la surface cubique
d'équation projective $X(X+T)(X-T) = (Y^2+Z^2)T$ a-t-elle
manifestement deux composantes connexes sur les réels, et leurs points
ne peuvent donc pas être R-équivalents ; elle n'est pas lisse, mais
la surface cubique $X(X+T)\penalty0(X-\nobreak T)\penalty-100+
10^{-3}XYZ = (Y^2+Z^2)T$, elle, l'est, et a encore deux composantes
connexes.} dans le cas de bonne réduction.

Swinnerton-Dyer a prouvé (\cite{SwinD}, théorème 1) que pour $V$ une
surface cubique lisse définie sur $k$ fini, le quotient $V(k)/R$ est
un singleton ; sur une extension algébrique infinie de $k$, il n'est pas
difficile d'obtenir le même résultat pour $V$ singulière, et donc, par
sections planes, pour $V$ hypersurface cubique de dimension $\geq 2$
quelconque.

Sur un corps $p$-adique (avec $p\geq 5$), lorsqu'on a affaire à une
hypersurface cubique lisse ayant bonne réduction, on peut essayer de
déformer les résultats obtenus sur les corps finis (et leurs
extensions algébriques infinies) grâce aux résultats du type de ceux
contenus dans \cite{Mori} (proposition 2) et \cite{KollarBook} ;
ceux-ci nécessitent que les courbes rationnelles $f_1,\ldots,f_\ell$
que l'on trouve sur l'hypersurface soient \emph{très libres},
c'est-à-dire que $f_i^* T_V$ soit ample : on prouvera que, sur un
corps infini, il est possible de faire en sorte qu'elles le soient.
Ceci étant, on peut effectivement étendre la situation depuis le corps
résiduel ; malheureusement, l'utilisation faite des corps infinis ne
permet d'obtenir de résultat sur la R-équivalence que pour une
extension algébrique de $\mathbb{Q}_p$ ayant un corps résiduel infini.
En revanche, au niveau de l'équivalence \emph{rationnelle},
c'est-à-dire du groupe de Chow en dimension $0$, on obtient bien un
résultat sur une extension finie de $\mathbb{Q}_p$.

Précisément, le résultat principal prouvé ici est le suivant :
\begin{thm}
Soit $K$ un corps $p$-adique avec $p\geq 5$, et soit $V$ une
hypersurface cubique lisse de dimension au moins $2$
sur $K$ ayant bonne réduction.  Alors le
groupe de Chow des zéro-cycles de degré $0$ sur $V$, modulo
équivalence rationnelle, est nul.
\label{MainResult}
\end{thm}

Par « ayant bonne réduction » on entend que $V$ est la fibre générique
$\mathfrak{V} \times_{\Spec\mathcal{O}} \Spec K$ d'une hypersurface
cubique lisse $\mathfrak{V}$ sur $\mathcal{O}$ (l'anneau des entiers
de $K$).

En particulier, on a le corollaire suivant, qui peut être
intéressant par lui-même :
\begin{cor}
Soit $V$ une hypersurface cubique lisse de dimension au moins $2$
définie sur un corps de
nombres $K$.  Alors en presque toute place $p$ de $K$ le groupe de
Chow des zéro-cycles de degré $0$ sur $V_p = V\times_{\Spec K}\Spec
K_p$, modulo équivalence rationnelle, est nul.
\end{cor}

%
%
%
\section{Remarques élémentaires sur les hypersurfaces cubiques}

De façon générale, on renvoie à \cite{Manin} pour les généralités sur
ce sujet.

Soit $V$ une hypersurface cubique lisse (dans $\mathbb{P}^N$) sur un
corps $k$ infini dont la caractéristique ne divise pas $6$.  Pour
$x\in V(k)$ (ou plus généralement $x\in V(k')$ pour $k'$ une extension
quelconque de $k$) on note $\Pi(x)$ l'hyperplan tangent à $V$ en $x$,
et $C(x)$ l'intersection de $V$ avec $\Pi(x)$ : c'est une hypersurface
cubique dans $\Pi(x)$ dont $x$ est un point singulier.

On aura occasionnellement besoin du résultat suivant :
\begin{lem}
Si $x$ et $y$ sont deux points (géométriques) distincts de $V$, la
droite $(xy)$ (de $\mathbb{P}^N$) est incluse dans $V$ si et seulement
si on a $x\in C(y)$ \emph{et} $y\in C(x)$.  Dans le cas contraire, la
droite en question coupe $V$ en $x$, en $y$ et en un troisième point
éventuellement confondu avec $x$ (exactement lorsque $y\in C(x)$) ou
avec $y$ (exactement lorsque $x\in C(y)$).
\label{LineLemma}
\end{lem}
\begin{proof}
Dire $y\in C(x)$ signifie que la droite $(xy)$ est contenue dans
$\Pi(x)$, c'est-à-dire qu'elle est tangente à $V$ en $x$.  De même, on
a $x\in C(y)$ si et seulement si la droite $(xy)$ est tangente à $V$
en $y$.  Lorsque $(xy)$ est incluse dans $V$, elle est certainement
tangente à $V$ en chacun de ses points.  Pour ce qui est de la
réciproque, la restriction à $(xy)$ de la forme cubique définissant
$V$ ne peut s'annuler avec multiplicité (au moins) $2$ en deux points
distincts que si elle est nulle : ceci montre que si $(xy)$ est
tangente à $V$ en $x$ et en $y$ alors elle est contenue dans $V$.  Le
dernier point est clair.
\end{proof}

Il existe (\cite{Manin}, II.12.13) une unique application rationnelle
$V\times V\dasharrow V$ (définie sur $k$), notée $(u,v)\mapsto u\circ
v$ (symétrique en les deux variables), définie \emph{au moins} pour
les couples $(u,v)$ tels que $u\not\in C(v)$ \emph{ou} $v\not\in
C(u)$, et telle que pour tout couple de cette sorte on ait $u,v,u\circ
v$ alignés ($\sigma_u\colon v\mapsto u\circ v$ est appelée la symétrie
par rapport à $u$).  (Cf. aussi le lemme \ref{LineLemma}.)

Par ailleurs, on rappelle (\cite{Manin}, II.12.9) qu'un point $x$ de
$V$ est dit \emph{de type général} lorsque $C(x)$ est réduite et
géométriquement irréductible et que le point singulier $x\in C(x)$
n'est pas conique (c'est-à-dire, cf. \cite{Manin}, II.12.5, que $C(x)$
n'est pas un cône cubique de sommet $x$).  Dans ces circonstances, on
sait (\cite{Manin}, \textit{loc. cit.}) que la variété $C(x)$ est
rationnelle (sur le corps $k$) --- en particulier, tout ouvert de
Zariski non vide de $C(x)$ contient des points rationnels.

\begin{lem}
L'ensemble des points (géométriques) de $V$ de type général est un
ouvert de Zariski \emph{non vide}.
\label{GenTypeLemma}
\end{lem}
\begin{proof}
Il est facile de voir que l'ensemble en question est un ouvert.  Le
point essentiel est de voir que, sur un corps $k$ algébriquement clos,
toute hypersurface cubique lisse $V$ possède un point de type général
(résultat cité dans \cite{Manin}, II.12.12, sans démonstration).  Mais
en appliquant successivement le théorème de Bertini pour trouver une
section hyperplane lisse, on est ramené au cas où $V$ est une surface.
Or, dans ce cas, un point qui n'est pas de type général est
nécessairement situé sur une des $27$ droites tracées sur $V$, et il
existe donc bien des points de type général.
\end{proof}

L'existence d'un point $k$-rationnel de type général implique
(\cite{Manin}, II.12.11) que $V$ est unirationnelle (sur le corps
$k$), c'est-à-dire qu'il existe une application rationnelle, finie et
dominante, d'un espace projectif vers $V$ --- et notamment que tout
ouvert de Zariski de $V$ possède des points rationnels.  En fait,
Kollár a prouvé récemment (\cite{KollarUni}) que l'hypothèse
d'existence d'un point de type général est superflue : toute
hypersurface cubique lisse $V$ sur un corps $k$ quelconque est
$k$-unirationnelle dès lors qu'elle possède un point $k$-rationnel.
Cependant, nous n'utiliserons pas ce résultat.

