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% Define a command \underdot which places a dot under a letter:
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      $#1#2$\cr\noalign{\nointerlineskip\vskip1pt }$#1.$\cr}}}
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\begin{document}
\title{Non-nullité d'un groupe de Chow}
\author{David A. Madore}
\maketitle
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%
%
\section*{Plan}

Le but de cette note est de prouver la non-nullité du groupe de Chow
des classes de $0$-cycles de degré $0$ modulo équivalence rationnelle
sur l'hypersurface cubique d'équation projective $X^3 + Y^3 + \nu Z^3
+ t U^3 + t \nu V^3 = 0$ sur le corps $\mathbb{C}\Laurent{\nu,t}$ (ou
$\mathbb{C}\Laurent{\nu}\Laurent{t}$) ; on renvoie à la section
finale \ref{Remarks} pour des remarques générales ainsi que la
motivation de ce problème.

Le plan général est le suivant.  Dans un premier temps, on détermine
un modèle projectif et régulier $\mathscr{Y}$ sur
$\mathbb{C}\Laurent{\nu}[t]$ de l'hypersurface considérée, dont la
fibre spéciale $\mathscr{Y}_0$ a des composantes lisses (une fois
réduites) s'intersectant transversalement.  Ceci fait l'objet des
sections \ref{GeneralSetup} à \ref{Gluing} : dans la
section \ref{GeneralSetup}, on construit un premier modèle, singulier,
dont on résout ensuite localement les singularités dans les sections
\ref{StudyAroundC} et \ref{StudyAroundOmega} (il y a deux lieux
singuliers, étudiés de façon parallèle, à chaque fois en utilisant une
résolution toroïdale), et, dans la section \ref{Gluing}, on recolle
les résolutions locales obtenues, ce qui fournit le modèle
$\mathscr{Y}$ ainsi qu'une description des quatre composantes
irréductibles, $\mathscr{Y}_H, \mathscr{Y}_1, \mathscr{Y}_\ell,
\mathscr{Y}_W$ de sa fibre spéciale $\mathscr{Y}_0$.  La
section \ref{DescriptionOfYW} se concentre sur la composante
$\mathscr{Y}_W$, la seule dont la description n'est pas immédiate, et
la présente comme un éclaté de $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^1$.

L'intérêt d'obtenir ce modèle est le suivant : on arrive à décrire
précisément chacune des flèches $\Chow_1(\mathscr{Y}_i) \to
\Chow_0(\mathscr{Y}_j)$ d'intersection d'un $1$-cycle sur une des
composantes $\mathscr{Y}_i$ de la fibre spéciale avec une composante
$\mathscr{Y}_j$ (qui peut être $\mathscr{Y}_i$ elle-même ; pour le cas
qui nous concerne, on n'aura besoin que des intersections avec
$\mathscr{Y}_H$).  Si on se donne un $1$-cycle $\alpha$ sur le modèle
$\mathscr{Y}$ tout entier, une façon de voir qu'il ne provient pas de
la fibre spéciale $\mathscr{Y}_0$ (donc qu'il est non nul sur
la fibre générique $\mathscr{Y} \setminus \mathscr{Y}_0$) est de
prouver que son intersection avec un des $\mathscr{Y}_j$ n'est pas
dans le sous-groupe engendré par les images des
$\Chow_1(\mathscr{Y}_i) \to \Chow_0(\mathscr{Y}_j)$.  Autrement dit,
le conoyau de $\bigoplus_i \Chow_1(\mathscr{Y}_i) \to \bigoplus_j
\Chow_0(\mathscr{Y}_j)$ fournit un contrôle sur $\Chow_1 (\mathscr{Y}
\setminus \mathscr{Y}_0)$ qu'on cherche à étudier.  Cette méthode de
calcul a été étudiée par C. S. Dalawat (voir \cite{Dalawat} et
notamment \cite{Dalawat2} théorème 4) qui montre que, pour une surface
rationnelle sur un corps local déployée par une extension non ramifiée
de celui-ci, on peut ainsi obtenir exactement le groupe de Chow ; ici,
nous ne sommes pas dans ces hypothèses, mais on cherche simplement à
prouver la non-nullité du groupe de Chow.

La section \ref{ChowGroupsConsiderations} explicite les flèches qui
nous concernent entre les groupes de Chow des différentes composantes.
L'une de ces flèches est une norme sur une courbe elliptique et on
prouve dans la section \ref{NormNonSurjectivity} qu'elle n'est pas
surjective (en donnant explicitement un point qui n'est pas une
norme).  Ceci permet, dans la section \ref{Conclusion}, de rassembler
les morceaux et de construire deux points qui ne sont pas
rationnellement équivalents.

%
%
%
\section{Définitions et énoncé du problème}
\label{GeneralSetup}

Sur le corps $\mathbb{C}\Laurent{\nu,t}$, on considère l'hypersurface
cubique dans $\mathbb{P}^4$ définie par
\[
X^3 + Y^3 + \nu Z^3 + t (U^3 + \nu V^3) = 0
\tag{$*$}
\]
dont on cherche à montrer que le groupe de Chow des $0$-cycles de
degré $0$ modulo équivalence rationnelle n'est pas nul.

Pour commencer, on cherche un modèle projectif régulier sur
$\mathbb{C}\Laurent{\nu}[t]$ de l'équation ($*$) ci-dessus.

Montons d'abord à $\mathbb{C}\Laurent{\nu,t^{1/3}}$.  Soit
$h=t^{1/3}$.  L'équation ($*$) s'écrit
\[
X^3 + Y^3 + \nu Z^3 + (hU)^3 + \nu (hV)^3 = 0
\]
Posons $\tilde U = hU$ et $\tilde V = h V$.  On a le modèle évident
$\mathscr{X}$, de même équation, dans $\mathbb{P}^4_k \times_{\Spec k}
\mathbb{A}^1_k$ où $k=\mathbb{C}\Laurent{\nu}$,
\[
X^3 + Y^3 + \nu Z^3 + \tilde U^3 + \nu \tilde V^3 = 0
\tag{$**$}
\]
--- c'est-à-dire le produit de l'hypersurface cubique diagonale
(lisse) ayant cette équation ($**$) par la droite affine
$\mathbb{A}^1_k = \Spec k[h]$.

Le groupe $\bimu_3$ agit (sur ce produit) : par $((X:Y:Z:\tilde
U:\tilde V), h) \mapsto ((X:Y:Z:\zeta \tilde U:\zeta \tilde V), \zeta
h)$ (où $\zeta$ racine cubique primitive de l'unité).  Le lieu fixe de
cette action consiste en les $((X:Y:Z:0:0), 0)$ avec $X^3+Y^3+\nu
Z^3=0$ (soit une courbe de genre $1$ sur $k$, que nous noterons $C$)
et les $((0:0:0:\tilde U:\tilde V), 0)$ avec $\tilde U^3 + \nu \tilde
V^3=0$ (soit un point fermé de degré $3$, que nous noterons $\Omega$).
On cherche à désingulariser le quotient par cette action,
$\mathscr{X}/\bimu_3$ (ce qui donnera le modèle $\mathscr{Y}$
recherché sur $\mathbb{C}\Laurent{\nu}[t]$).  Pour cela, on va
désingulariser séparément, et chacun par une technique « toroïdale »,
les deux lieux singuliers, $C$ et $\Omega$.

\section{Étude au voisinage de $C$}
\label{StudyAroundC}

Plaçons-nous dans l'ouvert $\mathscr{X}_{X\neq 0}$ de $\mathscr{X}$
défini par $X\neq 0$ : appelons $y_{X\neq 0}, z_{X\neq 0}, u_{X\neq
0}, v_{X\neq 0}$ les coordonnées respectivement $Y/X, Z/X, \tilde U/X,
\tilde V/X$ sur cet ouvert, qui vérifient $1+ y_{X\neq 0}^3+ \nu
z_{X\neq 0}^3 + u_{X\neq 0}^3+ \nu v_{X\neq 0}^3=0$.  Enfin,
considérons le morphisme $\psi_{X\neq 0}\colon \mathscr{X}_{X\neq 0}
\to \mathbb{A}^3_k$ défini par $(y_{X\neq 0}, z_{X\neq 0}, u_{X\neq
0}, v_{X\neq 0},\penalty100 h) \mapsto (u_{X\neq 0}, v_{X\neq 0}, h)$.  On se
permettra, dans la suite, d'omettre parfois l'indice « ${X\neq 0}$ »
lorsqu'il est clair d'après le contexte.

