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\begin{document}
\title{Sur la spécialisation de la R-équivalence}
\author{David A. Madore}
\maketitle
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%CVS: \verb=$Id: specialz.tex,v 1.14 2005/04/15 16:55:38 david Exp $=
%\end{center}
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%

\section{Réduction des polynômes}

Soit $A$ un anneau de valuation discrète, dont on note $K$ le corps
des fractions, $\mathfrak{m}$ l'idéal maximal, $\pi$ une
uniformisante, $v$ la valuation ($v(\pi)=1$), et $F=A/\mathfrak{m}$ le
corps résiduel.

On considérera par ailleurs un plan affine réel, dont les coordonnées
seront notées $(e,w)$ : c'est le plan dans lequel « vivent » les
polygones de Newton (cf. \textit{infra}).

Si $a x^{d-i} y^i$ (avec $i\in\mathbb{N}$ et $a\in K^\times $) est un monôme
de degré total $d$ en les variables $x$ et $y$, on appelle \emph{point
associé} à ce monôme le point de coordonnées $(i,v(a))$ dans le plan
affine réel de coordonnées $(e,w)$.  De plus, si $w=w_0+se$ est
l'équation d'une droite (non verticale) du plan en question, on dira
que la \emph{réduction} du monôme $a x^{d-i} y^i$ pour cette droite
est $\bar a x^{d-i} y^i$ où $\bar a$ est la réduction modulo
$\mathfrak{m}$ de $a \pi^{-v(a)}\in A$ si $(i,v(a))$ est sur la
droite, $0$ si $(i,v(a))$ est strictement au-dessus, indéfinie sinon.

Si $f(x,y) = \sum_i a_i x^{d-i} y^i$ est un polynôme homogène de
degré $d$ en les variables $x$ et $y$ et à coefficients dans $K$, on
appelle \emph{polygone de Newton} de ce polynôme l'enveloppe convexe
dans le plan $(e,w)$ des points associés aux monômes (non nuls) de $f$
et du point\footnote{On comprend aisément ce que signifie cet abus de
langage : que le polygone se termine aux deux extrémités par des
demi-droites verticales.} $w=+\infty$.  C'est-à-dire que le polygone
de Newton est l'enveloppe supérieure des droites (non verticales)
situées au-dessous (au sens large) des points associés aux monômes de
$f$.

Si $w=w_0+se$ est une droite (non verticale) située en-dessous (au
sens large) du polygone de Newton de $f$, on peut définir la réduction
de $f$ pour cette droite comme la somme des réductions (précédemment
définies) des monômes de $f$.  Cette réduction est nulle pour toute
droite strictement en-dessous du polygone : les seules droites
intéressantes sont donc celles qui rencontrent le bord du polygone.
Pour une telle droite, la réduction de $f$ est un polynôme homogène de
degré $d$ en les variables $x$ et $y$ et à coefficients dans $F$.
Lorsque la droite $w=w_0+se$ n'est pas (le prolongement d')une arête
du polygone, la réduction est un monôme (dont le degré en $y$ est
précisément donné par l'abscisse du sommet unique que la droite
rencontre).  Lorsque la droite est une arête du polygone de Newton, la
réduction est un polynôme dont le nombre de termes égale le nombre de
points associés à des monômes de $f$ qui se situent sur la droite.

\section{Réduction des morphismes $\mathbb{P}^1\to \mathbb{P}^N$}

Si maintenant $f_0,\ldots,f_N$ sont $N+1$ polynômes homogènes de même
degré $d$ en les variables $x$ et $y$ et à coefficients dans $K$,
premiers entre eux dans leur ensemble, de sorte que $(x:y) \mapsto
(f_0(x,y):\cdots:f_N(x,y))$ peut être vu comme un morphisme $f\colon
\mathbb{P}^1_K\to \mathbb{P}^N_K$ de degré $d$, on définit le polygone
de Newton de $f$ comme l'enveloppe convexe des polygones de Newton des
$f_j$, et, pour toute droite $w=w_0+se$ rencontrant le bord du
polygone de $f$ mais ne le croisant pas, la réduction de $f$ comme le
morphisme $\mathbb{P}^1_F\to \mathbb{P}^N_F$ obtenu par réduction des
$f_j$ pour cette droite.  Ce dernier point mérite une explication :
d'abord, le fait que la droite rencontre sans le traverser le bord du
polygone de $f$ assure que, pour cette droite, la réduction de tous
les $f_j$ est définie et que celle d'au moins l'un d'entre eux est non
nulle ; il est possible que les réductions des $f_j$ ne soient pas
premières entre elles dans leur ensemble (c'est-à-dire que l'on n'a
qu'une application rationnelle $\mathbb{P}^1_F\dasharrow
\mathbb{P}^N_F$), mais on peut toujours éliminer les facteurs communs,
ce qui revient à remarquer que l'application rationnelle, étant
définie en codimension $1$, est définie sur tout $\mathbb{P}^1_F$.