On aura par ailleurs besoin du résultat facile suivant :
\begin{lem}
On suppose maintenant que $V$ est une hypersurface cubique
irréductible, non nécessairement lisse, sur $k$, toujours de
caractéristique ne divisant pas $6$.  Si les hyperplans tangents à $V$ (vus
comme hyperplans dans $\mathbb{P}^N$) en tous les points géométriques
passent par un même point $O$, alors $V$ est un cône cubique de
sommet $O$.
\label{ConeLemma}
\end{lem}
\begin{proof}
Écrivons l'équation de $V$ dans un système $(x_1,\ldots,x_N)$ de
coordonnées affines d'origine $O$, soit $a + L(x_1,\ldots,x_N) +
Q(x_1,\ldots,x_N) + C(x_1,\ldots,x_N)=0$, avec $L$ une forme linéaire,
$Q$ une forme quadratique et $C$ une forme cubique, cette dernière
étant non nulle.  Dire que l'hyperplan tangent à $V$ en
$(x_1,\ldots,x_N)$ passe par $O$ signifie que $L(x_1,\ldots,x_N) +
2Q(x_1,\ldots,x_N) + 3C(x_1,\ldots,x_N)=0$.  Si c'est vrai pour tout
point de $V$, c'est que $a + L(x_1,\ldots,x_N) + Q(x_1,\ldots,x_N) +
C(x_1,\ldots,x_N)$ divise $L(x_1,\ldots,x_N) + 2Q(x_1,\ldots,x_N) +
3C(x_1,\ldots,x_N)$.  Or ceci implique clairement que $a$, $L$ et $Q$
sont nuls, donc que $V$ est un cône cubique de sommet $O$.
\end{proof}

(Pour un résultat plus général, voir \cite{Holme}.)

%
%
%
\section{Familles de courbes rationnelles}

Si $X$ est une variété projective, $h\colon\mathbb{P}^1\to X$ un
morphisme et $B\subseteq\mathbb{P}^1$ un sous-schéma fini, on dit que
$h$ est \emph{libre sur $B$} lorsque le fibré $h^* T_X\otimes I_B$ est
nef sur $\mathbb{P}^1$ (i.e. est somme directe de $\mathcal{O}(a_i)$
avec $a_i\geq 0$), où $I_B$ est le faisceau d'idéaux définissant $B$.
Naturellement, dans cette définition, seul compte le degré de $B$ : on
dit que $h$ est libre lorsqu'il est libre sur $\varnothing$, et très
libre lorsqu'il est libre sur un point (ou, si on préfère, $h^* T_X$ est
ample).

Nous aurons besoin du résultat suivant, qui affirme que si on a une
famille de courbes rationnelles qui dominent, de façon séparable, une
variété lisse, en gardant un point fixe, alors la plupart de ces
courbes sont libres sur ce point :

\begin{prop}
Soient $k$ un corps algébriquement clos, $M$ une variété intègre sur
$k$, et $X$ une variété projective lisse sur $k$.  Soit $x_0\in X$.
Soit enfin $F\colon M\times\mathbb{P}^1\to X$ un morphisme
\emph{séparable}\footnote{Un morphisme depuis une variété intègre est
dit séparable lorsqu'il existe un point auquel sa différentielle est
surjective, ou, ce qui revient au même, lorsqu'elle est surjective au
point générique.} (donc dominant) tel que $F(M\times\{0\})=\{x_0\}$.
Alors il existe un ouvert de Zariski \emph{non vide} $M^0$ de $M$ tel
que pour $p\in M^0$ le morphisme $F_p\colon\mathbb{P}^1\to X$ soit
très libre.
\label{Kollarerie}
\end{prop}
\begin{proof}
Ce résultat découle essentiellement de \cite{KollarBook}, II.3.10
(première affirmation) ; mais pour la commodité du lecteur, nous en
redonnons une démonstration complète.

Considérons le schéma $Q=\Mor(\mathbb{P}^1,X;0\mapsto x_0)$
paramétrant les morphismes $\mathbb{P}^1\to X$ envoyant $0$ sur $x_0$.
D'après la propriété universelle de ce schéma, $F$ détermine un
morphisme $f\colon M\to Q$ tel que $F$ s'écrive $F(p,t)=\ev(f(p),t)$,
où $\ev\colon Q \times \mathbb{P}^1\to X$ est le morphisme
d'évaluation.

Par hypothèse, il existe un ouvert non vide de $M\times\mathbb{P}^1$
en tout point duquel la différentielle de $F\colon
M\times\mathbb{P}^1\to X$ est surjective.  Il existe donc un point
$t_0\in\mathbb{P}^1$, qu'on peut manifestement supposer différent de
$0$ et de $\infty$, et un ouvert $M^0$ non vide de $M$ tels que pour
tout $p\in M^0$ la différentielle de $F$ soit surjective en $(p,t_0)$.
On va montrer que ce $M^0$ convient, c'est-à-dire que $F_p$ est libre
sur $0$ (donc très libre) pour $p\in M^0$.

Soit $p\in M^0$.  La différentielle de $F\colon M\times\mathbb{P}^1\to
X$ est surjective en $(p, t_0)$.  On a donc également la surjectivité
de la différentielle de $\ev\colon Q\times\mathbb{P}^1\to X$ en
$(f(p), t_0)$.

Remarquons à présent que $\ev\colon Q\times (\mathbb{P}^1 \setminus
\{0,\infty\}) \to X$ peut se factoriser\footnote{On comparera cette
technique de factorisation avec la première phrase de la démonstration
de II.3.10 dans \cite{KollarBook}.  Le fait de considérer des
morphismes depuis $\mathbb{P}^1$ et non une courbe de genre plus élevé
est ici crucial.} à travers le morphisme $\ev_{t_0}\colon Q\to X$
donné par $\ev_{t_0} = \ev(\cdot, t_0)$.  En effet, si on considère la
flèche $Q\times (\mathbb{P}^1 \setminus \{0,\infty\}) \to Q$ qui
envoie $([h],t)$ sur $[h\circ\tau_t]$, où $\tau_t\colon
\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$ est défini par $\tau_t(t') = tt'/t_0$,
alors manifestement $\ev$ est la composée de cette flèche par
$\ev_{t_0}$.  Puisque la différentielle de $\ev$ est surjective en
$(f(p), t_0)$ (et que $\tau_{t_0}$ est l'identité), il s'ensuit que la
différentielle de $\ev_{t_0}$ est elle-même surjective en $f(p)$.

Mais alors $F_p$ est libre sur $0$, c'est-à-dire que $F_p^* T_X
\otimes I_0$ (avec $T_X$ le fibré tangent à $X$ et $I_0$ le faisceau
d'idéaux associé au sous-schéma fermé $\{0\}$ de $\mathbb{P}^1$) est
nef (est somme de faisceaux inversibles nefs).  Cela découle de la
description de la différentielle donnée dans
\cite{KollarBook}, II.3.4, et du fait qu'un fibré $E$ sur
$\mathbb{P}^1$ est somme de faisceaux inversibles nefs si et seulement
si on peut trouver une section de $E$ ayant n'importe quelle valeur
prescrite en un point donné, ici $t_0$.