Le morphisme $\psi$ est lisse lorsque $Y\neq 0$ ou $Z\neq 0$.  Par
ailleurs, il est compatible à l'action de $\bimu_3$ lorsque $\bimu_3$
agit sur $\mathscr{X}_{X\neq 0}$ comme expliqué précédemment (l'action
sur $\mathscr{X}$ préserve l'ouvert $\mathscr{X}_{X\neq 0}$) et sur
$\mathbb{A}^3_k$ par $(u,v,w)\mapsto (\zeta u, \zeta v, \zeta w)$.
Notons $\breve\psi$ le morphisme $\mathscr{X}_{X\neq 0}/\bimu_3 \to
\mathbb{A}^3_k/\bimu_3$ obtenu par passage au quotient.  Ce morphisme
$\breve\psi$ est encore lisse lorsque $Y\neq 0$ ou $Z\neq 0$ car il
s'écrit :
$$
\begin{array}{c}
\breve\psi\colon
\Spec R[y,z]/(f) \to \Spec R\\
\hbox{où }
R = k[u^3,u^2v,uv^2,v^3,u^2w,uvw,v^2w,uw^2,vw^2,w^3]\\
\hbox{et }
f = 1+y^3+\nu z^3+(u^3)+\nu(v^3)\\
\hbox{vérifiant }
\frac{\partial f}{\partial y}\hbox{ inversible}\hbox{ ou }
\frac{\partial f}{\partial z}\hbox{ inversible}
\end{array}
$$

Par ailleurs, $\mathscr{U} = \mathbb{A}^3_k/\bimu_3$ a exactement un
point singulier $O$, correspondant au seul point fixe de l'action de
$\bimu_3$ sur $\mathbb{A}^3_k$, à savoir $(0,0,0)$.  L'image
réciproque de $O$ par $\psi_{X\neq 0}$ est l'ouvert $X\neq 0$ de $C$.
On va décrire une flèche $\varphi\colon
\mathscr{U}_\sharp\to\mathscr{U}$ de désingularisation ($\varphi$
morphisme propre birationnel et $\mathscr{U}_\sharp$ régulier) qui
sera un isomorphisme partout sauf au-dessus de ce point, et on
appellera $\mathscr{Y}_{X\neq 0}$ le produit fibré de
$\mathscr{X}_{X\neq 0}/\bimu_3$ avec $\mathscr{U}_\sharp$ au-dessus de
$\mathscr{U} = \mathbb{A}^3_k/\bimu_3$ (par les morphismes
$\breve\psi$ et $\varphi$).  Nous expliquerons plus loin comment on
peut recoller la désingularisation $\mathscr{Y}_{X\neq 0}$ avec ses
analogues $\mathscr{Y}_{Y\neq 0}$ et $\mathscr{Y}_{Z\neq 0}$.

$$
\xymatrix{
\mathscr{Y}_{X\neq 0}\ar[rr]\ar[dd]&&\mathscr{U}_\sharp\ar[dd]^{\varphi}\cr
&\square&\cr
\mathscr{X}_{X\neq 0}/\bimu_3\ar[r]^{\breve\psi}&
\mathbb{A}^3_k/\bimu_3\ar@{=}[r]&\mathscr{U}\cr
}
$$

On passe à la description « torique » pour construire le morphisme
$\varphi$ (on renvoie à \cite{FultonToric} pour les généralités sur
les variétés toriques) : $\mathbb{G}^3_{\mathrm{m},k}$ est le spectre
de l'algèbre du réseau $\mathbb{Z}^3$.  Le quotient par l'action
(évidente) de $\bimu_3$ est le spectre de l'algèbre des monômes fixes,
c'est-à-dire l'algèbre du réseau $T^* = \{(a,b,c)\in\mathbb{Z}^3 :
3\hbox{ divise }(a+b+c)\}$ (a pour base : $(3,0,0)$, $(1,0,-1)$,
$(0,1,-1)$).  Le réseau dual est $T_* = \mathbb{Z}^3 + \mathbb{Z}
\cdot (\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ (a pour base :
$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$, $(0,-1,-1)$, $(0,1,0)$).
Le quotient de $\mathbb{A}^3_k$ par l'action de $\bimu_3$ est défini
par le cône $\sigma = \{(\alpha,\beta,\gamma) :
\alpha,\beta,\gamma\geq 0\}$ (engendré en tant que cône réel par
$(1,0,0)$, $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$).  On voit que ce quotient n'est pas
lisse, car $\sigma \cap T_*$ contient quatre éléments minimaux,
$(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ et
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$, donc n'est pas libre en tant
que monoïde commutatif.  En revanche, on peut désingulariser en
remplaçant $\sigma$ par un éventail de trois cônes dont la réunion
est $\sigma$ et qui chacun sont engendrés par leurs éléments minimaux,
à savoir :
\begin{itemize}
\item $\sigma_a$ engendré par $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$,
$(0,1,0)$ et $(0,0,1)$.
\item $\sigma_b$ engendré par $(1,0,0)$,
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ et $(0,0,1)$.
\item $\sigma_c$ engendré par $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ et
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$.
\end{itemize}
On appellera
$\mathscr{U}_a,\mathscr{U}_b,\mathscr{U}_c$
les variétés toriques affines lisses correspondant à ces cônes (par
exemple, $\mathscr{U}_a = \Spec k[\chi^r : r\in T^*\cap
(\sigma_a)^\vee]$), et $\mathscr{U}_\sharp$ leur recollement selon les
variétés toriques affines définies par les intersections de ces cônes.
On rappelle que $\mathscr{U} = \mathbb{A}^3_k/\bimu_3$ est la variété
torique affine correspondant au cône $\sigma$, soit $\mathscr{U} =
\Spec k[\chi^r : r\in T^*\cap \sigma^\vee]$.

Si $(a,b,c) \in T^*$ (trois entiers tels que $3$ divise $a+b+c$,
donc) alors on notera $u^a v^b w^c$ l'élément de $k[\chi^r : r\in
T^*]$ égal à $\chi^{(a,b,c)}$.  Ainsi, on peut écrire $\mathscr{U} =
\Spec k[u^3,u^2v,uv^2,v^3,u^2w,uvw,v^2w,uw^2,vw^2,w^3]$
et le morphisme $\mathbb{A}^3_k
\to \mathbb{A}^3_k/\bimu_3 = \mathscr{U}$ est donné par l'inclusion
évidente d'anneaux si on écrit $\mathbb{A}^3_k = \Spec k[u,v,w]$.
Avec ces notations (et quelques abus évidents), on peut écrire
\begin{itemize}
\item $\mathscr{U}_a = \Spec k[\chi^r : r\in T^*\cap(\sigma_a)^\vee] =
\Spec k[u^3,u^{-1}v,u^{-1}w]$
\item $\mathscr{U}_b = \Spec k[\chi^r : r\in T^*\cap(\sigma_b)^\vee] =
\Spec k[uv^{-1},v^3,v^{-1}w]$
\item $\mathscr{U}_c = \Spec k[\chi^r : r\in T^*\cap(\sigma_c)^\vee] =
\Spec k[uw^{-1},vw^{-1},w^3]$
\end{itemize}
(rappelons que toutes ces variétés sont, non canoniquement,
$k$-isomorphes à $\mathbb{A}^3_k$).

On appelle $\varphi\colon\mathscr{U}_\sharp\to\mathscr{U} =
\mathbb{A}^3_k/\bimu_3$ le morphisme obtenu par recollement des
morphismes $\mathscr{U}_a\to\mathscr{U}$,
$\mathscr{U}_b\to\mathscr{U}$ et $\mathscr{U}_c\to\mathscr{U}$
correspondant aux inclusions de cônes.  Par exemple
$\mathscr{U}_a\to\mathscr{U}$ est donné par les équations $u^3=(u^3)
;\; u^2v=(u^3)\cdot(u^{-1}v) ;\; u^2w=(u^3)\cdot(u^{-1}w) ;\;
uv^2=(u^3)\cdot(u^{-1}v)^2 ;\; uvw=(u^3)\cdot(u^{-1}v)\cdot(u^{-1}w)
;\; uw^2=(u^3)\cdot(u^{-1}w)^2 ;\; v^3=(u^3)\cdot(u^{-1}v)^3 ;\;
v^2w=(u^3)\cdot(u^{-1}v)^2\cdot(u^{-1}w) ;\;
vw^2=(u^3)\cdot(u^{-1}v)\cdot(u^{-1}w)^2 ;\;
w^3=(u^3)\cdot(u^{-1}w)^3$.  Puisque le support de l'éventail
déterminé par $\sigma_a,\sigma_b,\sigma_c$ est $\sigma$, le morphisme
$\varphi$ est (birationnel) propre.

Montrons que $\varphi$ est un isomorphisme en-dehors du seul point
singulier $O$ de $\mathscr{U}$ ($O$ est défini par l'idéal engendré
par $u^3,u^2v,uv^2,v^3,u^2w,uvw,v^2w,\penalty0 uw^2,vw^2,w^3$).
Pour cela, il suffit de voir que
$\varphi$ est un isomorphisme au-dessus de chacun des ouverts $u^3\neq
0$, $v^3\neq 0$ et $w^3\neq 0$ de $\mathscr{U}$.  Dans
$\mathscr{U}_a$, l'image réciproque par $\varphi$ de l'ouvert $v^3\neq
0$ s'écrit $u^{-1}v\neq 0$ et $v^3\neq 0$ puisque
$v^3=(u^3)\cdot(u^{-1}v)^3$, donc cette image réciproque est
contenue dans celle de l'ouvert $u^3\neq 0$, et il en va
de même de l'image réciproque de $w^3\neq 0$ ; or si $u^3$ est
inversible, on peut exprimer $u^{-1}v = (u^3)^{-1}\cdot (u^2v)$ et
$u^{-1}w = (u^3)^{-1}\cdot (u^2w)$ ce qui détermine un morphisme,
réciproque à $\varphi$, de l'ouvert $u^3\neq 0$ de $\mathscr{U}$, vers
$\mathscr{U}_a$.  De même, dans $\mathscr{U}_b$ on voit que si l'un
quelconque de $u^3,v^3,w^3$ est inversible, alors $v^3$ est
inversible et les trois coordonnées $uv^{-1},v^3,v^{-1}w$
peuvent s'exprimer en utilisant l'inverse de $v^3$.  Et de même dans
$\mathscr{U}_c$.  Ceci montre que $\varphi$ est un isomorphisme
au-dessus du complémentaire de $O\in \mathscr{U}$.

