Quasi modular forms on cocompact modular groups
and restrictions of Hilbert modular forms to modular
curves.
Formes quasi-modulaires sur des groupes modulaires
co-compacts et restrictions des formes modulaires
de Hilbert aux courbes modulaires.
Résumé
We prove a structure theorem for the
graded ring $\widetilde{M}_*(\Gamma)$ of
quasi-modular forms over any discrete and cocompact
group $\Gamma \subset \rm{PSL}(2, \mathbb{R}).$
This ring is not finitely generated. We calculate
the exact number of new generators of weight $k.$
This number is constant and equals $\dim_{\mathbb{C}}
I / (I \cap \widetilde{I}^2),$ where $I$ and
$\widetilde{I}$ are the ideal of modular forms
and the ideal of quasi-modular forms, of positive
weights. So, this number depend only on the group
$\Gamma.$ We construct also finitely generated rings
of positive weights which contain the rings of
quasi-modular forms over modular cocompact groups.
We study also restrictions of Hilbert modular
forms to modular curves : we prove that the space
generated by a sequence of restrictions of
Hilbert modular forms to a modular curve
is a subspace closed under
Rankin-Cohen brakets of the space of modular
forms over the modular curve.
graded ring $\widetilde{M}_*(\Gamma)$ of
quasi-modular forms over any discrete and cocompact
group $\Gamma \subset \rm{PSL}(2, \mathbb{R}).$
This ring is not finitely generated. We calculate
the exact number of new generators of weight $k.$
This number is constant and equals $\dim_{\mathbb{C}}
I / (I \cap \widetilde{I}^2),$ where $I$ and
$\widetilde{I}$ are the ideal of modular forms
and the ideal of quasi-modular forms, of positive
weights. So, this number depend only on the group
$\Gamma.$ We construct also finitely generated rings
of positive weights which contain the rings of
quasi-modular forms over modular cocompact groups.
We study also restrictions of Hilbert modular
forms to modular curves : we prove that the space
generated by a sequence of restrictions of
Hilbert modular forms to a modular curve
is a subspace closed under
Rankin-Cohen brakets of the space of modular
forms over the modular curve.
On démontre un théorème de structure pour l'anneau des
formes quasi-modulaires $\widetilde{M}_*(\Gamma)$ gradué par
le poids, sur n'importe quel groupe discret et co-compact
$\Gamma \subset \rm{PSL}(2, \mathbb{R})$ : cet anneau s'avère
être toujours infiniment engendré. On calcule le nombre
de nouveaux générateurs en chaque poids. Le nombre en
question est fixe et est égal à $\dim_{\mathbb{C}} I
/ (I \cap \widetilde{I}^2)$ où $I$ et $\widetilde{I}$
désignent respectivement l'idéal des formes modulaires
sur $\Gamma$ (respectivement l'idéal des formes quasi-modulaires
sur $\Gamma$) en poids positifs. On construit des
anneaux $\widetilde{R}$ finiment engendrés en poids positif
et contenant les anneaux de formes quasi-modulaires sur
des groupes modulaires co-compacts. On étudie aussi
des restrictions des formes modulaires de Hilbert aux
courbes modulaires : on montre que l'espace engendré par
une suite de restrictions des formes modulaires de Hilbert
sur une courbe modulaire
est un sous-espace fermé par crochets de Rankin-Cohen de
l'espace des formes modulaires sur la courbe.
\vskip 2cm
formes quasi-modulaires $\widetilde{M}_*(\Gamma)$ gradué par
le poids, sur n'importe quel groupe discret et co-compact
$\Gamma \subset \rm{PSL}(2, \mathbb{R})$ : cet anneau s'avère
être toujours infiniment engendré. On calcule le nombre
de nouveaux générateurs en chaque poids. Le nombre en
question est fixe et est égal à $\dim_{\mathbb{C}} I
/ (I \cap \widetilde{I}^2)$ où $I$ et $\widetilde{I}$
désignent respectivement l'idéal des formes modulaires
sur $\Gamma$ (respectivement l'idéal des formes quasi-modulaires
sur $\Gamma$) en poids positifs. On construit des
anneaux $\widetilde{R}$ finiment engendrés en poids positif
et contenant les anneaux de formes quasi-modulaires sur
des groupes modulaires co-compacts. On étudie aussi
des restrictions des formes modulaires de Hilbert aux
courbes modulaires : on montre que l'espace engendré par
une suite de restrictions des formes modulaires de Hilbert
sur une courbe modulaire
est un sous-espace fermé par crochets de Rankin-Cohen de
l'espace des formes modulaires sur la courbe.
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