Si la droite $w=w_0+se$ n'est pas une arête du polygone de Newton de
$f$, elle rencontre un unique sommet, disons d'abscisse $i$, et alors
la réduction pour ce point de chacun des $f_j$ est soit nulle soit
réduite à un monôme de degré $i$ en $y$, de sorte que la réduction de
$f$ est (après élimination du facteur commun $x^{d-i} y^i$ à la
réduction de chacun des $f_j$) un morphisme constant.  C'est-à-dire
qu'à chaque \emph{sommet} du polygone il correspond un \emph{point}
rationnel de $\mathbb{P}^N_F$.  Nous appellerons \emph{points-étapes}
les points en question.

Remarquons que le premier point-étape, c'est-à-dire celui
correspondant au sommet de plus petite abscisse (nécessairement $0$),
est précisément la spécialisation de l'image par $f$ du point
$(1:0)\in \mathbb{P}^1_K(K)$.  (Rappelons qu'un $K$-point de
$\mathbb{P}^N_K$ est la même chose, en chassant les dénominateurs,
qu'un $A$-point de $\mathbb{P}^N_A$ dont au moins une coordonnée est
de valuation nulle, et par réduction modulo $\mathfrak{m}$ on en
déduit un $F$-point de $\mathbb{P}^N_F$, que l'on appelle
\emph{spécialisation} du point de départ.)  En effet, le sommet le
plus à gauche du polygone de Newton de $f$ a pour abscisse $0$
(puisque les $f_j$ sont sans facteur commun et notamment sans facteur
$y$ commun) ; pour une droite qui ne rencontre le polygone qu'en ce
point, la réduction de $f$ est donc limitée à celle de ses monômes en
$x^d$, et on trouve bien le point obtenu en faisant $x=1$ et $y=0$
puis en spécialisant.  De même, le dernier point-étape est précisément
la spécialisation de l'image par $f$ du point $(0:1)$.

Si $w=w_0+se$ est une arête du polygone de Newton de $f$, la réduction
de $f$ pour cette droite est un morphisme $\mathbb{P}^1_F\to
\mathbb{P}^N_F$.  L'image de $(1:0)\in \mathbb{P}^1_F(F)$ par ce
morphisme réduction est donnée par les coefficients des monômes de
plus bas degré en $y$ qui ne s'annulent pas par réduction pour
$w=w_0+se$ ; c'est-à-dire les monômes auxquels sont associés
l'extrémité gauche de l'arête.  Ceci montre que l'image de $(1:0)$ par
le morphisme réduction pour $w=w_0+se$ est précisément le point-étape
correspondant à l'extrémité gauche de cette arête.  De même, l'image
de $(0:1)$ par le morphisme réduction est le point-étape correspondant
à l'extrémité droite de l'arête.

En définitive, aux sommets du polygone de Newton de $f$ correspondent
des \emph{points} (rationnels) de $\mathbb{P}^N_F$, appelés
points-étapes, le premier étant la spécialisation de $f(1:0)$ et le
dernier la spécialisation de $f(0:1)$.  Et aux arêtes du polygone
correspondent des morphismes $\mathbb{P}^1_F\to \mathbb{P}^N_F$ qui
relient les deux points-étapes consécutifs correspondant aux
extrémités gauche et droite de l'arête considérée.

Nous dirons que nous avons \emph{spécialisé} le $\mathbb{P}^1$ de
départ, $f$, qui reliait $f(0:1)$ à $f(1:0)$, en une chaîne de
$\mathbb{P}^1$ qui relient la spécialisation de $f(1:0)$ à celle de
$f(0:1)$.