Pour mieux comprendre le morphisme $\varphi$, étudions à présent sa
fibre $\mathscr{H}$ au-dessus de $O$.  Celle-ci est déterminée par les
équations suivantes :
\begin{itemize}
\item Dans $\mathscr{U}_a$, par $u^3=0$.
\item Dans $\mathscr{U}_b$, par $v^3=0$.
\item Dans $\mathscr{U}_c$, par $w^3=0$.
\end{itemize}
Il est alors clair que $\mathscr{H}$ est isomorphe au $\mathbb{P}^2_k$
de coordonnées homogènes $(U_H:V_H:W_H)$ en posant $u^{-1}w=U_H^{-1}
W_H$ et $u^{-1} v=U_H^{-1} V_H$ dans $\mathscr{U}_a$, $uv^{-1}=U_H
V_H^{-1}$ et $v^{-1}w=V_H^{-1} W_H$ dans $\mathscr{U}_b$ et enfin
$uw^{-1}=U_H W_H^{-1}$ et $vw^{-1}=V_H W_H^{-1}$ dans $\mathscr{U}_c$.

En écrivant l'expression de $w^3$ dans chacun des ouverts
$\mathscr{U}_a,\mathscr{U}_b,\mathscr{U}_c$ de $\mathscr{U}$, on voit
que l'image réciproque par $\varphi$ du fermé $w^3=0$ de $\mathscr{U}$
est réunion de deux composantes irréductibles : $\mathscr{H}$ et
$\mathscr{W}_\sharp$, avec pour multiplicités respectives $1$ et $3$,
où $\mathscr{H} = \varphi^{-1}(O)$ a été décrite ci-dessus, et où
$\mathscr{W}_\sharp$ est définie par l'équation $u^{-1}w=0$ dans
$\mathscr{U}_a$ et $v^{-1}w=0$ dans $\mathscr{U}_b$ (et elle ne
rencontre pas $\mathscr{U}_c$).  L'intersection de $\mathscr{H}$ et
$\mathscr{W}_\sharp$ est le $\mathbb{P}^1_k$ de coordonnées $(U_H:V_H)$
défini par $W_H=0$ dans $\mathscr{H}$.

\section{Étude au voisinage de $\Omega$}
\label{StudyAroundOmega}

Plaçons-nous dans l'ouvert $\mathscr{X}_{\tilde U\neq 0}$ de
$\mathscr{X}$ défini par $\tilde U\neq 0$ : appelons $x_{\tilde U\neq
0}, y_{\tilde U\neq 0}, z_{\tilde U\neq 0}, v_{\tilde U\neq 0}$ les
coordonnées respectivement $X/\tilde U, Y/\tilde U, Z/\tilde U, \tilde
V/\tilde U$ sur cet ouvert, qui vérifient $x_{\tilde U\neq 0}^3 +
y_{\tilde U\neq 0}^3 + \nu z_{\tilde U\neq 0}^3 + 1 + \nu v_{\tilde
U\neq 0}^3 = 0$.  Enfin, considérons le morphisme $\omega\colon
\mathscr{X}_{\tilde U\neq 0} \to \mathbb{A}^4_k$ défini par
$(x_{\tilde U\neq 0}, y_{\tilde U\neq 0}, z_{\tilde U\neq 0},
v_{\tilde U\neq 0}, h) \mapsto (x_{\tilde U\neq 0}, y_{\tilde U\neq
0}, z_{\tilde U\neq 0}, h)$.  De même que précédemment, le morphisme
$\omega$ est étale lorsque $\tilde V\neq 0$, il passe au quotient par
$\bimu_3$ lorsque $\bimu_3$ agit sur $\mathbb{A}^4_k$ par
$(x,y,z,\tau)\mapsto (\zeta^2 x, \zeta^2 y, \zeta^2 z, \zeta\tau)$, et
le morphisme $\breve\omega \colon \mathscr{X}_{\tilde U\neq 0}/\bimu_3
\to \mathbb{A}^4_k/\bimu_3$ est encore étale pour $\tilde V\neq 0$.

La variété $\mathscr{V} = \mathbb{A}^4_k/\bimu_3$ a exactement un
point singulier $O$, correspondant au seul point fixe de l'action de
$\bimu_3$ sur $\mathbb{A}^4_k$, à savoir $(0,0,0,0)$.  L'image
réciproque de $O$ par $\omega$ est $\Omega$.  On va décrire une flèche
$\phi\colon \mathscr{V}_\flat\to\mathscr{V}$ de désingularisation
($\phi$ morphisme propre birationnel et $\mathscr{V}_\flat$ régulier)
qui sera un isomorphisme partout sauf au-dessus de ce point, et on
appellera $\mathscr{Y}_{\tilde U\neq 0}$ le produit fibré de
$\mathscr{X}_{\tilde U\neq 0}/\bimu_3$ avec $\mathscr{V}_\flat$
au-dessus de $\mathscr{V} = \mathbb{A}^4_k/\bimu_3$ (par les
morphismes $\breve\omega$ et $\phi$).

$$
\xymatrix{
\mathscr{Y}_{\tilde U\neq 0}\ar[rr]\ar[dd]&&\mathscr{V}_\flat\ar[dd]^{\phi}\cr
&\square&\cr
\mathscr{X}_{\tilde U\neq 0}/\bimu_3\ar[r]^{\breve\omega}&
\mathbb{A}^4_k/\bimu_3\ar@{=}[r]&\mathscr{V}\cr
}
$$

On passe à la description « torique » : $\mathbb{G}^4_{\mathrm{m},k}$
est le spectre de l'algèbre du réseau $\mathbb{Z}^4$.  Le quotient par
l'action (évidente) de $\bimu_3$ est le spectre de l'algèbre des
monômes fixes, c'est-à-dire l'algèbre du réseau $S^* =
\{(a,b,c,d)\in\mathbb{Z}^4 : 3\hbox{ divise }(2a+2b+2c+d)\}$ (a pour
base : $(1,0,0,1)$, $(0,1,0,1)$, $(0,0,1,1)$, $(0,0,0,3)$).  Le réseau
dual est $S_* = \mathbb{Z}^4 + \mathbb{Z} \cdot
(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$ (a pour base :
$(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$, $(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3},
-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$).  Le quotient de $\mathbb{A}^4_k$ par
l'action de $\bimu_3$ est défini par le cône $\sigma =
\{(\alpha,\beta,\gamma,\delta) : \alpha,\beta,\gamma,\delta\geq 0\}$
(engendré en tant que cône réel par $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$,
$(0,0,1,0)$ et $(0,0,0,1)$).  On voit que ce quotient n'est pas lisse,
car $\sigma \cap S_*$ contient six éléments minimaux, $(1,0,0,0)$,
$(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$, $(0,0,0,1)$,
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ et
$(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$, donc n'est pas
libre en tant que monoïde commutatif.  En revanche, on peut
désingulariser en remplaçant $\sigma$ par un éventail des sept cônes
dont la réunion est $\sigma$ et qui chacun sont engendrés par leurs
éléments minimaux, à savoir :
\begin{itemize}
\item $\sigma_0$ engendré par $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ et
$(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$.
\item $\sigma'_x$ engendré par
$(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$, $(0,1,0,0)$,
$(0,0,1,0)$ et $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.
\item $\sigma_x$ engendré par
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})$, $(0,1,0,0)$,
$(0,0,1,0)$ et $(0,0,0,1)$.
\item $\sigma'_y$ engendré par $(1,0,0,0)$,
$(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$,
$(0,0,1,0)$ et $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.
\item $\sigma_y$ engendré par $(1,0,0,0)$
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})$, $(0,0,1,0)$ et
$(0,0,0,1)$.
\item $\sigma'_z$ engendré par $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$,
$(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$ et
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})$.
\item $\sigma_z$ engendré par $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$,
$(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ et $(0,0,0,1)$.
\end{itemize}
On appellera $\mathscr{V}_0,\mathscr{V}'_x,\mathscr{V}_x,
\mathscr{V}'_y,\mathscr{V}_y,\mathscr{V}'_z,\mathscr{V}_z$ les
variétés toriques affines lisses correspondant à ces cônes (par
exemple, $\mathscr{V}_0 = \Spec k[\chi^r : r\in S^*\cap
(\sigma_0)^\vee]$), et $\mathscr{V}_\flat$ leur recollement selon les
variétés toriques affines définies par les intersections de ces cônes.
On rappelle que $\mathscr{V} = \mathbb{A}^4_k/\bimu_3$ est la variété
torique affine correspondant au cône $\sigma$, soit $\mathscr{V} =
\Spec k[\chi^r : r\in S^*\cap \sigma^\vee]$.

Si $(a,b,c,d) \in S^*$ (quatre entiers tels que $3$ divise
$2a+2b+2c+d$, donc) alors on notera $x^a y^b z^c \tau^d$ l'élément de
$k[\chi^r : r\in S^*]$ égal à $\chi^{(a,b,c,d)}$.  Ainsi, on peut écrire
$\mathscr{V} = \Spec k[x^3,x^2y,xy^2,y^3,x^2z,xyz,y^2z,
xz^2,yz^2,z^3,x\tau,y\tau,z\tau,\penalty0
\tau^3]$ et le morphisme $\mathbb{A}^4_k \to \mathbb{A}^4_k/\bimu_3 =
\mathscr{V}$ est donné par l'inclusion évidente d'anneaux si on écrit
$\mathbb{A}^4_k = \Spec k[x,y,z,\tau]$.  Avec ces notations (et
quelques abus évidents), on peut écrire
\begin{itemize}
\item $\mathscr{V}_0 = \Spec k[\chi^r : r\in S^*\cap(\sigma_0)^\vee] =
\Spec k[x\tau^{-2},y\tau^{-2},z\tau^{-2},\tau^3]$
\item $\mathscr{V}'_x = \Spec k[\chi^r : r\in S^*\cap(\sigma'_x)^\vee] =
\Spec k[x^2\tau^{-1},x^{-1}y,x^{-1}z,x^{-1}\tau^2]$
\item $\mathscr{V}_x = \Spec k[\chi^r : r\in S^*\cap(\sigma_x)^\vee] =
\Spec k[x^3,x^{-1}y,x^{-1}z,x^{-2}\tau]$
\item $\mathscr{V}'_y = \Spec k[\chi^r : r\in S^*\cap(\sigma'_y)^\vee] =
\Spec k[xy^{-1},y^2\tau^{-1},y^{-1}z,y^{-1}\tau^2]$
\item $\mathscr{V}_y = \Spec k[\chi^r : r\in S^*\cap(\sigma_y)^\vee] =
\Spec k[xy^{-1},y^3,y^{-1}z,y^{-2}\tau]$
\item $\mathscr{V}'_z = \Spec k[\chi^r : r\in S^*\cap(\sigma'_z)^\vee] =
\Spec k[xz^{-1},yz^{-1},z^2\tau^{-1},z^{-1}\tau^2]$
\item $\mathscr{V}_z = \Spec k[\chi^r : r\in S^*\cap(\sigma_z)^\vee] =
\Spec k[xz^{-1},yz^{-1},z^3,z^{-2}\tau]$
\end{itemize}
(rappelons que toutes ces variétés sont, non canoniquement,
$k$-isomorphes à $\mathbb{A}^4_k$).

