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\begin{document}
\selectlanguage{francais}
\title{Introduction}
\author{David A. Madore}
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\selectlanguage{german}
\begin{quotation}
1953 erkannte ich, daß die gerade Linie zum Untergang der Menschheit
führt.  Doch die gerade Linie ist zur absoluten Tyrannei geworden.
Die gerade Linie ist etwas, das ohne Gedanken oder Gefühl, feige dem
Lineal nachgezogen wird, es ist die Linie, die in der Natur nicht
existiert.  Diese Linie aber ist das morsche Fundament unserer zu Tode
verurteilten Zivilisation.

---Friedensreich Hundertwasser
\end{quotation}
\selectlanguage{francais}
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%
Cette thèse présente quelques résultats portant sur l'arithmétique de
certaines variétés rationnellement connexes et, plus spécifiquement,
des hypersurfaces cubiques, dans trois directions principales :
l'équivalence rationnelle, la R-équivalence, et l'approximation
faible.

Commençons par rappeler quelques définitions.

\section{Généralités}

\subsection{Variétés rationnellement connexes}

Une variété projective lisse connexe $X$ sur un corps $k$
algébriquement clos indénombrable de caractéristique zéro est dite
\emph{rationnellement connexe} lorsque pour tous $x,y \in X(k)$ il
existe une courbe rationnelle $f \colon \mathbb{P}^1_k \to X$ qui
relie les deux points : disons $f(0) = x$ et $f(\infty) = y$.  On peut
donner de nombreuses formulations équivalentes de cette définition (au
moins sous les conditions dans lesquelles nous nous plaçons,
c'est-à-dire dans cette introduction, sauf mention du contraire, $X$
lisse, $k$ de caractéristique nulle et indénombrable) : on renvoie à
\cite{KollarBook} ou \cite{Debarre} pour les détails ; mentionnons par
exemple qu'il suffit de supposer qu'on peut relier par une chaîne de
courbes rationnelles deux points très généraux (c'est-à-dire situés
en-dehors d'une certaine réunion dénombrable de fermés stricts),
cf. \cite{KollarBook} IV.3.9 et IV.3.10, et on peut alors faire passer
une courbe rationnelle par n'importe quel nombre fini de points de
$X$, et même prescrire les jets de cette courbe en ces points à un
ordre arbitrairement élevé (cf. \cite{Debarre} corollaire 4.28 et
exercice 4.6 ainsi que \cite{KollarLowDegree} 4.1.2.4 pour des énoncés
précis et des démonstrations).

Il est aussi pertinent de noter (\cite{KollarBook}, IV.3.7) que $X$
est rationnellement connexe si et seulement si il existe $f \colon
\mathbb{P}^1_k \to X$ telle que $H^1 (\mathbb{P}^1_k, (f^* T_X)(-2)) =
0$ : on dit alors que la courbe $f$ est \emph{très libre}
(cf. \cite{KollarBook} II.3).  Les courbes rationnelles très libres
tracées sur une variété rationnellement connexe jouent un rôle très
important dans la théorie de la déformation, essentiellement parce
qu'elles sont les points de lissité de morphismes d'évaluation
$\ev_\infty \colon \Mor(\mathbb{P}^1, X;\penalty0 0\mapsto
x_0) \to X$ où $\Mor(\mathbb{P}^1, X; 0\mapsto x_0)$ est le schéma
(voir \cite{KollarBook}, théorème I.1.10, ou \cite{FGA}, 4c)
paramétrant les morphismes $\mathbb{P}^1_k \to X$ qui envoient $0$ sur
un point $x_0$ de $X$) : on renvoie à \cite{Debarre},
propositions 4.8 et 4.9, ainsi que \cite{KollarBook} II.3.5.3 pour des
énoncés rigoureux et des démonstrations.  Ceci permet de dire par
exemple, au moins informellement, que toute déformation infinitésimale
d'une courbe très libre se relève en une vraie déformation, même en
gardant un point fixe.