Ceci montre que $F_p$ est très libre, pour $p\in M^0$.  C'est ce qu'on
voulait démontrer.
\end{proof}

%
%
%
\section{R-équivalence libre sur une hypersurface cubique}

Dans cette section, $V$ désigne une hypersurface cubique lisse sur un
corps $k$ infini de caractéristique ne divisant pas $6$.

\subsection{Conditions sur les points}

On considère à présent un point $x\in V(k)$ de type général.

\begin{lem}
Il existe un ouvert de Zariski $U$ non vide de $C(x)$ tel que pour
$z\in U$ on ait $x\not\in C(z)$.
\label{LemmaOne}
\end{lem}
\begin{proof}
La condition $x\not\in C(z)$ est certainement ouverte.  Le point
important est qu'il existe un tel $z$.  Mais puisque $x$ n'est pas
conique sur $C(x)$, il existe une droite de $\Pi(x)$ passant par $x$
qui n'est pas contenue dans $C(x)$ : elle coupe $V$ en $x$ (avec
multiplicité $2$) et un autre point $z$ (avec multiplicité $1$), ce
qui donne $x\not\in C(z)$ (voir le lemme \ref{LineLemma}).
\end{proof}

Pour un tel $z$, l'application rationnelle $(u,v)\mapsto u\circ v$ est
bien définie en $(z,x)$ et on a $z\circ x=x$ (puisque la droite
passant par $x$ et $z$ coupe $V$ avec multiplicité $2$ en $x$ et $1$
en $z$).

Considérons maintenant un point $y\in V(k)$ tel que $y\not\in C(x)$
(toujours avec $x\in V(k)$ de type général).

En particulier, puisque $y\not\in C(x)$, on peut dire qu'il existe un
ouvert de Zariski $U'$ non vide de $C(x)$ tel que pour $z\in U'$ on
ait $y\not\in C(z)$ (« non vide » car il contient $x$ lui-même).  Pour
un tel $z$, l'application rationnelle $(u,v)\mapsto u\circ v$ est bien
définie en $(z,y)$.

Soit $z\in U'$ : comme nous l'avons dit, $u\mapsto u\circ y$ est
définie en $z$ ; et alors $u\mapsto z\circ(u\circ y)$ est également
définie en $z$ et y vaut $y$.  La différentielle de cette application
est une application linéaire $T_z V\to T_y V$, qui est par ailleurs un
isomorphisme (car $u\mapsto z\circ(u\circ y)$ a pour réciproque
$v\mapsto (z\circ v)\circ y$, au voisinage de $y$).  En particulier,
on en déduit une injection $T_z C(x)\to T_y V$ qui va nous intéresser
tout particulièrement.

\begin{lem}
Soit $\xi\in T_y V$ non nul.  Alors il existe un ouvert $U'_1$ non
vide de $C(x)$ (contenu dans $U'$) tel que pour $z\in U'_1$, l'image
de l'application $T_z C(x) \to T_y V$ définie ci-dessus ne contienne
\emph{pas} $\xi$.
\label{LemmaTwo}
\end{lem}
\begin{proof}
Considérons $z\in U'$.  On convient de voir $T_z C(x)$ et $T_y V$
comme sous-espaces de $T_z\mathbb{P}^N$ et $T_y\mathbb{P}^N$
respectivement.  Commençons par remarquer que si $\eta\in T_z C(x)
\subseteq T_z\mathbb{P}^N$ et $\eta'\in T_y V \subseteq
T_y\mathbb{P}^N$ son image par l'application $T_z C(x)\to T_y V$
considérée, alors la droite passant par $z$ de vecteur directeur
$\eta$ et la droite passant par $y$ de vecteur directeur $\eta'$ sont
coplanaires.  Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que, si $P$
est le plan défini par $z$, $\eta$ et $y$, alors tout se passe dans ce
plan (en ce sens que la symétrie de deux points de $V\cap P$ peut être
définie entièrement par des constructions dans $P$, et précisément par
la symétrie par la cubique plane $v\cap P$), donc $\eta'$ est
forcément lui-même dedans.

Considérons maintenant la droite de $\mathbb{P}^N$ passant par $y$ et
dirigée par $\xi$ (vu comme élément de $T_y\mathbb{P}^N$), et soit $a$
son intersection avec $\Pi(x)$ (on a supposé que $y$ n'est pas sur
$C(x)$, donc, pas dans $\Pi(x)$).  Nous n'affirmons pas que $a$ est un
point de $V$.

Si $z\in U'$ est tel que $\xi$ soit dans l'image de $T_z C(x)$ dans
$T_y V$, disons qu'il soit l'image d'un certain $\eta\in T_z C(x)$,
alors, d'après ce qu'on a vu ci-dessus, la droite passant par $z$ et
dirigée par $\eta$ et la droite passant par $y$ et dirigée par $\xi$
sont dans un même plan $P$.  Ainsi, la droite passant par $z$ et
dirigée par $\eta$ est à la fois dans le plan $P$ et dans l'hyperplan
$\Pi(x)$ ; c'est donc précisément l'intersection de $P$ et de
$\Pi(x)$, qui, par définition de $a$ est la droite $(za)$.  On a donc
montré que (pour un $z\in U'$ tel que $\xi$ soit dans l'image de $T_z
C(x)$) la droite $(za)$ est tangente à $C(x)$ en $z$.  C'est-à-dire
que $a$ est situé sur l'hyperplan tangent à $C(x)$ en $z$ (vu « à
l'ancienne » comme une sous-variété linéaire projective de
$\mathbb{P}^N$).

Si on suppose par l'absurde que pour \emph{tout} $z\in U'$ on ait
$\xi$ dans l'image de $T_z C(x)$ dans $T_y V$, alors tous les
hyperplans tangents à $C(x)$ en ces points, et donc \emph{tous} les
hyperplans tangents à $C(x)$, passent par $a$.  Mais ceci prouve que
$C(x)$ est un cône de sommet $a$ (lemme \ref{ConeLemma}).  Or on a
supposé le contraire (c'est-à-dire que $x$ était de type général).

C'est donc qu'il existe des --- et donc un ouvert non vide $U'_1$ de
--- points $z$ de $C(x)$ tels que l'image de $T_z C(x)$ dans $T_y V$
ne contienne pas $\xi$.  Ce qu'il fallait démontrer.
\end{proof}

\subsection{Construction d'une famille de courbes}

On suppose toujours que $x\in V(k)$ est de type général, et on suppose
que $x'\in V(k)$ est tel que $x'\not\in C(x)$.  On suppose de plus
donné un morphisme $f\colon\mathbb{P}^1\to V$ tel que $f(1)=x$ et
$f(0)=x'$.

Si la différentielle de $f$ est constamment nulle, $f$ se factorise
par le morphisme de Frobenius ; quitte à le factoriser suffisamment,
on peut supposer qu'il existe $t_0$ tel que $f'(t_0)\neq 0$, i.e. il
existe un vecteur non nul, disons $\xi$, dans l'image de
$T_{t_0}\mathbb{P}^1$ dans $T_y V$, où $y=f(t_0)$.  On peut de plus
supposer que $y\not\in C(x)$ (car $x'\not\in C(x)$).