On appelle $\phi\colon\mathscr{V}_\flat\to\mathscr{V}$ le morphisme
obtenu par recollement des morphismes $\mathscr{V}_0\to\mathscr{V}$ et
semblables correspondant aux inclusions de cônes.  Par exemple
$\mathscr{V}_0\to\mathscr{V}$ est donné par les équations
$x^3 = (x\tau^{-2})^3\cdot(\tau^3)^2 ;\;
x^2y = (x\tau^{-2})^2\cdot(y\tau^{-2})\cdot(\tau^3)^2 ;\;
xy^2 = (x\tau^{-2})\cdot(y\tau^{-2})^2\cdot(\tau^3)^2 ;\;
y^3 = (y\tau^{-2})^3\cdot(\tau^3)^2 ;\;
x^2z = (x\tau^{-2})^2\cdot(z\tau^{-2})\cdot(\tau^3)^2 ;\;
xyz = (x\tau^{-2})\cdot(y\tau^{-2})\cdot(z\tau^{-2})\cdot(\tau^3)^2 ;\;
y^2z = (y\tau^{-2})^2\cdot(z\tau^{-2})\cdot(\tau^3)^2 ;\;
xz^2 = (x\tau^{-2})\cdot(z\tau^{-2})^2\cdot(\tau^3)^2 ;\;
yz^2 = (y\tau^{-2})\cdot(z\tau^{-2})^2\cdot(\tau^3)^2 ;\;
z^3 = (z\tau^{-2})^3\cdot(\tau^3)^2 ;\;
x\tau = (x\tau^{-2})\cdot(\tau^3) ;\;
y\tau = (y\tau^{-2})\cdot(\tau^3) ;\;
z\tau = (z\tau^{-2})\cdot(\tau^3) ;\;
\tau^3 = (\tau^3)$.
Puisque le support de l'éventail
déterminé par
$\sigma_0,\sigma'_x,\sigma_x,\sigma'_y,\sigma_y,\sigma'_z,\sigma_z$ est
$\sigma$, le morphisme $\varphi$ est (birationnel) propre.

De même que précédemment, $\phi$ est un isomorphisme en-dehors du seul
point singulier $O$ de $\mathscr{V}$.

Pour mieux comprendre le morphisme $\phi$, étudions à présent sa
fibre $\mathscr{K}$ au-dessus de $O$.  Celle-ci est déterminée par les
équations suivantes :
\begin{itemize}
\item Dans $\mathscr{V}_0$, par $\tau^3=0$.
\item Dans $\mathscr{V}'_x$, par $(x^{-1}\tau^2)\cdot(x^2 \tau^{-1})=0$.
\item Dans $\mathscr{V}_x$, par $x^3=0$.
\item Dans $\mathscr{V}'_y$, par $(y^{-1}\tau^2)\cdot(y^2 \tau^{-1})=0$.
\item Dans $\mathscr{V}_y$, par $y^3=0$.
\item Dans $\mathscr{V}'_z$, par $(z^{-1}\tau^2)\cdot(z^2 \tau^{-1})=0$.
\item Dans $\mathscr{V}_z$, par $z^3=0$.
\end{itemize}
Il est alors aisé de voir que $\mathscr{K}$ a exactement deux
composantes irréductibles, que nous noterons $\mathscr{K}_3$ et
$\mathscr{K}_\ell$ : précisément,
\begin{itemize}
\item $\mathscr{K}_3$ ne rencontre pas $\mathscr{V}_x$ ni
  $\mathscr{V}_y$ ni $\mathscr{V}_z$ et a pour équation $\tau^3=0$
  dans $\mathscr{V}_0$, $x^2\tau^{-1}=0$ dans $\mathscr{V}'_x$,
  $y^2\tau^{-1}=0$ dans $\mathscr{V}'_y$ et $z^2\tau^{-1}=0$ dans
  $\mathscr{V}'_z$.
\item $\mathscr{K}_\ell$ ne rencontre pas $\mathscr{V}_0$ et a pour
  équation $x^{-1}\tau^2=0$ dans $\mathscr{V}'_x$, $x^3=0$ dans
  $\mathscr{V}_x$, $y^{-1}\tau^2=0$ dans $\mathscr{V}'_y$, $y^3=0$
  dans $\mathscr{V}_y$, $z^{-1}\tau^2=0$ dans $\mathscr{V}'_z$ et
  $z^3=0$ dans $\mathscr{V}_z$.
\end{itemize}
Alors $\mathscr{K}_3$ est isomorphe à $\mathbb{P}^3_k$ de coordonnées
homogènes $(X_3:Y_3:Z_3:T_3)$ en posant $x\tau^{-2} = X_3 T_3^{-1}$,
$y\tau^{-2} = Y_3 T_3^{-1}$ et $z\tau^{-2} = Z_3 T_3^{-1}$ dans
$\mathscr{V}_0$, $x^{-1}y = X_3^{-1} Y_3$, $x^{-1}z = X_3^{-1} Z_3$ et
$x^{-1}\tau^2 = X_3^{-1} T_3$ dans $\mathscr{V}'_x$, $xy^{-1} = X_3
Y_3^{-1}$, $y^{-1}z = Y_3^{-1} Z_3$ et $y^{-1}\tau^2 = Y_3^{-1} T_3$
dans $\mathscr{V}'_y$, et enfin $xz^{-1} = X_3 Z_3^{-1}$, $yz^{-1} =
Y_3 Z_3^{-1}$ et $z^{-1}\tau^2 = Z_3^{-1} T_3$ dans $\mathscr{V}'_z$.
Quant à $\mathscr{K}_\ell$, il possède un morphisme $\mathscr{K}_\ell
\to \mathbb{P}^2_k$ vers le $\mathbb{P}^2_k$ de coordonnées homogènes
$(X_\ell:Y_\ell:Z_\ell)$, défini en envoyant un point
$(x^2\tau^{-1},x^{-1}y,x^{-1}z,x^{-1}\tau^2)$ de $\mathscr{V}'_x$ ou
bien $(x^3,x^{-1}y,x^{-1}z,x^{-2}\tau)$ de $\mathscr{V}_x$ vers
$(1:x^{-1}y:x^{-1}z)\in\mathbb{P}^2_k$, et de même dans
$\mathscr{V}'_y$ et $\mathscr{V}_y$ (envoyer vers
$(xy^{-1}:1:y^{-1}z)$) et dans $\mathscr{V}'_z$ et $\mathscr{V}_z$
(envoyer vers $(xz^{-1}:yz^{-1}:1)$) ; la fibre de ce morphisme
$\mathscr{K}_\ell \to \mathbb{P}^2_k$ est un $\mathbb{P}^1$, donc
$\mathscr{K}_\ell$ est un fibré en $\mathbb{P}^1$ sur
$\mathbb{P}^2_k$.  L'intersection de $\mathscr{K}_3$ et
$\mathscr{K}_\ell$ est un $\mathbb{P}^2_k$, défini dans $\mathscr{K}_3$
par $T_3=0$ et section du morphisme
$\mathscr{K}_\ell\to\mathbb{P}^2_k$.

En écrivant l'expression de $\tau^3$ dans chacun des ouverts
$\mathscr{V}_0, \mathscr{V}'_x,\mathscr{V}_x,
\mathscr{V}'_y,\mathscr{V}_y, \penalty0 \mathscr{V}'_z,\mathscr{V}_z$,
on voit que l'image réciproque par $\phi$ du fermé $\tau^3=0$ de
$\mathscr{V}$ est réunion de trois composantes irréductibles :
$\mathscr{K}_3$ avec multiplicité $1$, $\mathscr{K}_\ell$ avec
multiplicité $2$, et une troisième composante $\mathscr{W}_\flat$ avec
multiplicité $3$, cette composante $\mathscr{W}_\flat$ étant définie
par l'équation $x^{-2}\tau=0$ dans $\mathscr{V}_x$, $y^{-2}\tau=0$
dans $\mathscr{V}_y$ et $z^{-2}\tau=0$ dans $\mathscr{V}_z$.
L'intersection de $\mathscr{K}_3$ avec $\mathscr{W}_\flat$ est vide,
tandis que celle de $\mathscr{K}_\ell$ avec $\mathscr{W}_\flat$ est un
$\mathbb{P}^2_k$ section du morphisme $\mathscr{K}_\ell \to
\mathbb{P}^2_k$, distincte de, et ne rencontrant pas, la section
définie par l'intersection avec $\mathscr{K}_3$.