\section{Spécialisation dans une variété projective}

Soient maintenant $h$ un polynôme homogène en les $N+1$ variables
$z_0,\ldots,\penalty0 z_N$ et à coefficients dans $A$.  On suppose que
$h(f_0,\ldots,f_N)$ est identiquement nul, et on se propose de
démontrer que $\bar h(\bar f_0,\ldots,\bar f_N)$ l'est aussi, où $\bar
h$ est obtenu en réduisant modulo $\mathfrak{m}$ les coefficients de
$h$, et où $\bar f_j$ sont les réductions, pour une droite $w=w_0+se$
fixée, des $f_j$.

Une première technique de démonstration permet d'obtenir ce résultat
pour une droite de pente $s$ rationnelle, ce qui suffit manifestement
à conclure de façon générale (car les arêtes du polygone de $f$ sont à
pente rationnelle).  Pour cela, appelons $q$ un naturel non nul tel
que $qs$ soit entier : considérons le corps de rupture $K'$ du
polynôme $X^q-\pi$ sur $K$, c'est-à-dire que $K'$ extrait une racine $q$-ième,
que nous appellerons $\pi^{1/q}$, de $\pi$.  On appelle $A'$ la
fermeture intégrale de $A$ dans $K'$ ; on note encore $v$ la valuation
de $A'$ qui prolonge $v$ sur $A$ (c'est-à-dire que
$v(\pi^{1/q})=\frac{1}{q}$).  Le corps résiduel de $A'$ est le même
que celui de $A$, c'est-à-dire $F$, car l'extension est totalement
ramifiée.  Les objets, notamment les $f_j$ et $h$, à coefficients dans
$K$, peuvent être considérés comme ayant des coefficients dans $K'$,
et évidemment l'égalité $h(f_0,\ldots,f_N)=0$ vaut encore dans $K'$.
Mais la réduction des $f_j$ pour $w=w_0+se$ rencontrant sans croiser
le bord du polygone de $f$ peut s'interpréter comme suit : on
considère le morphisme $\varpi^s\colon \mathbb{P}^1_{K'}\to
\mathbb{P}^1_{K'}$ donné par $(x:y)\mapsto (x:\pi^{-s}y)$ ; alors
$f_j\circ\varpi^s$ s'obtient\footnote{Il y a là un léger abus de
langage, puisque $\varpi^s$ a été défini comme $(x:y)\mapsto
(x:\pi^{-s}y)$ et qu'il s'agit ici plutôt de $(x,y)\mapsto
(x,\pi^{-s}y)$.} en divisant par $\pi^{si}$ le coefficient des monômes
en $x^{d-i} y^i$ dans $f_j$, de sorte que leur valuation passe de $v$
(disons) à $v-si$ ; puis, en divisant encore tous ces coefficients par
$\pi^{w_0}$ et en réduisant modulo $\mathfrak{m}$, on obtient bien la
réduction recherchée.  Puisque $h(f_0,\ldots,f_N)=0$, on a aussi
$h(f_0\circ\varpi^s,\ldots,f_N\circ\varpi^s)=0$, et d'après la
description donnée de la réduction pour $w=w_0+se$, on a bien $\bar
h(\bar f_0,\ldots,\bar f_N)$ comme voulu.