En dimension $1$, la seule courbe (projective, lisse) rationnellement
connexe est la droite.  En dimension $2$, les surfaces (projectives,
lisses) rationnellement connexes sont précisément les surfaces
rationnelles.  En toute dimension, les variétés unirationnelles
(c'est-à-dire telles qu'il existe une application rationnelle
surjective depuis un $\mathbb{P}^n$) sont rationnellement connexes.
Une classe plus intéressante de variétés rationnellement connexes est
fournie par les variétés lisses de Fano (c'est-à-dire telles que le
fibré anticanonique $\omega_X^{\otimes-1}$ est ample) : ce résultat
est dû indépendamment à Campana et à Kollár, Miyaoka et Mori (voir
\cite{KollarBook}, V.2.13).  En particulier, les hypersurfaces lisses
de degré $d$ dans $\mathbb{P}^n$ avec $d\leq n$ (ou, plus
généralement, les intersections complètes lisses d'hypersurfaces de
degrés $d_1,\ldots,d_r$ avec $d_1+\cdots+d_r \leq n$), qui sont des
variétés de Fano (\cite{KollarBook}, V.1.2), sont rationnellement
connexes.  Les hypersurfaces cubiques (lisses) de dimension au moins
$2$, qui sont unirationnelles (\cite{Manin} II.12.11) et qui sont
aussi des hypersurface de Fano, sont donc bien rationnellement
connexes ; elles constituent en un certain sens le cas non trivial le
plus simple des variétés rationnellement connexes.

Nous passons délibérément sous silence les difficultés qui se
présentent en caractéristique positive, où on peut donner plusieurs
définitions naturelles mais non équivalentes de la connexité
rationnelle.  Celle qui se comporte de la façon la plus agréable est
sans doute la connexité rationnelle séparable : une variété $X$ propre
lisse connexe sur un corps $k$ algébriquement clos est dite
\emph{séparablement rationnellement connexe} lorsqu'il existe une
courbe rationnelle très libre tracée sur $X$ (les hypersurfaces
cubiques lisses, même en caractéristique positive, possèdent bien
cette propriété ; toutefois, on ignore si elle vaut pour toute
hypersurface lisse de Fano, et on sait qu'elle n'est pas vérifiée par
certaines variétés de Fano lisses).

Du point de vue de l'arithmétique, les variétés rationnellement
connexes (c'est-à-dire, qui deviennent rationnellement connexes en
passant à la clôture algébrique du corps de base) devraient posséder
de bonnes propriétés.  Ainsi, il est permis de conjecturer qu'une
variété projective lisse séparablement rationnellement connexe possède
toujours un point sur un corps $C_1$ (rappelons qu'un corps $k$ est
dit vérifier la propriété $C_r$, où $r\geq 0$, lorsque toute
hypersurface de degré $d$ dans $\mathbb{P}^n$ possède un $k$-point si
$d^r \leq n$ ; les corps $C_0$ sont les corps algébriquement clos, et
les corps $C_1$ sont parfois appelés quasi algébriquement clos) : ceci
est prouvé au moins pour les corps de fonctions des courbes sur un
corps algébriquement clos (\cite{GraberHarrisStarr} en caractéristique
nulle et \cite{DeJongStarr} en toute caractéristique) et pour les
corps finis (\cite{Esnault}).  Par ailleurs, sur un corps de nombres,
on peut conjecturer que les points d'une variété projective lisse
rationnellement connexe deviennent denses au sens de Zariski après une
extension finie du corps de base.

\subsection{R-équivalence et équivalence rationnelle}

Si $X$ est une variété propre définie sur un corps $k$, on dit que
deux points $x,y\in X(k)$ sont \emph{directement R-équivalents}
lorsqu'il existe $f\colon \mathbb{P}^1_k \to X$ (soulignons : défini
sur $k$) tel que $f(0)=x$ et $f(\infty)=y$.  La clôture transitive de
cette relation définit une relation d'équivalence sur $X(k)$ appelée
la R-équivalence : on note $X(k)/R$ l'ensemble des classes
d'équivalence, et on dit que deux points sont R-équivalents quand
ils sont dans la même classe.  Si $X(k)/R$ est réduit à un singleton,
on dit que $X$ est R-triviale (sur $k$).

Rappelons par ailleurs qu'un \emph{zéro-cycle} sur $X$ désigne une
combinaison linéaire formelle $\sum_i n_i x_i$ de points fermés de
$X$, le degré du zéro-cycle étant alors $\sum_i n_i \deg_k(x_i)$.  Les
zéro-cycles \emph{rationnellement équivalents} à zéro sont ceux
engendrés par les diviseurs de fonctions sur les courbes tracées sur
$X$ (qu'il faut définir soigneusement si la courbe est singulière :
cf. \cite{Fulton}, chapitre 1 et notamment §1.3 et §1.6, pour les
détails).  La notion d'équivalence rationnelle entre deux points
(c'est-à-dire le fait que leur différence soit rationnellement
équivalente à zéro) est manifestement plus grossière que celle de
R-équivalence.  On appelle $\Chow_0(X)$ le groupe (de Chow) des
zéro-cycles modulo équivalence rationnelle, et $\Chow_0^0(X)$ le
sous-groupe formé des classes de zéro-cycles de degré zéro.