\section{Recollement}
\label{Gluing}

À ce stade-là, nous avons défini des désingularisations de différents
ouverts de $\mathscr{X}/\bimu_3$ : à savoir, $\mathscr{Y}_{X\neq 0}$,
(et $\mathscr{Y}_{Y\neq 0}$ et $\mathscr{Y}_{Z\neq 0}$ définis de
façon exactement analogue) ainsi que $\mathscr{Y}_{\tilde U\neq 0}$
(on pourrait aussi définir $\mathscr{Y}_{\tilde V\neq 0}$, mais cela
ne présente pas d'intérêt vu que le seul point singulier de
$\mathscr{X}/\bimu_3$ vérifiant $\tilde V\neq 0$, à savoir $\Omega$,
vérifie aussi $\tilde U\neq 0$).  Il va s'agir d'expliquer pourquoi
ces différents morceaux se recollent en un unique $\Phi\colon
\mathscr{Y} \to \mathscr{X}/\bimu_3$ (cette flèche étant alors propre
et birationnelle, comme chacune des flèches qu'on a recollées).  Mais
dans l'immédiat, admettons ce point et expliquons pourquoi
$\mathscr{Y}$ est bien régulier.  On a vu précédemment que la flèche
$\breve\psi_{X\neq 0}\colon \mathscr{X}_{X\neq 0}/\bimu_3 \to
\mathbb{A}^3_k/\bimu_3=\mathscr{U}$ était lisse sur la réunion des
ouverts $Y\neq 0$ et $Z\neq 0$ ; en tirant par $\varphi\colon
\mathscr{U}_\sharp \to \mathscr{U}$, on en déduit que
$\mathscr{Y}_{X\neq 0}\to \mathscr{U}_\sharp$ est lisse sur cette même
réunion, donc que $\mathscr{Y}_{X\neq 0}$ l'est.  Après recollement,
on voit que $\mathscr{Y}$ est lisse au moins sur la réunion des
intersections deux à deux des ouverts $X\neq 0$, $Y\neq 0$ et $Z\neq
0$ ; or comme cette réunion contient (l'image réciproque de) la courbe
$C$ (rappelons qu'elle est définie par $X^3+Y^3+\nu Z^3=0$ avec
$\tilde U=\tilde V=0$ et $h=0$), $\mathscr{Y}$ est lisse au moins
au-dessus de $C$.  De même, grâce à $\mathscr{Y}_{\tilde U\neq 0}$, on
peut dire que $\mathscr{Y}$ est lisse au-dessus de $\Omega$.  Comme
$C$ et $\Omega$ sont les seuls lieux singuliers de
$\mathscr{X}/\bimu_3$ et qu'ailleurs $\mathscr{Y}\to
\mathscr{X}/\bimu_3$ est un isomorphisme, on a bien la lissité de
$\mathscr{Y}$ partout.

Pour recoller les différents $\mathscr{Y}_\bullet$, le plus simple est
encore d'introduire des coordonnées.  Commençons par
$\mathscr{Y}_{X\neq 0}$, $\mathscr{Y}_{Y\neq 0}$ et
$\mathscr{Y}_{Z\neq 0}$.  D'après la description qu'on a faite de
$\mathscr{Y}_{X\neq 0}$, il est réunion de trois ouverts,
$\mathscr{Y}_{X\neq 0,a}, \mathscr{Y}_{X\neq 0,b}, \mathscr{Y}_{X\neq
0,c}$, décrits respectivement comme
$$
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\mathscr{Y}_{X\neq 0,a}
= \Spec k[y_{X\neq 0}, z_{X\neq 0},
(u^3)_{X\neq 0}, (u^{-1}v)_{X\neq 0}, (u^{-1}w)_{X\neq 0}]\\
/ (1 + y_{X\neq 0}^3 + \nu z_{X\neq 0}^3
+ (u^3)_{X\neq 0} + \nu (u^3)_{X\neq 0}\, (u^{-1}v)_{X\neq 0}^3)\\
\end{array}\\
\begin{array}{c}
\mathscr{Y}_{X\neq 0,b}
= \Spec k[y_{X\neq 0}, z_{X\neq 0},
(uv^{-1})_{X\neq 0}, (v^3)_{X\neq 0}, (v^{-1}w)_{X\neq 0}]\\
/ (1 + y_{X\neq 0}^3 + \nu z_{X\neq 0}^3
+ (uv^{-1})_{X\neq 0}^3\, (v^3)_{X\neq 0} + \nu (v^3)_{X\neq 0})\\
\end{array}\\
\begin{array}{c}
\mathscr{Y}_{X\neq 0,c}
= \Spec k[y_{X\neq 0}, z_{X\neq 0},
(uw^{-1})_{X\neq 0}, (vw^{-1})_{X\neq 0}, (w^3)_{X\neq 0}]\\
/ (1 + y_{X\neq 0}^3 + \nu z_{X\neq 0}^3
+ (uw^{-1})_{X\neq 0}^3\, (w^3)_{X\neq 0}
+ \nu (vw^{-1})_{X\neq 0}^3)\, (w^3)_{X\neq 0}\\
\end{array}\\
\end{array}
$$
et on a une description semblable de $\mathscr{Y}_{Y\neq 0}$ et
$\mathscr{Y}_{Z\neq 0}$ comme réunion de trois ouverts.  Ces
descriptions sont fastidieuses à écrire, mais suggèrent immédiatement
les formules de recollement : par exemple, sur l'intersection de
$\mathscr{Y}_{X\neq 0, a}$ et $\mathscr{Y}_{Y\neq 0, a}$, qui peut
également se décrire comme l'ouvert $y_{X\neq 0}\neq 0$ de
$\mathscr{Y}_{X\neq 0, a}$, on a (en utilisant simplement les formules
semblables pour la transition entre les ouverts $X\neq 0$ et $Y\neq 0$
de $\mathscr{X}$)
$$
\begin{array}{c}
x_{Y\neq 0} = y_{X\neq 0}^{-1}\\
z_{Y\neq 0} = y_{X\neq 0}^{-1}\, z_{X\neq 0}\\
(u^3)_{Y\neq 0} = y_{X\neq 0}^{-3}\, (u^3)_{X\neq 0}\\
(u^{-1}v)_{Y\neq 0} = (u^{-1}v)_{X\neq 0}\\
(u^{-1}w)_{Y\neq 0} = y_{X\neq 0}\, (u^{-1}w)_{X\neq 0}\\
\end{array}
$$
et, pour prendre un autre exemple, sur l'intersection de
$\mathscr{Y}_{X\neq 0, a}$ et $\mathscr{Y}_{Z\neq 0, c}$, où $z_{X\neq
0}$ et $(u^{-1}w)_{X\neq 0}$ sont inversibles, on a (en utilisant de
plus les formules de transition données par la description torique)
$$
\begin{array}{c}
x_{Z\neq 0} = z_{X\neq 0}^{-1}\\
y_{Z\neq 0} = z_{X\neq 0}^{-1}\, y_{X\neq 0}\\
(uw^{-1})_{Z\neq 0} = z_{X\neq 0}^{-1}\, (u^{-1}w)_{X\neq 0}^{-1}\\
(vw^{-1})_{Z\neq 0} = z_{X\neq 0}^{-1}\, (u^{-1}w)_{X\neq 0}^{-1}\,
  (u^{-1}v)_{X\neq 0}\\
(w^3)_{Z\neq 0} = (u^{-1}w)_{X\neq 0}^3\, (u^3)_{X\neq 0}\\
\end{array}
$$
Bref, il n'y a pas de difficulté à recoller $\mathscr{Y}_{X\neq 0}$,
$\mathscr{Y}_{Y\neq 0}$ et $\mathscr{Y}_{Z\neq 0}$ en écrivant chacun
comme la réunion des trois ouverts fournis par la description torique.
Ceci fournit la description de $\mathscr{Y}\to\mathscr{X}/\bimu_3$ au
voisinage de $C$.  (Le lecteur qui ne voudrait pas vérifier la
totalité des calculs peut observer qu'on est simplement en train de
décrire un fibré en $\mathbb{P}^2$ sur $C$, à savoir la fibre de
$\mathscr{Y}$ au-dessus de $C$.)

La description au-dessus de $\Omega$ est plus facile, puisque
$\mathscr{Y}_{\tilde U\neq 0}$ y participe seul.  Comme $\Omega$ ne
rencontre pas $C$ et que nos résolutions sont des isomorphismes partout
ailleurs qu'au-dessus de $\Omega$ et $C$, il n'y a pas de problème à
recoller la résolution au-dessus de $C$ et celle au-dessus de $\Omega$
et compléter pour recouvrir tout $\mathscr{X}/\bimu_3$.

Finalement, on a obtenu une flèche $\Phi\colon \mathscr{Y}\to
\mathscr{X}/\bimu_3$, propre et birationnelle avec $\mathscr{Y}$
lisse.  Ce $\mathscr{Y}$ est le modèle recherché.