D'après ce qu'on a vu précédemment, on peut trouver un ouvert de
Zariski $U_0$ non vide de $C(x)$ tel que
\begin{enumerate}
\item Si $z\in U_0$ alors $x\not\in C(z)$ (d'après le
  lemme \ref{LemmaOne}) ; ainsi, $(u,v)\mapsto u\circ v$ est défini en
  $(z,x)$, avec $z\circ x=x$.
\item Si $z\in U_0$ alors $x'\not\in C(z)$ (puisque $x'\not\in C(x)$,
  donc certainement il existe beaucoup de $z\in C(x)$ tels que
  $x'\not\in C(z)$) ; ainsi, $(u,v)\mapsto u\circ v$ est défini en
  $(z,x')$, et aussi en $(z,z\circ x')$, avec $z\circ(z\circ x')=x'$ ;
  par conséquent, $u\mapsto z\circ(u\circ x')$ est défini en $z$, et
  donc au voisinage de $z$.
\item Si $z\in U_0$ alors $y\not\in C(z)$ (mêmes remarques).
\item La différentielle de $u\mapsto z\circ(u\circ y)$ envoie $T_z
  C(x)$ sur un hyperplan de $T_y V$ qui ne contient pas $\xi$ (d'après
  le lemme \ref{LemmaTwo}).
\item L'ouvert $U_0$ est isomorphe à un ouvert $W$ de l'espace
  projectif $\mathbb{P}^{N-2}$, disons par $\varphi\colon W\to U_0$
  défini sur le corps de base $k$ (ceci est possible car $C(x)$ est
  rationnel sur $k$ comme on l'a déjà signalé).
\end{enumerate}

Fixons maintenant $z\in U_0(k)$.

Définissons une application rationnelle $F\colon C(x) \times
\mathbb{P}^1 \dasharrow V$ par $F(u,t) = z \circ (u\circ f(t))$.

D'après les propriétés énumérées ci-dessus pour $U_0$, on voit que $F$
est définie au moins en $(u,1)$ pour tout $u\in U_0$ (où elle vaut
$x$), ainsi qu'en $(z,0)$ (où elle vaut $x'$) et en $(z,t_0)$ (où elle
vaut $y$).

Par ailleurs, la différentielle de $F$ en $(z,t_0)$ est une
application linéaire $T_z C(x)\oplus T_{t_0}\mathbb{P}^1 \to T_y V$
qui est un isomorphisme (il y a égalité des dimensions, et la
surjectivité est assurée par le fait que $\xi$, base de
$T_{t_0}\mathbb{P}^1$, ne tombe pas dans l'image de $T_z C(x)$ dans
$T_y V$).  Cela implique que $F$ est séparable, et notamment
dominante.

\subsection{Modification de la famille de courbes}

On reprend les notations de la section précédente.

On a choisi un isomorphisme $\varphi\colon W\to U_0$ avec $W$ un
ouvert de $\mathbb{P}^{N-2}$ et $U_0$ ouvert de $C(x)$ aux propriétés
miraculeuses.  Puisque $z\in U_0(k)$, quitte à reparamétrer, on peut
supposer que $O\in W$ et $\varphi(O)=z$, où par $O$, on entend le
point $(1\colon 0\colon\cdots \colon 0)$ de $\mathbb{P}^{N-2}$.  Par
ailleurs, on appellera $0$ le point $(1:0)$ de $\mathbb{P}^1$ et $1$
le point $(1:1)$.

Posons $G(u,t)= F(\varphi(u),t)$ : ceci définit une application
rationnelle $G\colon \mathbb{P}^{N-2}\times\mathbb{P}^1 \dasharrow V$
séparable telle que $G(u,1)=x$ pour tout $u$ (d'un certain voisinage
de $O$ dans $\mathbb{P}^{N-2}$) et que $G(O,0)=x'$.

Soit $\mu\colon\mathbb{P}^{N-2} \times \mathbb{P}^1 \dasharrow
\mathbb{P}^{N-2}$ l'application rationnelle définie par\break
$\mu((x_0\colon x_1\colon \cdots\colon x_{N-2}), (\lambda_0\colon
\lambda_1)) = (\lambda_0 x_0\colon \lambda_1 x_1\colon \cdots\colon
\lambda_1 x_{N-2})$ (autrement dit, l'homothétie sur la première
variable, de centre $(1\colon 0\colon\cdots \colon 0)$, d'hyperplan à
l'infini $x_0=0$, et de rapport donné par la seconde variable).  Il
est clair que $\mu$ est défini au moins en $(O,1)$ (où elle vaut $O$)
et en $(O,0)$ (où elle vaut également $O$).

Soit alors $H\colon\mathbb{P}^{N-2} \times \mathbb{P}^1 \dasharrow V$
définie par $H(v,t)=G(\mu(v,t),t)$ : $H$ est définie au moins en
$(O,1)$ et en $(O,0)$.  On voit que $H(v,1)=x$ pour tout $v$ d'un
certain voisinage de $O$ et que $H(v,0)=x'$ également pour tout $v$
d'un certain voisinage de $O$ ; et $H$ domine $V$ car c'était le cas
de $F$, et même, plus précisément, $H$ est séparable.

Quitte à restreindre le domaine des $v$, on sait qu'on peut trouver un
ouvert $W'$ non vide de $\mathbb{P}^{N-2}$ tel que $H(v,t)$ soit
défini, pour $v\in W'$, pour tout $t$ : on a alors affaire à un
morphisme séparable $H\colon W'\times \mathbb{P}^1\to V$.

D'après la proposition \ref{Kollarerie}, on sait alors qu'il existe
$v$ (qu'on peut supposer défini sur $k$ car on a affaire à un ouvert
d'un espace projectif !) pour lequel $h=H_v$ est très libre, et il
vérifie toujours $h(1)=x$ et $h(0)=x'$.

On a donc montré le résultat suivant :

\begin{prop}
Soit $V$ une hypersurface cubique lisse sur un corps $k$ infini de
caractéristique ne divisant pas $6$.  Soient $x,x'\in V(k)$ deux points, avec
$x$ de type général et $x'\not\in C(x)$.  On suppose qu'il existe
$f\colon\mathbb{P}^1\to V$ (défini sur $k$) tel que $f(1)=x$ et
$f(0)=x'$.  Alors il existe $h\colon\mathbb{P}^1\to V$ qui vérifie la
même condition avec de plus $h^*T_V$ ample (autrement dit, $h$ est
« très libre »).

Plus précisément, il existe un ouvert $W^0$ non vide de
$\mathbb{P}^{N-2}$ et un morphisme $H\colon W^0\times \mathbb{P}^1\to
V$ dominant (et même séparable), tel que pour tout $v\in W^0$ on ait
$H_v\colon\mathbb{P}^1\to V$ très libre.
\label{MainProp}
\end{prop}

\subsection{Conclusion}

\begin{prop}
Soit $V$ une hypersurface cubique lisse, possédant un point rationnel
de type général, sur un corps $k$ infini de caractéristique ne divisant
pas $6$, et $x$ et $x'$ deux points rationnels distincts de $V$.  On
suppose que $x$ et $x'$ peuvent être reliés par une chaîne (d'images
de) $\mathbb{P}^1$ sur $k$ (c'est-à-dire qu'ils sont R-équivalents).
Alors ils peuvent être reliés par une chaîne de $\mathbb{P}^1$ très
libres.
\label{FreeProp}
\end{prop}
\begin{proof}
Il suffit de le montrer pour deux points $x$ et $x'$ directement
R-équivalents (i.e. il existe un $f\colon\mathbb{P}^1\to V$ défini
sur $k$ tel que $f(1)=x'$ et $f(0)=x$).  Si $x$ et $x'$ sont de type
général et que la droite $(xx')$ n'est pas incluse dans $V$ (de sorte
que $x'\not\in C(x)$ ou $x\not\in C(x')$ d'après le
lemme \ref{LineLemma}, et, quitte à les permuter, on peut supposer que
c'est la première condition qui vaut), alors on a fini d'après la
proposition \ref{MainProp}.