Un des problèmes arithmétiques importants sur une variété
(géométriquement) rationnellement connexe $X$ sur un corps $k$ de
nature arithmétique est celui de savoir si $X(k)/R$ est réduit à un
élément ou, du moins, à un nombre fini d'éléments, et de même pour
$\Chow_0^0(X)$.  Par exemple, si $k$ est un corps local, la finitude
de $X(k)/R$ est connue (\cite{KollarLocalFields}), mais on ignore si
$\Chow_0^0(X)$ est toujours fini (sauf dans le cas des surfaces, par
des méthodes de $K$-théorie : \cite{CTSurfaces}) ; si $k$ est un corps
fini, $\Chow_0^0(X)$ est trivial (\cite{KatoSaito},
\cite{KollarSzabo}), et on peut conjecturer qu'il en va de même de
$X(k)/R$, mais cela n'est connu que dans certains cas particuliers
(lorsque $X$ est une surface cubique lisse, \cite{SwinD}, ou lorsque
$k$ est assez gros, \cite{KollarSzabo}).

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\section{Plan}

Nous présentons maintenant, dans l'ordre, les différentes parties de
cette thèse, en tentant de les remettre dans leur contexte.

\subsection{Spécialisation de la R-équivalence}

Si $K$ est le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
$A$ de corps résiduel $k$, et $\mathscr{X}$ une variété projective sur
$A$, de fibre générique $X = \mathscr{X} \times_{\Spec A} \Spec K$ et
de fibre spéciale $Y = \mathscr{X} \times_{\Spec A} \Spec k$, on a
$X(K) = \mathscr{X}(A)$ et on dispose d'une flèche de réduction $X(K)
\to Y(k)$, qui sert de façon essentielle pour analyser l'arithmétique
de $X$ sur $K$.  Il résulte facilement de la théorie de l'intersection
sur les cycles (cf. \cite{Fulton}, §2.3 et §2.6) qu'on a une flèche de
spécialisation (compatible au degré) sur les zéro-cycles, $\Chow_0(X)
\to \Chow_0(Y)$ (définie par la flèche de Gysin $i^* \colon
\Chow_1(\mathscr{X}) \to \Chow_0(Y)$, où $i\colon Y\to\mathscr{X}$ est
l'immersion fermée de la fibre spéciale de $\mathscr{X}$).  Le fait
que la flèche $X(K) \to Y(k)$ passe à la R-équivalence (et définisse
une flèche $X(K)/R \to Y(k)/R$), utilisé sans explication
dans \cite{KollarSpecialz}, doit sans doute être considéré comme
connu, mais aucune référence ne semble disponible (bien que des faits
apparentés soient dans la littérature, cf. \cite{KollarBook}
corollaire IV.3.5.2 ou théorème IV.3.11) : c'est donc l'objet de cette
première partie, qui explique comment décrire explicitement (en termes
de coordonnées projectives) la façon dont se spécialise la
R-équivalence.

À titre d'exemple, ceci fournit une démonstration facile du fait
qu'une spécialisation d'une variété (projective lisse) rationnellement
connexe est rationnellement connexe par chaînes.

La question se pose ensuite de savoir ce qu'on peut dire (injectivité,
surjectivité) de la flèche $X(K)/R \to Y(k)/R$ ou bien $\Chow_0(X) \to
\Chow_0(Y)$ (la réponse complète à cette question dans le cas de bonne
réduction a été apportée récemment par Kollár
dans \cite{KollarSpecialz}).