On peut également prouver le résultat comme ceci.  Si $a_1 x^{d-i_1}
y^{i_1}, \ldots,\penalty0 a_r x^{d-i_r} y^{i_r}$ sont $r$ monômes de
degré total $d$ en les variables $x$ et $y$ (avec $a_1,\ldots,a_r\in
K$), et $w=w_0+se$ une droite passant en-dessous (au sens large) des
points associés à ces $r$ monômes, alors la réduction pour $w=rw_0+se$
(noter le changement d'équation !) du produit des monômes est
précisément le produit des réductions pour $w=w_0+se$ des monômes en
question.  En effet, si les tous les points associés aux monômes sont
sur la droite, on a $v(a_k)=w_0+si_k$ pour tout $k$, par définition,
donc $v(a_1\cdots a_r)=rw_0+s(i_1+\cdots+i_r)$, ce qui montre que le
point associé au produit des $r$ monômes est sur la droite
$w=rw_0+se$, et la réduction modulo $\mathfrak{m}$ de $a_1\cdots a_r\,
\pi^{-v(a_1\cdots a_r)}$ est le produit des $a_k\pi^{-v(a_k)}$, ce qui
montre la propriété dans ce cas ; et si l'un des points associés aux
monômes est strictement au-dessus de la droite $w=w_0+se$, disons
$v(a_k)>w_0+si_k$, alors $v(a_1\cdots a_r) > rw_0 +
s(i_1+\cdots+i_r)$, donc la réduction du produit est nulle, ce qui
achève de démontrer cette propriété.  Ce que nous venons de démontrer
prouve (en développant) que, si $h$ est un polynôme homogène de degré
$r$ quelconque en les variables $z_0,\ldots,z_N$ (à coefficients dans
$A$), alors la réduction pour $w=rw_0+se$ de $h(f_0,\ldots,f_N)$ est
précisément $\bar h(\bar f_0,\ldots,\bar f_N)$, avec $\bar h$ obtenu
en réduisant modulo $\mathfrak{m}$ les coefficients de $h$, et $\bar
f_j$ les réductions des $f_j$ pour le point $w=w_0+se$.  Dans le cas
où $h(f_0,\ldots,f_N)=0$ identiquement, sa réduction pour $w=rw_0+se$
est nulle, donc on a $\bar h(\bar f_0,\ldots,\bar f_N)=0$ aussi.

Naturellement, si $h_1,\ldots,h_n$ sont des polynômes homogènes en les
variables $z_0,\ldots,z_N$ tels que $h_\ell(f_0,\ldots,f_N)=0$ pour
tout $\ell$, alors $\bar h_\ell(\bar f_0,\ldots,\bar f_N)\penalty0 =0$
pour tout $\ell$, où, comme auparavant, $\bar h_\ell$ est obtenu en
réduisant les coefficients de $h_\ell$ modulo $\mathfrak{m}$, et où
$\bar f_j$ est la réduction de $f_j$ pour une certaine droite
$w=w_0+se$ fixée.

On a donc montré que si $\mathfrak{X}$ est un sous-schéma de
$\mathbb{P}^N_A$ défini par les équations $h_1=\cdots=h_n=0$ (où les
$h_\ell$ sont des polynômes homogènes en $z_0,\ldots,z_N$ à
coefficients dans $A$), $X$ sa fibre générique définie dans
$\mathbb{P}^N_K$ par $h_1=\cdots=h_n=0$ et $Y$ sa fibre spéciale
définie par $\bar h_1=\cdots=\bar h_n=0$ (où $\bar h_\ell$ est obtenu
en réduisant les coefficients de $h_\ell$ modulo $\mathfrak{m}$), que
$P$ et $Q$ sont deux $K$ points de $X$ pour lesquels il existe
$f\colon \mathbb{P}^1_K\to X$ vérifiant $f(1:0)=P$ et $f(0:1)=Q$,
alors les spécialisations respectives $\tilde P$ et $\tilde Q$ de $P$
et $Q$ sont R-équivalentes, c'est-à-dire qu'il existe une suite
finie $\tilde P=\tilde P_0,\ldots,\tilde P_m=\tilde Q$ de $F$-points
$Y$ et une suite $\tilde f_1,\ldots,\tilde f_m$ de morphismes
$\mathbb{P}^1_F\to Y$ avec $\tilde f_t(1:0)=\tilde P_{t-1}$ et $\tilde
f_t(0:1)=\tilde P_t$.  Finalement, on a montré :

\begin{prop}
Soit $\mathfrak{X}$ un schéma projectif sur $\Spec A$, soit
$X=\mathfrak{X}\times_{\Spec A}\Spec K$ sa fibre générique et
$Y=\mathfrak{X}\times_{\Spec A}\Spec F$ sa fibre spéciale.  Si $P,Q\in
X(K)$, deux $K$-points de la fibre générique, sont R-équivalents
(sur $K$), alors leurs spécialisations respectives, $\tilde P,\tilde
Q\in Y(F)$, sont elles aussi R-équivalentes (sur $F$).  C'est-à-dire
que la flèche de spécialisation $X(K)=\mathfrak{X}(A)\to Y(F)$ induit
une flèche $X(K)/R\to Y(F)/R$.
\end{prop}

\section{Étude d'un exemple}

On considère $A=\mathbb{Z}_p$, de sorte que $K=\mathbb{Q}_p$ et
$F=\mathbb{F}_p$, avec la valuation $v(p)=1$.