Sinon, on va trouver un automorphisme birationnel $\sigma$ de $V$
(défini en $x$ et $x'$) tel que les points $\sigma(x)$ et $\sigma(x')$
soient de type général et ne soient pas reliés par une droite contenue
dans $V$.  Précisément, $\sigma$ sera la symétrie par rapport à un
point $y$ de $V$.

Dans un premier temps, on veut montrer qu'il existe un ouvert de
Zariski non vide $U_1$ de $V$ tel que pour $y\in U_1$ (un point
géométrique), si $\sigma$ désigne la symétrie par rapport à $y$, alors
$\sigma$ est définie en $x$ et en $x'$, et la droite reliant
$\sigma(x)$ et $\sigma(x')$ (dans $\mathbb{P}^N$) n'est pas incluse
dans $V$.

Considérons d'abord le cas où déjà la droite $(xx')$ est contenue dans
$V$, et prouvons l'existence, dans ce cas-là, de $U_1$ ouvert non vide
comme indiqué.

Pour cela, on veut prouver d'abord qu'il existe des plans $\Sigma$
passant par $x$ et par $x'$ tels que l'intersection de $\Sigma$ avec
$V$ soit la réunion de la droite $(xx')$ et d'une conique
\emph{lisse}.  Pour le voir, considérons le morphisme $\phi$ qui à un
point $y$ de $V$ non situé sur $(xx')$ associe le plan
$\Sigma=(xx'y)$, considéré comme un point de la variété, disons
$\mathbb{E}$, des plans de $\mathbb{P}^N$ passant par $(xx')$ ; il
s'agit de voir que ce morphisme a une fibre lisse, ou, ce qui revient
au même, que sa fibre générique est lisse, ou encore qu'il est lisse
au-dessus du point générique de $\mathbb{E}$.  Si on complète le
morphisme $\phi$ par une projection quelconque sur la droite $(xx')$
(autrement dit, à un point $y$ de $V$ on associe le point de
$\mathbb{E}\times\mathbb{P}^1$ défini par le couple formé du plan
$\Sigma=(xx'y)=\phi(y)$ et de la projection de $y$ sur $(xx')$), on
obtient manifestement un morphisme fini de degré $2$ défini sur un
ouvert de $V$ ; comme la caractéristique du corps $k$ est différente
de $2$, ce morphisme, et donc le morphisme $\phi$, est génériquement
lisse.  Il existe donc une fibre $\Sigma$, et même un ouvert (dans
$\mathbb{E}$) de telles fibres, comme nous l'affirmions :
l'intersection de $\Sigma$ avec $V$ est réunion de la droite $(xx')$
et d'une conique lisse $\Gamma$.  Puisque $V$ est lisse en $x$ et
$x'$, on peut supposer que $\Sigma$ n'est tangent à $V$ ni en $x$ ni
en $x'$, donc que ces deux points ne sont pas sur $\Gamma$.  Et si $y$
est un point de $\Gamma$ non situé sur $(xx')$, l'automorphisme
$\sigma$ de symétrie par $y$ est bien défini en $x$ et en $x'$, et la
droite reliant les points $\sigma(x)$ et $\sigma(x')$ n'est pas
contenue dans $V$.  Ceci montre l'existence de $U_1$ non vide comme
nous l'affirmions.

Si la droite $(xx')$ n'est \emph{pas} incluse dans $V$, il est encore
plus facile d'assurer l'existence de $U_1$ non vide : de nouveau on
regarde les plans $\Sigma$ contenant la droite $(xx')$ et non tangents
à $V$ ni en $x$ ni en $x'$, et la seule situation problématique est
celle où $\Sigma\cap V$ est formé de trois droites, mais même dans ce
cas une des trois droites doit ne passer ni par $x$ ni par $x'$ et en
prenant $y$ sur cette droite hors des intersections on a ce qu'on
voulait.  L'existence de $U_1$ non vide est donc prouvée dans tous les
cas.

Reste à assurer encore la condition de type général.  Autrement
dit, on veut montrer qu'il existe un ouvert de Zariski $U_2$ non vide
de points $y$ de $V$ tels que la symétrie $\sigma$ par rapport à $y$
soit définie en $x$ et $x'$ et envoie ceux-ci sur des points de type
général.  Mais on sait qu'il y a un ouvert dense de points de type
général (lemme \ref{GenTypeLemma}) : il existe donc un ouvert dense de
points $y$ tels que $y\circ x$ soit défini et soit de type général ;
et un ouvert de points $y$ tels que $y\circ x'$ soit défini et soit de
type général.  Leur intersection donne l'ouvert $U_2$ recherché.

Finalement, en prenant l'intersection $U_3$ des ouverts non vides
$U_1$ et $U_2$, on arrive bien à trouver des points $y$ géométriques
tels que la symétrie $\sigma$ par rapport à $y$ envoie $x$ et $x'$ sur
deux points $\sigma(x)$ et $\sigma(x')$ de type général et non reliés
par une droite contenue dans $V$.  Mais on peut faire mieux : il
existe des points $y$ \emph{rationnels} dans $U_3$ puisque $V$ est
$k$-unirationnelle (parce qu'on a supposé l'existence d'un point
rationnel de type général --- ce qui n'est pas nécessaire si on
utilise \cite{KollarUni}).

Par hypothèse, il existe un $f\colon\mathbb{P}^1\to V$ défini sur $k$
tel que $f(1)=x'$ et $f(0)=x$.  On a une application rationnelle
$\sigma\circ f$ (au-dessus de $k$), définie au moins au voisinage de
$1$ (et y valant $\sigma(x')$) et au voisinage de $0$ (et y valant
$\sigma(x)$), qui s'étend en un morphisme $\mathbb{P}^1\to V$ valant
$\sigma(x')$ en $1$ et $\sigma(x)$ en $0$, avec, par construction,
$\sigma(x')$ et $\sigma(x)$ de type général et non situés sur une
droite contenue dans $V$.

D'après la proposition \ref{MainProp}, il existe donc $H\colon W^0
\times \mathbb{P}^1\to V$ dominant, où $W^0$ est un ouvert de
$\mathbb{P}^{N-2}$, tel que $H(v,1)=\sigma(x)$ et $H(v,0)=\sigma(x')$
pour tout $v$ de $W'$.  En composant avec $\sigma^{-1}$ (et quitte à
restreindre $W^0$ encore plus pour être défini partout), on obtient la
même conclusion avec $x$ et $x'$, ce qui permet de conclure ce qu'on
veut, grâce à la proposition \ref{Kollarerie}.
\end{proof}

%
%
%
\section{R-équivalence sur une surface cubique}

\subsection{Exposition}

Dans toute cette section, $V$ est une \emph{surface} cubique, non
nécessairement lisse, définie sur un corps $k$ infini de
caractéristique ne divisant pas $6$, définie par $f\in
k[X,Y,Z,T]$ un polynôme homogène de degré $3$ (non nul) à quatre
indéterminées.