Le morphisme $t=h^3\colon \mathscr{Y}\to \mathbb{A}^1_k$ a une fibre
$\mathscr{Y}_0$ ($h^3=0$) formée de quatre composantes irréductibles
(rappelons que $h^3$ vaut $w^3$ dans $\mathscr{U}$ et $\tau^3$ dans
$\mathscr{V}$) :
\begin{itemize}
\item Un fibré en $\mathbb{P}^2$ sur $C$, que nous noterons
$\mathscr{Y}_H$, avec multiplicité $1$.  Cette composante est située
au-dessus de $C$.  Il s'agit de la composante correspondant à
$\mathscr{H}\subseteq\mathscr{U}_\sharp$.
\item Une composante $\mathscr{Y}_1$ qui n'est autre que
$\mathbb{P}^3_\Omega$ (c'est-à-dire le produit fibré de
$\mathbb{P}^2_k$ avec $\Omega = \Spec k[\root 3\of\nu]$ au-dessus de
$\Spec k$), avec multiplicité $1$.  Cette composante est située
au-dessus de $\Omega$.  Il s'agit de la composante correspondant à
$\mathscr{K}_3\subseteq\mathscr{V}_\flat$.
\item Une composante $\mathscr{Y}_\ell$ qui est un fibré en
$\mathbb{P}^1$ sur $\mathbb{P}^2_\Omega$, avec multiplicité $2$.
Cette composante est située au-dessus de $\Omega$.  Il s'agit de la
composante correspondant à
$\mathscr{K}_\ell\subseteq\mathscr{V}_\flat$.
\item Enfin, une composante « horizontale\footnote{Le mot
« horizontal » s'entend ici par rapport à la désingularisation $\Phi$
restreinte à la fibre spéciale, non pas par rapport au morphisme
$t=h^3$ car $\mathscr{Y}_W$ est bien inclus dans la fibre
$\mathscr{Y}_0$ de $t$.} », $\mathscr{Y}_W$ --- qui sera décrite plus
loin ---, avec multiplicité $3$.  Il s'agit de la composante
correspondant à $\mathscr{W}_\sharp$ et $\mathscr{W}_\flat$.
\end{itemize}
$$
\xymatrix{
\mathscr{Y}_H\ar[d]&\mathscr{Y}_W\ar[d]&
\mathscr{Y}_1\ar[dr]&&\mathscr{Y}_\ell\ar[dl]\\
C&\hbox{tout }\mathscr{X}_0/\bimu_3&&\Omega&\\
}
$$
Toutes ces composantes sont lisses (une fois réduites).
L'intersection de $\mathscr{Y}_H$ avec $\mathscr{Y}_W$ est un fibré en
$\mathbb{P}^1$ sur $C$ (on verra en fait qu'il est le fibré trivial
$C\times_{\Spec k} \mathbb{P}^1_k$), celle de $\mathscr{Y}_1$ avec
$\mathscr{Y}_W$ est un $\mathbb{P}^2_\Omega$, ainsi que l'intersection
de $\mathscr{Y}_1$ avec $\mathscr{Y}_\ell$.  Toutes les autres
intersections sont vides.

\section{Description de $\mathscr{Y}_W$}
\label{DescriptionOfYW}

Considérons $C$ plongée dans le $\mathbb{P}^2_k$ de coordonnées
homogènes $(X_\dagger:Y_\dagger:Z_\dagger)$ par l'équation
$X_\dagger^3 + Y_\dagger^3 + \nu Z_\dagger^3 = 0$, et $\Omega$ plongé
dans le $\mathbb{P}^1_k$ de coordonnées homogènes $(U_*:V_*)$ par
l'équation $U_*^3 + \nu V_*^3 = 0$.  On appelle $\mathscr{E}$ l'éclaté
du produit $\mathbb{P}^2_k \times_{\Spec k} \mathbb{P}^1_k$ le long de
$C \times \Omega$ ainsi plongé.  Nous nous proposons de prouver que
$\mathscr{E}$ est isomorphe à $\mathscr{Y}_W$.

Pour voir cela, commençons par décrire précisément $\mathscr{Y}_W$
comme la réunion de neuf ouverts : la première colonne du tableau
suivant donne les noms de ces ouverts, la seconde colonne donne les
coordonnées, et la troisième donne les équations satisfaites par ces
coordonnées (pour des raisons de place, on a omis systématiquement les
indices $X\neq 0$, $Y\neq 0$, $Z\neq 0$ et $\tilde U\neq 0$ à
comprendre sous chacune des coordonnées à l'identique de ce qui est
porté par le nom de l'ouvert) :

\begin{center}
{\footnotesize
\begin{tabular}{c|c|c}
Ouvert&Coordonnées&Équation\\
$\mathscr{Y}_{W,X\neq 0,a}$&$y, z,
(u^3), (u^{-1}v)$&
$1 + y^3 + \nu z^3
+ (u^3) (1 + \nu (u^{-1}v)^3) = 0$\\
$\mathscr{Y}_{W,X\neq 0,b}$&$y, z,
(uv^{-1}), (v^3)$&
$1 + y^3 + \nu z^3
+ (v^3) ((uv^{-1})^3 + \nu) = 0$\\
$\mathscr{Y}_{W,Y\neq 0,a}$&$x, z,
(u^3), (u^{-1}v)$&
$x^3 + 1 + \nu z^3
+ (u^3) (1 + \nu (u^{-1}v)^3) = 0$\\
$\mathscr{Y}_{W,Y\neq 0,b}$&$x, z,
(uv^{-1}), (v^3)$&
$x^3 + 1 + \nu z^3
+ (v^3) ((uv^{-1})^3 + \nu) = 0$\\
$\mathscr{Y}_{W,Z\neq 0,a}$&$x, y,
(u^3), (u^{-1}v)$&
$x^3 + y^3 + \nu
+ (u^3) (1 + \nu (u^{-1}v)^3) = 0$\\
$\mathscr{Y}_{W,Z\neq 0,b}$&$x, y,
(uv^{-1}), (v^3)$&
$x^3 + y^3 + \nu
+ (v^3) ((uv^{-1})^3 + \nu) = 0$\\
$\mathscr{Y}_{W,\tilde U\neq 0,x}$&$(x^3), (x^{-1}y), (x^{-1}z), v$&
$(x^3) (1 + (x^{-1}y)^3 + \nu (x^{-1}z)^3)
+ 1 + \nu v^3 = 0$\\
$\mathscr{Y}_{W,\tilde U\neq 0,y}$&$(xy^{-1}), (y^3), (y^{-1}z), v$&
$(y^3) ((xy^{-1})^3 + 1 + \nu (y^{-1}z)^3)
+ 1 + \nu v^3 = 0$\\
$\mathscr{Y}_{W,\tilde U\neq 0,z}$&$(xz^{-1}), (yz^{-1}), (z^3), v$&
$(z^3) ((xz^{-1})^3 + (yz^{-1}) + \nu)
+ 1 + \nu v^3 = 0$\\
\end{tabular}}
\end{center}

(Insistons sur le fait que les formules de passage de coordonnées d'un
ouvert à un autre ont été données plus haut.  Par exemple, rappelons
que $z_{Y\neq 0} = y_{X\neq 0}^{-1} z_{X\neq 0}$ --- il ne faut pas se
laisser induire en erreur par le fait que les indices $X\neq 0$ et
$Y\neq 0$ ont été supprimés dans le tableau ci-dessus.)

On peut alors décrire des morphismes de chacun de ces ouverts vers
$\mathbb{P}^2_k$ d'une part, et vers $\mathbb{P}^1_k$ de l'autre : la
deuxième et la troisième colonne du tableau suivant donnent les
coordonnées de ces morphismes :

\begin{center}
{\footnotesize
\begin{tabular}{c|c|c}
Ouvert&$(X_\dagger:Y_\dagger:Z_\dagger)$&$(U_*:V_*)$\\
$\mathscr{Y}_{W,X\neq 0,a}$&
$(1:y:z)$&$(1:u^{-1}v)$\\
$\mathscr{Y}_{W,X\neq 0,b}$&
$(1:y:z)$&$(uv^{-1}:1)$\\
$\mathscr{Y}_{W,Y\neq 0,a}$&
$(x:1:z)$&$(1:u^{-1}v)$\\
$\mathscr{Y}_{W,Y\neq 0,b}$&
$(x:1:z)$&$(uv^{-1}:1)$\\
$\mathscr{Y}_{W,Z\neq 0,a}$&
$(x:y:1)$&$(1:u^{-1}v)$\\
$\mathscr{Y}_{W,Z\neq 0,b}$&
$(x:y:1)$&$(uv^{-1}:1)$\\
$\mathscr{Y}_{W,\tilde U\neq 0,x}$&
$(1:x^{-1}y:x^{-1}z)$&$(1:v)$\\
$\mathscr{Y}_{W,\tilde U\neq 0,y}$&
$(xy^{-1}:1:y^{-1}z)$&$(1:v)$\\
$\mathscr{Y}_{W,\tilde U\neq 0,z}$&
$(xz^{-1}:yz^{-1}:1)$&$(1:v)$\\
\end{tabular}}
\end{center}

Il est clair que ces morphismes se recollent bien et définissent donc
une flèche $\Gamma\colon \mathscr{Y}_W \to \mathbb{P}^2_k
\times_{\Spec k} \mathbb{P}^1_k$.  Cette flèche est surjective et de
plus, en-dehors de $C\times\Omega$, c'est un isomorphisme, puisque
dans ces conditions chacune des équations figurant dans la troisième
colonne du premier tableau ci-dessus se résout de façon unique en la
variable restante (respectivement $(u^3)_{X\neq 0},\penalty-100
(v^3)_{X\neq 0},\penalty-500 (u^3)_{Y\neq 0},\penalty-100 (v^3)_{Y\neq
0},\penalty-500 (u^3)_{Z\neq 0},\penalty-100 (v^3)_{Z\neq
0},\penalty-500 (x^3)_{\tilde U\neq 0},\penalty -100 (y^3)_{\tilde
U\neq 0},\penalty -100 (z^3)_{\tilde U\neq 0}$).