On étudiera le morphisme $f\colon \mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}_p} \to
\mathbb{P}^3_{\mathbb{Q}_p}$ donné par $(x:y) \mapsto (x^3 : px^2y :
pxy^2 : p^2y^3)$.  Celui-ci relie le point $f(1:0)=(1:0:0:0)$ au point
$f(0:1) = (0:0:0:p^2) = (0:0:0:1)$.  Il s'agit d'une cubique gauche
dans $\mathbb{P}^3_{\mathbb{Q}_p}$, notamment, $f$ est (au-dessus de
$\mathbb{Q}_p$) un isomorphisme sur son image ; laquelle a pour
équations $pz_0z_2=z_1^2$, $z_0 z_3=z_1 z_2$ et $z_1 z_3 = pz_2^2$.

On peut représenter ainsi le polygone de Newton de $f$ :

$$\epsfbox{specialz.1}$$

On voit notamment qu'il a trois sommets, qui correspondent donc à
trois points-étapes.  Le premier et le dernier sont respectivement la
spécialisation de $f(1:0)$ et celle de $f(0:1)$, autrement dit
$(1:0:0:0)$ et $(0:0:0:1)$.  Le point-étape correspondant au sommet
$(2,1)$ du polygone de Newton est donné par le monôme en $xy^2$, soit
$(0:0:1:0)$.

Les deux arêtes non verticales du polygone déterminent deux morphismes
$\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_p}\to \mathbb{P}^3_{\mathbb{F}_p}$, reliant
les points-étapes successifs.  Le premier est $(x:y)\mapsto
(x^2:0:y^2:0)$ et le second est $(x:y)\mapsto (0:0:x:y)$.  Ils
vérifient bien les équations $z_1^2=0$, $z_0 z_3=z_1 z_2$ et $z_1
z_3=0$, obtenues en réduisant modulo $p$ celles de l'image de $f$ ;
mais on remarquera que ces équations réduites ne définissent pas
l'image des morphismes considérés.

On peut donner une vision plus abstraite de cette spécialisation.  Si
on considère l'application rationnelle $F\colon
\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}_p} \to \mathbb{P}^3_{\mathbb{Z}_p}$ donnée
par $(x:y) \mapsto (x^3 : px^2y : pxy^2 : p^2y^3)$, son ouvert de
définition est le complémentaire du point $p=x=0$ (et, par ailleurs,
quand on la restreint à la fibre spéciale
$\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_p}$ de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}_p}$, elle
est constante de valeur $(1:0:0:0)$ sauf en ce point, $(0:1)$, où elle
n'est pas définie).  Pour résoudre cette indétermination, on considère
un éclatement $\mathfrak{E}$ de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}_p}$ au point
en question, disons par $\lambda x=px'$ où $(\lambda:x')$ sont les
coordonnées introduites sur le diviseur exceptionnel.  L'image
réciproque de la fibre spéciale $p=0$ a deux composantes
irréductibles : le diviseur exceptionnel $p=x=0$, et le diviseur
$\lambda=0$.  Sur ce dernier, l'application $F$ est toujours constante
(de valeur $(1:0:0:0)$) pour $x\neq 0$ ; sur le diviseur exceptionnel,
$F$ est donné pour $\lambda\neq 0$ par $(0:0:x':y)$, ou, ce qui
revient au même, $(0:0:1:\lambda y)$ --- on retrouve donc le morphisme
reliant le point-étape du milieu au point-étape final.  Mais on n'a
pas encore un morphisme défini sur la totalité de $\mathfrak{E}$,
puisqu'il reste le point d'indétermination $\lambda=x=0$.  Un second
éclatement en ce point est nécessaire pour résoudre également cette
indétermination.

\section{Traduction en termes d'éclatements}

(Nous tentons, sans justifier précisément nos affirmations,
d'expliquer, à la suite de l'exemple précédent, comment voir la
résolution des morphismes par des suites d'éclatement, en fonction des
pentes apparaissant dans le polygone de Newton de $f$.)