Or la donnée d'un polynôme homogène $f$ de degré $3$ (à quatre
indéterminées) équivaut à la donnée d'une forme trilinéaire
($\varphi\colon k^4\times k^4\times k^4 \to k$) totalement
symétrique : on a $f(P)=\varphi(P,P,P)$ et $df(P)\cdot
Q=3\varphi(P,P,Q)$ et $d^2f(P)\cdot (Q\otimes R)=6\varphi(P,Q,R)$.

La surface $V$ est réductible (sur un corps $k'$ extension de $k$)
lorsque $f$ peut s'écrire comme produit $f_1 f_2$ de deux polynômes
homogènes (à coefficients dans $k'$), disons $f_1$ de degré $1$ et
$f_2$ de degré $2$.  Sur la forme $\varphi$ cela correspond à la
relation $3\varphi(P,Q,R) = f_1(P)\varphi_2(Q,R) +
f_1(Q)\varphi_2(R,P) + f_1(R)\varphi_2(P,Q)$ (avec $\varphi_2$ forme
bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique $f_2$).

Lorsque $V$ est réductible, de deux choses l'une : ou bien $f$ s'écrit
comme le produit de trois facteurs linéaires $f=\ell_1\ell_2\ell_3$
définis sur un corps $k'$, et $V$ est l'union (dans
$\mathbb{P}^1(k')$) de trois plans ; le degré $[k':k]$ est alors au
plus égal à $3$ (pour $k'$ un corps minimal de définition de
$\ell_1,\ell_2,\ell_3$).  Ou bien $f_2$ définit dans $\mathbb{P}^3_k$
une quadrique irréductible, et alors $f_1$ et $f_2$ sont
(i.e. peuvent être trouvés) à coefficients dans $k$ : $V$ est l'union
d'un plan et d'une quadrique tous deux définis sur $k$.

Lorsque ce n'est pas le cas, $V$ est (géométriquement\footnote{Le
terme « géométriquement » est nécessaire pour recouvrir le cas de la
décomposition comme union de trois plans sur lesquels agit
transitivement le groupe de Galois absolu de $k$.  Tous les autres cas
de réductibilité géométrique sont déjà réductibles sur le corps $k$.})
irréductible.

On dit qu'un point $P=(X:Y:Z:T)\in V(k')$ (pour un corps $k'$
extension de $k$) est un point (au moins) \emph{double} de $V$ lorsque
$\varphi(P,P,Q)=0$ pour tout $Q$ (cette condition ne dépend pas du
représentant choisi pour $P$ dans $k^{\prime4}$, d'où le léger abus de
notation).  On dit que $P$ est \emph{triple} lorsque
$\varphi(P,Q,R)=0$ pour tous $Q,R$ (ou, ce qui suffit,
$\varphi(P,Q,Q)=0$ pour tout $Q$).  Un point est singulier si et
seulement si il est au moins double ; s'il n'y a pas de tel point (sur
aucune extension $k'$ de $k$), la surface $V$ est dite non singulière.
Manifestement, lorsque c'est le cas, elle est irréductible.

La droite (dans $\mathbb{P}^3_k$) joignant deux points (au moins)
doubles de $V$ est entièrement contenue dans $V$.  (En effet,
$f(\lambda P+\mu Q)=\lambda^3 f(P) + 3\lambda^2\mu\varphi(P,P,Q)\penalty0+
3\lambda\mu^2\varphi(P,Q,Q) + \mu^3 f(Q)$, et l'hypothèse garantit que
tous les termes sont nuls.)  De même, la droite joignant un point
triple à un point quelconque de $V$ est entièrement contenue dans
$V$ ; autrement dit, l'existence d'un point triple $P$ équivaut à
supposer que $V$ est un cône de sommet $P$.

Notons de surcroît que si $P$ et $Q$ sont deux points doubles, alors
la droite qui les relie (qui, on vient de le voir, est entièrement
contenue dans $V$) soit n'a pas d'autre point double qu'eux soit est
entièrement constituée de points doubles ; en effet, si $R$ est un
point quelconque (de $k^{\prime4}$, pour $k'$ une extension quelconque
de $k$), on a $\varphi(\lambda P+\mu Q,\lambda P+\mu Q,R)=2\lambda\mu
\varphi(P,Q,R)$ puisque $P$ et $Q$ sont doubles, et cette expression
est soit constamment nulle soit ne s'annule que pour $\lambda=0$ ou
$\mu=0$.  De même, si $P,Q,R$ sont trois points doubles non
colinéaires, et que le plan qu'ils définissent n'est pas entièrement
contenu dans $V$, alors ce plan coupe $V$ suivant exactement trois
droites (les trois droites reliant les trois points), et notamment il
n'y a pas d'autre point double situé dans ce plan.

On peut alors distinguer les cas suivants (cf. \cite{SegreAPS}) :

\begin{enumerate}
\item $f$ s'écrit comme produit $f=\ell_1\ell_2\ell_3$ de trois
facteurs linéaires (sur une certaine extension $k'/k$ de degré au plus
$3$) : $V$ est la réunion de trois plans (non nécessairement
distincts).  L'intersection de ceux-ci est formée de points triples
(soit un unique point triple, soit une droite, soit un plan si les
trois plans sont confondus).
\item $f$ s'écrit comme produit $f=f_1 f_2$ avec $f_1=\ell_1$ linéaire
et $f_2$ quadratique, tous deux définis sur $k$ : $V$ est la réunion
d'une quadrique irréductible (éventuellement singulière)
et d'un plan.  L'intersection de
ceux-ci est formée de points doubles de $V$, et il n'y a pas de point
triple.
\item $f$ est irréductible et possède un unique point triple $P$,
nécessairement à coordonnées dans $k$ : $V$ est alors un cône de
sommet $P$.  Il se peut que $V$ n'ait aucun point exactement double,
ou qu'elle en ait précisément une droite (nécessairement définie sur
$k$).
\item $V$ est irréductible, ne possède pas de point triple, mais
possède une infinité de points (exactement) doubles.  Ceux-ci forment
alors une droite (nécessairement définie sur $k$).
\item $V$ est irréductible et possède exactement quatre points
(exactement) doubles, non coplanaires.
\item $V$ est irréductible et possède exactement trois points
(exactement) doubles, non alignés.
\item $V$ est irréductible et possède exactement deux points
(exactement) doubles.
\item $V$ est irréductible et possède exactement un point exactement
double.
\item $V$ est non singulière.
\end{enumerate}

\subsection{R-équivalence}

On cherche maintenant à étudier la R-équivalence sur $V$ dans chacun
des cas dégagés ci-dessus.

Manifestement, si la droite reliant $P$ et $Q$ est contenue dans $V$,
alors $P$ et $Q$ sont R-équivalents.  Notamment, tous les points
d'un cône sont R-équivalents (s'il existe un point triple dans
$V(k)$, alors tous les points sont R-équivalents).

Lorsque deux $k$-points quelconques de $V$ sont R-équivalents,
c'est-à-dire que $V(k)/R$ est un singleton, on dira que $V$ est
R-triviale.

Il est prouvé dans \cite{SwinD} (théorème 1) que, sur un corps fini,
ou, par conséquent, une extension algébrique infinie d'un corps fini,
une surface cubique \emph{non singulière} $V$ quelconque est
R-triviale.

Nous nous proposons d'expliquer pourquoi ceci reste vrai pour une
surface cubique quelconque.  On suppose dorénavant que $k$ est une
extension algébrique infinie d'un corps fini (de caractéristique
ne divisant pas $6$).