\subsection{Équivalence rationnelle sur les corps $p$-adiques}

Si $X$ est une hypersurface cubique lisse ayant bonne réduction
(c'est-à-dire ayant un modèle projectif dont la fibre spéciale $Y$ est
une hypersurface cubique lisse) sur un corps $p$-adique (avec $p\geq
5$), la nullité du groupe de Chow des zéro-cycles de degré zéro
$\Chow_0^0(Y)$ de la fibre spéciale était connue
(cf. \cite{KatoSaito}) ; il s'agit donc d'un des premiers cas où la
question se pose de façon intéressante de savoir si on peut montrer
$\Chow_0^0(X) = 0$ par déformation depuis la fibre spéciale.  C'est ce
qui est fait dans cette partie.  Le résultat porte sur l'équivalence
rationnelle, mais l'essentiel des arguments travaillent sur la
R-équivalence : le point de départ est un résultat de
Swinnerton-Dyer (\cite{SwinD}) qui affirme que toute surface cubique
lisse sur un corps fini est R-triviale, résultat duquel
Swinnerton-Dyer avait lui-même déduit le même énoncé sur les corps
$p$-adiques dans le cas d'une \emph{surface} cubique (lisse de bonne
réduction).

L'idée originale de notre démonstration consiste à obtenir une courbe
très libre (cf. plus haut) sur la fibre spéciale, pour pouvoir ensuite
la déformer.  Malheureusement, pour obtenir l'existence de points dans
un ouvert (correspondant aux courbes très libres) de l'espace affine,
il a fallu passer par des corps « finis infinis », et, au final, on
n'obtient la conclusion ($\Chow_0^0(X)=0$) que sur l'équivalence
rationnelle et non la R-équivalence.

Après ce résultat (publié dans \cite{selfRatEqv}), Kollár et Szabó ont
obtenu dans \cite{KollarSzabo}, également en déformant des courbes
très libres pour passer de la fibre spéciale à la fibre générique, un
résultat beaucoup plus général : si $X$ est une variété projective
lisse sur $K$ corps local de corps résiduel $k$, dont on suppose la
réduction $Y$ à $k$ lisse (géométriquement) séparablement
rationnellement connexe, on a $\Chow_0^0(X)=0$, et, si $\card k$ est
assez grand (où « assez » ne dépend que de la dimension et du degré de
$X$), $X$ est R-triviale.

\subsection{Approximation faible sur les surfaces cubiques}

Si $K$ est un corps global ou le corps des fonctions sur une courbe
$\Gamma$ sur un corps algébriquement clos
et $X$ une variété projective sur $K$ telle que $X(K) \neq
\varnothing$, on dira que $X$ vérifie l'approximation faible en un
ensemble fini $S$ de places de $K$ lorsque $X(K)$ est
dense dans $\prod_{v\in S} X(\hat K_v)$ où $\hat K_v$ est le complété
de $K$ en la place $v$, où on a muni $X(\hat K_v)$ de la topologie
$v$-adique.  Il s'agit de la question naturelle à se poser une fois
acquise l'existence d'un point rationnel (et, si l'approximation
faible n'est pas vérifiée, on peut chercher d'éventuelles obstructions
cohomologiques pour l'expliquer).

Swinnerton-Dyer avait prouvé dans \cite{SwDWA} que pour $X$ une
surface cubique lisse sur un corps de nombres $K$, dès que $X(K) \neq
\varnothing$, on a l'approximation faible en n'importe quel ensemble
(fini) $S$ de places de bonne réduction de $X$.  Ici, en s'inspirant
de cette démonstration, on obtient le résultat semblable pour les
corps de fonctions ; il s'agit là du premier cas non trivial obtenu
d'approximation faible sur les corps de fonctions.

Très récemment, Hassett et Tschinkel (\cite{HassettTschinkel}) ont
obtenu ce résultat pour toutes les variétés (projectives, lisses)
rationnellement connexes.

\subsection{R-équivalence sur les hypersurfaces cubiques en grande dimension}

Dans les cas de mauvaise réduction, sur un corps local, il est
difficile d'utiliser des techniques de déformation depuis la fibre
spéciale pour obtenir des résultats sur la fibre générique comme
décrites ci-dessus.  Néanmoins, on peut penser que si le nombre de
variables est suffisamment grand, les propriétés seront bonnes.  Le
résultat ici est\footnote{La même démonstration donne d'ailleurs
facilement la R-trivialité d'une hypersurface cubique lisse de
dimension au moins $4$ sur un corps $C_1$ ; on peut se demander
si ce fait est vrai en toute dimension $\geq 2$, ce qui n'est pas le cas pour
un corps $C_2$.} : si $X$ est une hypersurface cubique lisse de
dimension au moins $10$ sur un corps $p$-adique (ou sur un corps
$C_2$), alors $X$ est R-triviale, et $\Chow_0^0(X) = 0$.