Reste enfin à voir que $\Gamma$ se factorise (de façon automatiquement
unique) par l'éclatement $\mathscr{E}\to \mathbb{P}^2_k \times_{\Spec
k} \mathbb{P}^1_k$ et que la flèche $\tilde\Gamma$ ainsi obtenue est
un isomorphisme.  Or cela peut se voir ouvert par ouvert.  Sur
l'ouvert $\mathscr{Y}_{W, X\neq 0, a}$, par exemple, l'équation $1 +
y_{X\neq 0}^3 + \nu z_{X\neq 0}^3 +\penalty-500 (u^3)_{X\neq 0} (1 +
\nu (u^{-1}v)_{X\neq 0}^3) = 0$ définit bien un ouvert de l'éclaté du
lieu d'équations $1 + y_{X\neq 0}^3 + \nu z_{X\neq 0}^3 = 0$ et $1 +
\nu (u^{-1}v)_{X\neq 0}^3$ dans $\mathbb{A}^2_k \times_{\Spec k}
\mathbb{A}^1_k$ (de coordonnées $(y_{X\neq 0},z_{X\neq 0})$ et
$((u^{-1}v)_{X\neq 0})$ respectivement).  On vérifie aisément que tous
ces ouverts recouvrent bien $\mathscr{E}$.

Finalement, on a bien trouvé un isomorphisme $\tilde\Gamma \colon
\mathscr{Y}_W \to \mathscr{E}$.

Au passage, on peut remarquer que, à l'intérieur de $\mathscr{E}$,
l'intersection de $\mathscr{Y}_H$ et $\mathscr{Y}_W$ se voit comme le
lieu d'équation $X_\dagger^3 + Y_\dagger^3 + \nu Z_\dagger^3 = 0$,
c'est donc précisément $C \times_{\Spec k} \mathbb{P}^1_k$ (vu comme
le transformé propre de $C \times \mathbb{P}^1 \subset \mathbb{P}^2_k
\times_{\Spec k} \mathbb{P}^1_k$ dans $\mathscr{E}$).

\section{Considérations sur les groupes de Chow}
\label{ChowGroupsConsiderations}

On appelle $\Chow_d$ le groupe de Chow des $d$-cycles modulo
équivalence rationnelle.  On s'intéresse à la flèche
\[
\Chow_1(\mathscr{Y}_H) \oplus
\Chow_1(\mathscr{Y}_1) \oplus
\Chow_1(\mathscr{Y}_\ell) \oplus
\Chow_1(\mathscr{Y}_W) \to
\Chow_0(\mathscr{Y}_H)
\]
ainsi obtenue : partant d'un $1$-cycle dans une des composantes
irréductibles de la fibre spéciale $\mathscr{Y}_0 = \mathscr{Y}_H +
\mathscr{Y}_1 + 2\mathscr{Y}_\ell + 3\mathscr{Y}_W$ de $\mathscr{Y}$
(pour le morphisme $t=h^3\colon \mathscr{Y}\to \mathbb{A}^1_k$), on le
pousse (cf. \cite{Fulton}, §1.4) en un $1$-cycle sur $\mathscr{Y}$
tout entier, qu'on intersecte (cf. \cite{Fulton}, §2.3 et §2.6) avec
$\mathscr{Y}_H$ pour obtenir un $0$-cycle sur cette dernière.  On
cherche à montrer que l'image de la flèche ci-dessus n'attrape pas
tous les $0$-cycles de degré $0$.  Remarquons que
$\Chow_0(\mathscr{Y}_H) \cong \Pic(C)$ avec le degré habituel
(cf. \cite{Fulton}, théorème 3.3).

Les flèches $\Chow_1(\mathscr{Y}_1) \to \Chow_0(\mathscr{Y}_H)$ et
$\Chow_1(\mathscr{Y}_\ell) \to \Chow_0(\mathscr{Y}_H)$ sont nulles car
$\mathscr{Y}_H$ ne rencontre pas $\mathscr{Y}_1$ ni
$\mathscr{Y}_\ell$.

Pour ce qui est de la flèche $\Chow_1(\mathscr{Y}_H) \to
\Chow_0(\mathscr{Y}_H)$, observons que $\mathscr{Y}_0 = \mathscr{Y}_H
+ \mathscr{Y}_1 + 2\mathscr{Y}_\ell + 3\mathscr{Y}_W \sim 0$, donc
(comme $\mathscr{Y}_0$, la fibre spéciale, est un diviseur principal,
et en utilisant la formule d'auto-intersection, cf. \cite{Fulton},
proposition 2.6(c)) après intersection avec $\mathscr{Y}_H$, l'image
de $\Chow_1(\mathscr{Y}_H) \to \Chow_0(\mathscr{Y}_H)$ tombe dans
$3\Pic(C)$.

D'après \cite{Fulton}, théorème 6.2 ((a) et (c) ainsi que la
remarque 6.2.1 qui suit), la flèche $\Chow_1(\mathscr{Y}_W) \to
\Chow_0(\mathscr{Y}_H)$ peut être décrite comme la flèche
d'intersection dans $\mathscr{Y}_W$ avec $\mathscr{Y}_H\cap
\mathscr{Y}_W$ (qui tombe dans $\Chow_0(\mathscr{Y}_H \cap
\mathscr{Y}_W)$, et poussée ensuite à $\Chow_0(\mathscr{Y}_H)$).

Or, d'après la description vue précédemment (et en utilisant
\cite{Fulton}, proposition 6.7 notamment (e)), $\Chow_1(\mathscr{Y}_W)
\cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \Pic(C\times\Omega)$, les
trois facteurs étant représentés respectivement par : un $\{p\}\times
\mathbb{P}^1_k$ avec $p$ un point $k$-rationnel de $\mathbb{P}^2_k$
non situé sur $C$, un $l\times\{p\}$ avec $p$ un point $k$-rationnel
de $\mathbb{P}^1_k$ (donc différent de $\Omega$) et $l$ une droite
$k$-rationnelle de $\mathbb{P}^2_k$, et enfin $\pi^* D$ avec $D$
diviseur sur $C\times\Omega$ et $\pi$ la projection sur
$C\times\Omega$ depuis le lieu exceptionnel de $\mathscr{E}$.  Pour
chacun de ces trois sortes de $1$-cycle, la flèche correspondante vers
$\Chow_0(\mathscr{Y}_H) \cong \Pic(C)$ se calcule aisément : dans le
premier cas, l'image est nulle, dans le second cas, on obtient la
classe d'une droite (qui est nulle dans $\Pic(C)/3\Pic(C)$ ; dans le
troisième, la flèche définie est la norme $\Pic(C\times\Omega) \to
\Pic(C)$ : expliquons brièvement pourquoi.

Considérons le diagramme suivant :
$$
\xymatrix{
&C\times\Omega\ar[ld]_{i_1}\ar[rd]^{h}&\\
\hbox{exc}\ar[r]^{i'}\ar[d]_{\pi}\ar@{}[dr]|\square&
\mathscr{E}\ar[d]&C\times\mathbb{P}^1\ar[l]_{\tilde\imath_0}\ar@{=}[d]\\
C\times\Omega\ar[r]^{i}&
\mathbb{P}^2\times\mathbb{P}^1&
C\times\mathbb{P}^1\ar[l]_{i_0}\ar[d]^q\\
&&C\\
}
$$
(ici, $\hbox{exc}$ désigne le diviseur exceptionnel de $\mathscr{E}$
--- ce dernier étant identifié à $\mathscr{Y}_W$ ---, et
$C\times\mathbb{P}^1$ est $\mathscr{Y}_H\cap \mathscr{Y}_W$, on a déjà
expliqué que c'était le transformé propre de $C \times \mathbb{P}^1
\subset \mathbb{P}^2_k \times_{\Spec k} \mathbb{P}^1_k$ dans
$\mathscr{E}$).  Partant d'un $0$-cycle $D$ sur $C\times\Omega$, on
construit $q_* \tilde\imath_0^* i'_* \pi^* D$ : or, d'après les
références déjà citées (\cite{Fulton}, théorème 6.2), c'est $q_* h_*
i_1^* \pi^* D$.  Mais $i_1\pi = 1_{C\times\Omega}$, donc c'est $q_*
h_* D$, et comme $qh\colon C\times\Omega \to C$ est la projection,
ceci donne bien la flèche de norme attendue.

\section{Non surjectivité de la norme}
\label{NormNonSurjectivity}

Rappelons que $k = \mathbb{C}\Laurent{\nu}$.  Notons $K = k(\root
3\of\nu)$, de sorte que $\Omega = \Spec K$.

On identifie $\Pic^0(C)$ à $C(k)$ (où $C\subset \mathbb{P}^2_k$ est la
courbe définie par $X^3 + Y^3 + \nu Z^3 = 0$) en choisissant $o =
(1:-1:0)$ comme origine.

Considérons la fonction rationnelle $f = (X+\zeta^2 Y) / (X+\zeta Y)$
sur $C$ (on rappelle que $\zeta$ est une racine primitive cubique de
l'unité).  Son diviseur $\divisor(f)$ est un triple puisque $(X+Y)
(X+\zeta Y) (X+\zeta^2 Y) = -\nu Z^3$ (et que deux d'entre $X+Y$,
$X+\zeta Y$ et $X+\zeta^2 Y$ ne s'annulent jamais simultanément sur
$C$).  Plus précisément, $\divisor(f) = 3q - 3q'$ où $q =
(1:-\zeta:0)$ et $q' = (1:-\zeta^2:0)$ sont les deux points de
$3$-torsion de $C(k)$.  Remarquons que $f(o)=1$.