Nous aurons besoin du fait que, sur une extension algébrique $k$ d'un
corps fini (ou plus généralement sur un corps $C_1$), une surface
cubique ayant un $k$-point singulier est R-triviale
(\cite{MadoreObservation}, lemme 3).  À l'inverse, pour les surfaces
cubiques $V$ dont tous les $k$-points sont lisses, l'ensemble $V(k)/R$
des classes de R-équivalence est un invariant $k$-birationnel
(voir \cite{Manin}, remarque II.14.4), c'est-à-dire notamment que si
deux surfaces cubiques sont $k$-birationnellement équivalentes et si
l'une est R-triviale, l'autre l'est aussi : en effet, cela vaut sauf
peut-être pour un fermé strict (on a un isomorphisme entre deux
ouverts non vides, et il transporte la R-équivalence), mais comme les
classes de R-équivalence sont denses pour la topologie de Zariski
(\cite{Manin}, théorème II.13.1(i) ; voir théorème II.14.3), les
points de ce fermé sont R-équivalents aux autres.  Notamment, une
surface cubique $k$-rationnelle\footnote{Lorsque la surface a des
$k$-points singuliers, l'hypothèse faite sur $k$ est importante :
sinon, un contre-exemple est fourni par la surface cubique sur
$\mathbb{R}$ d'équation $T(X^2+Y^2+Z^2)=X^3$ dans
$\mathbb{P}^3_{\mathbb{R}}$, dont le $\mathbb{R}$-point singulier
$X=Y=Z=0$, isolé dans la topologie réelle, est une classe de
R-équivalence à lui tout seul.} est R-triviale.

On reprend maintenant les cas distingués précédemment :

\begin{enumerate}
\item La réunion de trois plans est certainement R-triviale car leur
intersection est définie sur $k$.
\item Si $V$ est réunion d'un plan et d'une quadrique, alors $V$ est
R-triviale : deux points quelconques du plan ou deux points
quelconques de la quadrique sont R-équivalents ; enfin,
l'intersection des deux, qui est une conique éventuellement
dégénérée, possède des points sur $k$ (puisque $k$ est
extension algébrique d'un corps fini).
\item Si $V$ est un cône, nous avons déjà observé que deux points
quelconques sont R-équivalents (en passant par le sommet du cône).
\item Si $V$ possède une droite, définie sur $k$, formée de points
(exactement) doubles, cette droite contient un $k$-point, et on a
alors vu que $V$ est R-triviale.
\item Lorsque $V$ est irréductible et possède exactement quatre points
doubles, alors $V$ est $k$-rationnelle : ceci est montré
dans \cite{SegrePS}, §9 ou dans \cite{Coray}, lemme 1.1(ii).  Par
conséquent, $V$ est R-triviale.
\item Lorsque $V$ est irréductible et possède exactement trois points
doubles, deux choses sont possibles : ou bien $V(k)=\varnothing$ (ce
qui ne peut pas d'ailleurs se produire pour $k$ extension algébrique
infinie d'un corps fini), ou bien $V$ est $k$-rationnelle ;
voir \cite{SegreAPS}, §6,9 ou bien \cite{Coray}, lemme 1.1(iii).  Dans
le premier cas, il n'y a rien à montrer, et dans le second on a vu que
$V$ est R-triviale.
\item Lorsque $V$ est irréductible et possède exactement deux points
doubles, de deux choses l'une :
\begin{itemize}
\item Soit ces deux points sont définis sur $k$.  Dans ce cas, on a un
point singulier défini sur $k$, et on a vu que $V$ est R-triviale.
\item Soit ces deux points sont définis sur une extension quadratique
$k'$ de $k$ et conjugués par l'action de Galois.  Dans ce cas,
d'après \cite{Coray}, théorème 2.2(a,b) (quitte à appliquer deux fois
l'opération), $V$ est $k$-rationnellement équivalente à une surface
cubique non singulière $W$, et on est ramené à ce cas.
\end{itemize}
\item Lorsque $V$ est irréductible et possède exactement un point
double, ce point est défini sur $k$, et on a vu que $V$ est
R-triviale.
\item Enfin, lorsque $V$ est non singulière, c'est le résultat de
Swinnerton-Dyer que nous avons cité.
\end{enumerate}

Dans tous les cas, nous avons donc prouvé :
\begin{prop}
Soit $V$ une surface cubique (non nécessairement lisse) sur un corps
$k$ extension algébrique infinie d'un corps fini de caractéristique
ne divisant pas $6$.  Alors deux points rationnels quelconques de $V$ sont
R-équivalents.
\label{CubSurfResult}
\end{prop}

%
%
%
\section{Déformation et fin}

\subsection{Déformation d'une courbe libre}

Soit maintenant $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation
discrète \emph{complet} $\mathcal{O}$ dont on note $\mathfrak{m}$
l'idéal maximal et $k=\mathcal{O}/\mathfrak{m}$ le corps résiduel.
Soit $\mathfrak{X}$ un schéma projectif \emph{lisse} sur
$\Spec\mathcal{O}$, dont on note $X = \mathfrak{X}
\times_{\Spec\mathcal{O}} \Spec K$ la fibre générique et $X_k =
\mathfrak{X} \times_{\Spec\mathcal{O}} \Spec k$ la fibre spéciale.
Soient $x,x'\in X(K) = \mathfrak{X}(\mathcal{O})$ deux points
rationnels de $K$, dont on note $\tilde x,\tilde x'\in X_k(k)$ la
spécialisation (réduction modulo $\mathfrak{m}$).  Soit $f\colon
\mathbb{P}^1_k \to X_k$ un $k$-morphisme tel que $f(0)=\tilde x$ et
$f(\infty)=\tilde x'$, et tel que $f^* T_{X_k}$ (fibré sur
$\mathbb{P}^1_k$) soit ample, c'est-à-dire que $f$ est très libre.  On
se propose de montrer qu'il existe $F\colon\mathbb{P}^1_{\mathcal{O}}
\to \mathfrak{X}$ vérifiant $F(0)=x$ et $F(\infty)=x'$ et dont la
fibre spéciale soit $f$.

On applique la proposition 2 de \cite{Mori} (voir aussi
\cite{KollarBook}, II.1.7 et II.3.5.4) : celle-ci montre que $f$ peut
s'étendre à $\mathcal{O}/\mathfrak{m}^2$ (en respectant $x$ et $x'$)
si $H^1(\mathbb{P}^1_k, (f^* T_{X_k})\penalty0 (-2))=0$ (remarquons
qu'ici, $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ est isomorphe à $k$ comme
$k$-module), ce qui est précisément l'hypothèse que $f$ est très
libre : en fait, l'obstruction au foncteur des déformations
infinitésimales de $f$ relativement à $\{\tilde x, \tilde x'\}$ est
précisément un élément de $H^1(\mathbb{P}^1_k, (f^* T_{X_k})\penalty0
(-2))$, donc l'hypothèse nous permet d'étendre $f$ à
$\mathcal{O}/\mathfrak{m}^2$, et, plus généralement, l'annulation du
même $H^1$ (tensorisé avec $\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}$ qui est
toujours isomorphe à $k$) permet d'étendre $f$ à
$\mathcal{O}/\mathfrak{m}^{n+1}$ une fois qu'on l'a étendu à
$\mathcal{O}/\mathfrak{m}^n$.  Finalement, on peut donc étendre $f$ à
$\mathcal{O}$ (supposé complet) en un morphisme $F$ comme recherché,
relativement à $\{x,x'\}$.