On ignore à partir de quelle dimension il est vrai que $\Chow_0^0(X) =
0$ pour toute hypersurface cubique lisse sur un corps $p$-adique $k$.
En dimension $2$ le problème est bien maîtrisé car alors
(voir \cite{CTSurfaces}) $\Chow_0^0(X)$ se plonge dans $H^1(k,S)$ où
$S$ est le tore dont le réseau des caractères (avec action de Galois)
est $S^* = \Pic \bar X$.  La dualité parfaite $H^1(k,S) \times
H^1(k,S^*) \to \Br k = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ (donnée par la théorie
locale du corps de classes) correspond à l'évaluation (non dégénérée à
gauche) $\Chow_0^0(X) \times \Br X \to \Br k$ (ici, $\Br X = H^2 (X,
\mathbb{G}_m)$ désigne le groupe de Brauer cohomologique : voir
\cite{GrothendieckBrauer} pour des généralités à ce sujet, et
\cite{Bloch}, appendice, pour la définition de cet accouplement).
C'est-à-dire qu'en particulier l'évaluation des éléments du groupe de
Brauer de $X$ détecte exactement l'équivalence rationnelle.  On peut
mentionner l'exemple classique (cf. \cite{CTSaito}, exemple 2.8) de la
surface cubique définie par l'équation $T_0^3 + T_1^3 + T_2^3 + p
T_3^3=0$ dans $\mathbb{P}^3_{\mathbb{Q}_p}$ avec $p \equiv 2 \pmod{3}$
et $p\geq 5$, sur laquelle les deux points $\mathbb{Q}_p$-rationnels
$(1:-1:0:0)$ et $(\root3\of2:-1:-1:0)$ ne sont pas rationnellement
équivalents (en fait, $\Chow_0^0(X) \cong E(\mathbb{F}_p)/ 3
E(\mathbb{F}_p)$, où $E$ est la courbe elliptique $T_0^3 + T_1^3 +
T_2^3 = 0$, la flèche étant donnée par la spécialisation).  En
dimension supérieure ou égale à $3$, l'obstruction présentée par le
groupe de Brauer tombe pour une hypersurface car alors $\Br X = \Br k$
(\cite{Poonen}, appendice A).

\subsection{Non-trivialité d'un groupe de Chow}

La partie suivante montre que, bien que le groupe de Brauer ne donne
dans ce cas pas d'obstruction (comme expliqué ci-dessus), on peut
avoir $\Chow_0^0(X) \neq 0$ pour une hypersurface cubique lisse de
dimension $3$ sur un corps de dimension cohomologique $2$ (en
l'occurrence $\mathbb{C}\Laurent{u}\Laurent{v}$, l'hypersurface étant
donnée par $T_0^3 + T_1^3 + u T_2^3 + v T_3^3 + uv T_4^3 = 0$).
Malheureusement, il n'a pas semblé possible de construire un exemple
analogue sur $\mathbb{Q}_p$ (bien qu'il semble plausible qu'il existe
effectivement des hypersurfaces cubiques lisses de dimension $3$
sur $\mathbb{Q}_p$ avec $\Chow_0^0(X) \neq 0$).

La méthode de calcul consiste à obtenir un modèle régulier explicite
et à considérer la matrice d'intersection des $1$-cycles de la fibre
spéciale de celui-ci avec les composantes de la fibre spéciale (voir
\cite{Dalawat} et notamment \cite{Dalawat2} théorème 4 pour des
énoncés, sur les surfaces, justifiant que ces méthodes de calculs
permettent effectivement d'obtenir exactement le groupe de Chow des
zéro-cycles ; ici, on montre simplement qu'il est non nul).  Le calcul
du modèle régulier se fait par des résolutions toroïdales, comme il
a été suggéré par P. Deligne.

\subsection{R-équivalence très libre sur les tores}

En appendice, nous plaçons un résultat qui ne concerne pas les
hypersurfaces cubiques : il est prouvé que sur une variété torique
projective lisse sur un corps infini, deux points rationnellement
équivalents sont directement reliés (R-équivalents) par une courbe
très libre.  On obtient également le résultat sur une surface de Del
Pezzo de degré $5$ : deux points quelconques sont directement reliés
par une courbe très libre.  Ces deux faits s'obtiennent en étudiant les
torseurs universels au-dessus des variétés considérées, et se placent
dans la continuité de certaines remarques faites dans
\cite{CTDescenteUn} et \cite{CTDescenteDeux}.

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