Phases vitreuses, optimisation et grandes déviations - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2005

Glassy phases, optimization and large deviations

Phases vitreuses, optimisation et grandes déviations

Résumé

Combinatorial optimization problems lie at the core of the theory of algorithmic complexity. They are also tightly related to a mean-field formulation of lattice models of spin glasses and structural glasses, known as the Bethe approximation. This thesis relies on this parallel to apply to optimization problems an approach originating from the statistical physics of disordered systems, the cavity method. Given an ensemble of instances of an optimization problem, this method allows one to determine the properties of solutions of typical instances, as well as those of atypical instances whose probabilities are exponentially small (large deviations on the external structure). For a given instance, the cavity method also gives access to the thermodynamics of the different admissible solutions (large deviations on the internal structure). From a physical perspective, many algorithmically hard optimization problems are thus found to display a glassy-like phase. This thesis is composed of three parts intended to present the principles, applications and limitations of the cavity method. The first part recalls, from the point of view of large deviations, the links between statistical physics and combinatorial optimization. The second part treats models defined on random graphs and, for different ensembles of graphs, analyzes the typical and atypical properties of these models. The third part is devoted to large deviations on the "internal disorder", constituted by the solutions and quasi-solutions of a given instance. The emphasis is put on glassy phases, where the set of solutions is broken into an exponentially large number of disjoint clusters (the so-called one-step replica symmetry breaking structure); it is shown how the cavity method yields in such cases a detailed characterization of the geometrical properties of the space of solutions.
Les problèmes d'optimisation combinatoires définis sur graphes aléatoires sont au coeur de la théorie de la complexité algorithmique. Ils sont également étroitement liés à une formulation champ moyen, dite approximation de Bethe, de modèles sur réseau de verres de spins et verres structuraux. Cette thèse s'appuie sur ce parallèle pour appliquer à des problèmes d'optimisation une approche issue de la physique statistique des systèmes désordonnés, la méthode de la cavité. Etant donné un ensemble d'entrées (instances) d'un problème d'optimisation, cette méthode permet de déterminer les propriétés des solutions des instances typiques, ainsi que celles des instances atypiques, dont les probabilités sont exponentiellement petites (grandes déviations sur la structure externe). Pour une instance donnée, la méthode de la cavité donne également accès à la thermodynamique des différentes solutions admissibles (grandes déviations sur la structure interne). D'un point de vue physique, de nombreux problèmes algorithmiquement difficiles se révèlent ainsi posséder une phase de type verre. Cette thèse est composée de trois parties destinées à exposer les principes, applications et limitations de la méthode de la cavité. La première partie rappelle, dans la perspective des grandes déviations, les liens entre physique statistique et optimisation combinatoire. La deuxième partie aborde les modèles définis sur graphes aléatoires et, pour différents ensembles de graphes, analyse les propriétés typiques et atypiques de ces modèles. La troisième partie est consacrée aux grandes déviations sur le "désordre interne", constitué par les solutions et quasi-solutions d'une instance donnée. Une attention particulière est dévolue au traitement des phases vitreuses où l'ensemble des solutions est fragmenté en un nombre exponentiel d'amas disjoints (structure dite à un pas de brisure de symétrie des répliques); il est montré comment la méthode de la cavité fournit dans de tels cas une description fine des propriétés géométriques de l'espace des solutions.
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Dates et versions

tel-00009956 , version 1 (22-08-2005)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00009956 , version 1

Citer

Olivier Rivoire. Phases vitreuses, optimisation et grandes déviations. Analyse de données, Statistiques et Probabilités [physics.data-an]. Université Paris Sud - Paris XI, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00009956⟩
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