L'équation $\lambda^3 = f$ (dans $\mathbb{P}^1_C$) définit donc un
revêtement non ramifié $C'\to C$ de degré $3$.  Choisissant
arbitrairement une origine $o'$ sur $C'$ au-dessus de $o$, l'isogénie
de courbes elliptiques $C'\to C$ s'inscrit dans une suite exacte
courte $1\to\bimu_3 \to C'\to C\to 1$.  La suite exacte longue
associée donne alors un morphisme de groupes, $C(k)/3C(k) \to
k^\times/k^{\times3}$, associé à $f$.  En déroulant les définitions,
on voit que la flèche $C(k) \to k^\times/k^{\times3}$ est donnée (au
moins en-dehors du support du diviseur de $f$) de façon
« élémentaire » par l'évaluation (ou sa classe dans
$k^\times/k^{\times3}$) de la fonction $f$ au point considéré.  (Dans
ces circonstances, on peut éventuellement voir le fait que cette
flèche est un morphisme d'après la loi de réciprocité de Weil ---
cf. \cite{Silverman}, exercices 2.10 et 2.11 ---, si $p_1+p_2=p_3$ sur
$C$, on a $f(p_3)=f(p_1)\cdot f(p_2)$ dans $k^\times/k^{\times3}$ car
le diviseur $[p_3]-[p_1]-[p_2]+[o]$ est principal, disons
$\divisor(g)$, et $f(\divisor(g)) = g(\divisor(f))$ est un cube.)  En
$q$ et $q'$, la flèche $C(k) \to k^\times/k^{\times3}$ vaut
respectivement la classe de $\nu$ et de $\nu^2$ (cela peut se voir par
exemple par continuité $\nu$-adique de cette flèche, en considérant un
point tel que $(1+\frac{1}{3}\nu^{3N+1} : -\zeta : \nu^N+\cdots)$)
très proche de $q$.

Passons maintenant à $K = k(\root 3\of\nu) = \mathbb{C}\Laurent{\root
3\of\nu}$.  La flèche $C(K)/3C(K) \to K^{\times} / K^{\times3}$
définie comme ci-dessus (avec la même fonction $f$) est nulle.  Pour
s'en convaincre, il suffit de prouver la même chose pour la courbe
($K$-iso\-morphe à $C$) $X^3+Y^3+\hat Z^3 = 0$.  Considérons pour cela
un $K$-point $(X:Y:\hat Z)$ quelconque sur cette courbe, normalisé
pour que la valuation (relative à $\root 3\of\nu$) de deux d'entre
$X,Y,\hat Z$ soit nulle.  Il en va donc de même de la valuation de
deux d'entre $X+Y,X+\zeta Y,X+\zeta^2 Y$ ; comme $(X+Y) (X+\zeta Y)
(X+\zeta^2 Y) = -\hat Z^3$, la valuation du troisième est un triple,
ce qui montre que la valuation de $f$ est bien un triple, ce qu'on
voulait.

La flèche composée $C(K)/3C(K) \to K^{\times} / K^{\times3} \to
k^\times / k^{\times3}$ (où la deuxième flèche provient de la norme
$K^\times \to k^\times$) est donc nulle.  Il en va donc de même de la
composée $C(K)/3C(K) \to C(k)/3C(k) \to k^{\times} / k^{\times3}$ (ces
deux composées sont égales, ce qui se voit facilement si on utilise la
description « élémentaire » des flèches, donnée plus haut ; pour les
points $q$ et $q'$ il n'y a pas de problème).

Or si on considère le point défini par $X=-\zeta$, $Y=1+\nu$ et
$Z=-\root3\of3(1+\frac{1}{3}\nu-\frac{1}{81}\nu^3+O(\nu^4))$, son image
par la flèche $C(k)/3C(k) \to k^{\times} / k^{\times3}$ produite par
$f$ n'est manifestement pas nulle (la valuation de $f$ en ce point
n'est pas un triple) : donc ce point n'est pas dans l'image de la
flèche de norme $C(K)/3C(K) \to C(k)/3C(k)$.

\section{Conclusion}
\label{Conclusion}

Sur le corps $\mathbb{C}\Laurent{\nu,t}$ (ou n'importe quel corps
entre lui et $\mathbb{C}\Laurent{\nu}\Laurent{t}$), les deux points
rationnels de l'hypersurface cubique d'équation
\[
X^3 + Y^3 + \nu Z^3 + t (U^3 + \nu V^3) = 0
\tag{$*$}
\]
donnés par
\[
X=1\;,\;\;Y=-1\;,\;\;Z=0\;,\;\;U=0\;,\;\;V=0
\]
et
\[
X=-\zeta\;,\;\;Y=1+\nu\;,
\;\;Z=-\root3\of3(1+\frac{1}{3}\nu-\frac{1}{81}\nu^3+O(\nu^4))\;,
\;\;U=0\;,\;\;V=0
\]
ne sont pas rationnellement équivalents.  En effet, leur différence
définit un $0$-cycle de degré $0$, qui est un $1$-cycle si on regarde
la dimension absolue sur $\mathscr{Y}\setminus\mathscr{Y}_0$, qu'on
étend en un $1$-cycle $\alpha$ sur $\mathscr{Y}$ tout entier.
L'image $\alpha \cap \mathscr{Y}_H$ de $\alpha$ par la flèche
d'intersection $\Chow_1(\mathscr{Y}) \to \Chow_0(\mathscr{Y}_H)$ est
un $0$-cycle de degré $0$ sur $\mathscr{Y}_H$ donné par la différence
entre les points $(y=-1,z=0,uw^{-1}=0,vw^{-1}=0,w^3=0)$ et
$(y=-\zeta^2(1+\nu),z=-\root3\of3\zeta^2(1+\frac{1}{3}\nu+O(\nu^3)),
uw^{-1}=0,vw^{-1}=0,w^3=0)$.  D'après les parties précédentes, cet
élément $\alpha \cap \mathscr{Y}_H$ n'est pas
dans l'image de la flèche $\Chow_1(\mathscr{Y}_H)
\oplus\penalty0 \Chow_1(\mathscr{Y}_1) \oplus\penalty0
\Chow_1(\mathscr{Y}_\ell) \oplus\penalty0
\Chow_1(\mathscr{Y}_W)\penalty0 \to \Chow_0(\mathscr{Y}_H)$,
ou, si on veut, $\Chow_1(\mathscr{Y}_0) \to \Chow_0(\mathscr{Y}_0)$
(cf. \cite{Fulton}, exemple 1.3.1).  C'est
donc que le cycle $\alpha$ de départ n'était pas dans
l'image de $\Chow_1(\mathscr{Y}_0) \to \Chow_1(\mathscr{Y})$,
i.e., qu'il était non nul (non rationnellement
équivalent à zéro) sur $\mathscr{Y}\setminus\mathscr{Y}_0$
(\cite{Fulton}, proposition 1.8).

\section{Remarques}
\label{Remarks}

Le résultat, présenté ci-dessus sur $\mathbb{C}\Laurent{\nu,t}$, est
également valable sur $\mathbb{C}\Laurent{\nu}\Laurent{t}$ ou sur
$\mathbb{C}(\nu)(\root3\of{1+\nu+\frac{1}{3}\nu^2})(t)$ (corps de
définition des points étudiés dans les deux dernières parties : notons
qu'il s'agit là du corps des fonctions d'une surface) --- ou sur tout
corps intermédiaire entre eux.  Il est à mettre en regard du fait que
sur une hypersurface cubique lisse de dimension au moins $10$ sur un
corps $C_2$, ou sur $\mathbb{Q}_p$, deux points rationnels quelconques
sont R-équivalents et (donc) le groupe des $0$-cycles de degré $0$
est nul.  La non-nullité du groupe de Chow d'une \emph{surface}
cubique $X$ sur $\mathbb{Q}_p$ ou $\mathbb{C}\Laurent{\nu,t}$ peut
s'obtenir en considérant le groupe de Brauer (notamment, si un élément
du groupe de Brauer de $X$ s'évalue différemment en deux points
rationnels, ces points ne peuvent pas être rationnellement
équivalents) ; mais pour $X$ de dimension au moins $3$ sur un corps
$k$, on a $\Br X = \Br k$, ce qui met en échec cette approche ici.

L'espoir initial était d'arriver à un contre-exemple sur $\mathbb{F}_p
\Laurent{t}$, au moins pour $p\gg 0$, ce qui aurait permis de déduire
la même chose sur $\mathbb{Q}_p$ pour $p\gg 0$, ou bien de le
démontrer directement sur $\mathbb{Q}_p$.  Malheureusement, cette idée
échoue car la dernière étape (celle de la non-surjectivité de la
norme) ne peut pas s'appliquer : la flèche de norme est toujours
surjective\footnote{Si $K$ est une extension finie de $k =
\mathbb{F}_p$ et $C$ une courbe elliptique sur $k$, le conoyau de la
flèche de norme $C(K) \to C(k)$ est contenu dans $H^1(k, N)$ avec $N$
la variété abélienne noyau de la norme $\mathfrak{R}_{K/k} C \to C$ ;
or le $H^1$ d'un corps fini à valeurs dans une variété abélienne est
nul.}.

%
%
%
\begin{thebibliography}{foo}
%
\bibitem{Dalawat}
C. S. Dalawat, \textit{Groupe des classes de $0$-cycles sur les
surfaces rationnelles définies sur un corps local}, thèse de
doctorat, Université de Paris-Sud XI (1993).
%
\bibitem{Dalawat2}
C. S. Dalawat, \textit{Le groupe de Chow d'une surface rationnelle
sur un corps local}, disponible sur \verb=www.arxiv.org=
comme \verb=math.AG/0302157= (extrait de \cite{Dalawat}) ; à
paraître dans \textit{Compos. Math.}
%
\bibitem{Fulton}
W. Fulton, \textit{Intersection Theory}, Springer (second edition
1998).
%
\bibitem{FultonToric}
W.~Fulton, \textit{Introduction to Toric Varieties}, Princeton
University Press.
%
\bibitem{Silverman}
J. H.~Silverman, \textit{The Arithmetic of Elliptic Curves}, Springer,
Graduate Texts in Mathematics 106.
%
\end{thebibliography}
%
%
%
\end{document}