On a donc prouvé :
\begin{prop}
Soit $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
\emph{complet} $\mathcal{O}$ de corps résiduel $k$, et soit
$\mathfrak{X}$ un schéma projectif \emph{lisse} sur $\mathcal{O}$,
dont on note $X$ la fibre générique et $X_k$ la fibre spéciale.
Soient $x$ et $x'$ deux $K$-points de $X$.  Si les
spécialisations\footnote{\rm Si ces spécialisations sont confondues,
on demande qu'il y passe un $\mathbb{P}^1$ très libre.}
$\tilde x$ et $\tilde x'$ de $x$ et $x'$ sont R-équivalentes par des
$\mathbb{P}^1$ très libres, alors $x$ et $x'$ sont R-équivalents.
\label{DeformationResult}
\end{prop}

\subsection{Conclusion}

D'après la proposition \ref{CubSurfResult} ci-dessus, on a :
\begin{prop}
Soit $V$ une hypersurface cubique\footnote{Non nécessairement lisse,
mais on n'utilisera que le cas lisse.} sur un corps $k$ extension
algébrique infinie d'un corps fini de caractéristique ne divisant pas $6$.
Alors deux points rationnels quelconques de $V$ sont R-équivalents.
\end{prop}

Combinons maintenant ce résultat avec la proposition \ref{FreeProp}.
Sur une extension algébrique infinie d'un corps fini (de
caractéristique ne divisant pas $6$), une hypersurface cubique lisse a
toujours un point de type général : en effet, sur un corps
algébriquement clos, ils forment un ouvert non vide
(lemme \ref{GenTypeLemma}) de la variété irréductible $V$, qui a donc
des points sur un corps fini suffisamment grand d'après les
estimations de Lang-Weil.  Si l'on préfère, on peut appliquer le
résultat de \cite{KollarUni}.  On en déduit :
\begin{prop}
Soit $V$ une hypersurface cubique lisse sur un corps $k$ extension
algébrique infinie d'un corps fini de caractéristique ne divisant pas $6$.
Alors deux points rationnels quelconques de $V$ sont R-équivalents
par une chaîne de $\mathbb{P}^1$ très libres.
\label{SpecialResult}
\end{prop}

En combinant la proposition \ref{SpecialResult} avec la
proposition \ref{DeformationResult}, on obtient immédiatement :
\begin{prop}
Soit $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
\emph{complet} $\mathcal{O}$ dont le corps résiduel $k$ est une
extension algébrique infinie d'un corps fini de caractéristique ne
divisant pas $6$, et soit $V$ une hypersurface cubique lisse dans sur $K$
ayant bonne réduction.  Alors deux points rationnels quelconques de
$V$ sont R-équivalents, et notamment rationnellement équivalents.
\label{InfiniteMainResult}
\end{prop}

Reste à expliquer comment on peut classiquement en déduire le
théorème \ref{MainResult}.  Pour cela, soit $K$ un corps $p$-adique
avec $p\geq 5$, de corps résiduel $\mathbb{F}$ et $V$ une hypersurface
cubique lisse sur $K$ ayant bonne réduction ; en particulier, $V$ a un
$K$-point, disons $a$.  Commençons par montrer que tout $K$-point $x$
de $V$ sur $K$ est rationnellement équivalent à $a$.  On considère
deux extensions algébriques infinies $k_1$ et $k_2$ de $\mathbb{F}$
dont les degrés sont premiers entre eux, disons, pour fixer les idées,
$[k_1:\mathbb{F}] = \ell_1^\infty$ et $[k_2:\mathbb{F}] =
\ell_2^\infty$ avec $\ell_1,\ell_2$ premiers distincts.  Si $K_1$ et
$K_2$ sont les extensions non ramifiées de $K$ ayant $k_1$ et $k_2$
respectivement pour corps résiduels, la
proposition \ref{InfiniteMainResult} s'applique à $K_1$ et à $K_2$.
Notamment, elle montre que $a$ et $x$ sont rationnellement équivalents
tant sur $K_1$ que sur $K_2$; et donc déjà sur des extensions de degré
fini de $K$ contenues dans $K_1$ et $K_2$ respectivement.  Ceci
signifie (cf. \cite{Fulton}, §1.4) que pour certains entiers $i_1$ et
$i_2$, on a $\ell_1^{i_1}([x]-[a])=0$ et $\ell_2^{i_2}([x]-[a])=0$.
Mais alors $[x]-[a]=0$ d'après une relation de Bézout entre
$\ell_1^{i_1}$ et $\ell_2^{i_2}$, c'est-à-dire que $x$ et $a$ sont
rationnellement équivalents.  Et ceci s'applique encore à toute
extension finie $K'$ de $K$ : si $x$ est un point géométrique de $V$
de corps résiduel $K'$, alors il est encore rationnellement
équivalent, sur $V_{K'}$, à $a\otimes_K K'$.  En poussant par le
morphisme fini $p\colon V_{K'}\to V$ (cf. \cite{Fulton},
\textit{loc. cit.}), on en conclut que $[x]-d[a]=0$ où $d=[K':K]$.
Autrement dit, tout point fermé de $V$ est rationnellement équivalent
à un multiple de $a$, ce qui conclut.

%
%
%
\begin{thebibliography}{foo}
%
\bibitem{Manin}
Yu. I. Manin, \textit{Cubic Forms: Algebra, Geometry,
Arithmetic}, North-Holland (1974, second enlarged edition 1986).
%
\bibitem{SwinD}
H. P. F. Swinnerton-Dyer, « Universal Equivalence for Cubic
Surfaces over Finite and Local Fields », \textit{Istituto Nazionale di
Alta Mathematica Francesco Severi, Symposia Mathematica}, \textbf{24}
(1981), 111-143.
%
\bibitem{Mori}
S. Mori, « Projective manifolds with ample tangent bundles »,
\textit{Annals of Mathematics}, \textbf{110} (1979), 593-606.
%
\bibitem{KollarBook}
J. Kollár, \textit{Rational Curves on Algebraic Varieties}, Springer,
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge, Band 32.
%
\bibitem{KollarUni}
J. Kollár, « Unirationality of Cubic Hypersurfaces », preprint,
disponible sur \verb=xxx.lanl.gov= comme \verb=math.AG/0005146=.
%
\bibitem{Holme}
A. Holme, \textit{Embeddings, projective invariants and
classifications}, Universidad Nacional Autónoma de México,
Monografías del Insituto de Matemáticas (1979).
%
\bibitem{SegreAPS}
B. Segre, « On Arithmetical Properties of Singular Cubic Surfaces »,
\textit{J. London Math. Soc.}, \textbf{19} (1944), 84--91.
%
\bibitem{SegrePS}
B. Segre, « A Complete Parametric Solution of Certain Homogeneous
Diophantine Equations of Degree $n$ in $n+1$ Variables »,
\textit{J. London Math. Soc.}, \textbf{19} (1944), 46--55.
%
\bibitem{Coray}
D. F. Coray \& M. A. Tsfasman, « Arithmetic on Singular Del Pezzo
Surfaces », \textit{Proc. London Math. Soc.} (3), \textbf{57} (1988),
25--87.
%
\bibitem{Fulton}
W. Fulton, \textit{Intersection Theory}, Springer (second edition
1998).
%
\bibitem{MadoreObservation}
D. Madore, « Une observation sur la R-équivalence sur les
hypersurfaces cubiques sur les corps $p$-adiques », in
\textit{Hypersurfaces cubiques : équivalence rationnelle,
R-équivalence et approximation faible}, thèse de
doctorat, Université de Paris-Sud XI (2005).
%
\end{thebibliography}
%
%
%
\end{document}
