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Theses Year : 2005

Statistical physics of random surfaces and bijective combinatorics of planar maps

Physique statistique des surfaces aléatoires et combinatoire bijective des cartes planaires

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1
Jérémie Bouttier

Abstract

Maps are combinatorial objects arising in physics as the natural discretization of random surfaces used in two-dimensional quantum gravity or string theory, as well as in matrix models. After recalling these relations, we establish correspondences between various classes of maps and trees, that are other combinatorial objects with a simple structure. A first mathematical outcome of these constructions are bijective, elementary and rigorous proofs of several results in map enumeration. Moreover, we access to some fine information on the intrinsic geometry of maps, leading to analytical exact results thanks to an unexpected integrability property. Finally we address the question of the existence of a universal continuum limit.
Les cartes sont des objets combinatoires apparaissant en physique comme discrétisation naturelle des surfaces aléatoires employées pour la gravité quantique bidimensionnelle ou la théorie des cordes, ainsi que dans les modèles de matrices. Après rappel de ces relations, nous établissons des correspondances entre diverses classes de cartes et d'arbres, autres objets combinatoires de structure simple. Un premier intérêt mathématique de ces constructions est de donner des preuves bijectives, élémentaires et rigoureuses, de plusieurs résultats d'énumération de cartes. Par ailleurs, nous accédons ainsi à une information fine sur la géométrie intrinsèque des cartes, conduisant à des résultats analytiques exacts grâce à une propriété inattendue d'intégrabilité. Nous abordons enfin la question de l'existence d'une limite continue universelle.
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Dates and versions

tel-00010651 , version 1 (17-10-2005)

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  • HAL Id : tel-00010651 , version 1

Cite

Jérémie Bouttier. Physique statistique des surfaces aléatoires et combinatoire bijective des cartes planaires. Physique mathématique [math-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00010651⟩
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