De façon générale, nous pouvons dire ceci : le fait que $F$ soit non
constante sur la fibre spéciale $p=0$ équivaut à l'existence d'une
arête horizontale (i.e. de pente nulle) au polygone de Newton de $f$ ;
le fait qu'elle ne soit pas définie en $p=x=0$ équivaut à l'existence
d'arêtes de pente positive, et le fait qu'elle ne soit pas définie en
$p=y=0$ équivaut à l'existence d'arêtes de pente négative.  Éclater en
$p=x=0$ fait « apparaître » une éventuelle arête de pente $1$, en ce
sens que l'éclaté de $F$ sera non constant le long du diviseur
exceptionnel si et seulement si il existe une telle arête.  (De même,
éclater en $p=y=0$ fait apparaître une éventuelle arête de pente
$-1$.)  Après un éclatement en $p=x=0$, disons par $\lambda x=px'$, un
nouvel éclatement en $p=x'=0$ révèle l'existence d'une arête de pente
$2$, tandis qu'un éclatement en $\lambda=x=0$ révèle l'existence
d'arêtes de pente $\frac{1}{2}$.  Après un éclatement en $p=x'=0$,
deux nouveaux éclatements révèlent l'existence d'arêtes de pente
$\frac{3}{2}$ et $3$ ; tandis qu'après un éclatement en $\lambda=x=0$,
on pourra révéler l'existence d'arêtes de pente $\frac{1}{3}$ et
$\frac{2}{3}$.

Et ainsi de suite.  C'est-à-dire qu'en éclatant à chaque fois en
$(1:0)$ et en $(0:1)$ les diviseurs issus des éclatements précédents,
on fait apparaître successivement les arêtes du polygone de Newton
ayant toutes les pentes rationnelles possibles, suivant le schéma
suivant, dans lequel chaque nombre a pour numérateur la somme des
numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs des
nombres écrits au-dessus de lui, immédiatement à gauche et
immédiatement à droite :

\vbox{\halign{#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#&#\cr
$-\infty$&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&$\infty$\cr
\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&$0$&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil\cr
\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&$-1$&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&$1$&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil\cr
\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&$-2$&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&$-\frac{1}{2}$&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&$\frac{1}{2}$&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil&$2$&\hfil&\hfil&\hfil&\hfil\cr
\hfil&\hfil&$-3$&\hfil&\hfil&\hfil&$-\frac{3}{2}$&\hfil&\hfil&\hfil&$-\frac{2}{3}$&\hfil&\hfil&\hfil&$-\frac{1}{3}$&\hfil&\hfil&\hfil&$\frac{1}{3}$&\hfil&\hfil&\hfil&$\frac{2}{3}$&\hfil&\hfil&\hfil&$\frac{3}{2}$&\hfil&\hfil&\hfil&$3$&\hfil&\hfil\cr
\hfil&$-4$&\hfil&$-\frac{5}{2}$&\hfil&$-\frac{5}{3}$&\hfil&$-\frac{4}{3}$&\hfil&$-\frac{3}{4}$&\hfil&$-\frac{3}{5}$&\hfil&$-\frac{2}{5}$&\hfil&$-\frac{1}{4}$&\hfil&$\frac{1}{4}$&\hfil&$\frac{2}{5}$&\hfil&$\frac{3}{5}$&\hfil&$\frac{3}{4}$&\hfil&$\frac{4}{3}$&\hfil&$\frac{5}{3}$&\hfil&$\frac{5}{2}$&\hfil&$4$&\hfil\cr
}}

(Cet arbre s'appelle l'\emph{arbre de Stern-Brocot} ; pour plus de
précisions à ce sujet, ainsi qu'au rapport avec les fractions
continuées, cf. R. L. Graham, D. E. Knuth \& O. Patashnik,
\textit{Concrete Mathematics, A Foundation for Computer Science}, 2d
edition, Addison-Wesley 1994, p. 116ss.)

La mesure de complexité, autrement dit le nombre d'éclatements
\emph{successifs} qu'il faut utiliser pour résoudre une pente $s$, est
égale à la somme des entiers intervenant dans la décomposition de $s$
suivant l'algorithme d'Euclide.

%
%
%
\end{document}
