Minoration de la hauteur normalisée en petite codimension - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2005

Lower bound for the normalized height in small codimension

Minoration de la hauteur normalisée en petite codimension

Résumé

The starting point of this thesis is the study of Lehmer's problem in dimension greater than two. It aims at finding, in the more general context of the multiplicative group $G_m^n$, lower bounds for the height of small dimension subvarieties, or rather small codimension ones.

First we resume some more or less known results about algebraic subgroups and the behavior of algebraic subvarieties under multiplication in $G_m^n$. Afterwards, we give arithmetic and geometric lower bounds for the height of subvarieties of codimension 1 and 2 in $G_m^2$ and $G_m^3$ respectively. Unlike what it can be done in previous works of F. Amoroso et S. David, for subvarieties of codimension different from 1, we do not use, to conclude our proofs, a final descent argument, but a new geometric one. This considerably simplifies the process, and leads to quantitative improvements in the considered cases.

Finally, we study the distribution of small points of a subvariety. For some geometrically irreducible surface $V$ of $G_m^3$, we show that outside a finite number of exceptional translated subtori included in $V$, of which we give an upper bound for the sum of their degrees, all the points have height bounded by below by a quasi optimal quantity $\epsilon(V)>0$, essentially linear in the inverse of the degree of $V$, which is not proved in the general case.
Le point de départ de cette thèse est l'étude du problème de Lehmer en dimension supérieure à deux. Le but ici est de trouver dans le cadre plus général du groupe multiplicatif $G_m^n$, des bornes inférieures pour la hauteur de sous-variétés de petite dimension, ou plutôt de petite codimension.

Dans un premier temps nous regroupons un certain nombre de résultats plus ou moins connus sur les sous-groupes algébriques et le comportement des sous-variétés après multiplication par un entier dans $G_m^n$. Par la suite, nous montrons des minorations de type arithmétique et géométrique pour les sous-variétés de codimension 1 et 2 de $G_m^2$ et $G_m^3$ respectivement. A la différence de ce qui est fait dans les travaux antérieurs de F. Amoroso et S. David, concernant les sous-variétés de codimension différente de 1, nous n'utilisons pas de descente finale pour conclure nos preuves, mais un nouvel argument géométrique. Ceci simplifie grandement la démarche, et apporte de réelles améliorations quantitatives dans ces cas étudiés.

Nous nous intéressons enfin à l'étude des petits points d'une sous-variété. Etant donnée une surface $V$ de $G_m^3$ géométriquement irréductible, nous montrons qu'en dehors d'un nombre fini de translatés de tores exceptionnels inclus dans $V$, dont nous majorons la somme des degrés, tous les points sont de hauteur minorée par une quantité quasi-optimale $\epsilon(V)>0$, essentiellement linéaire en l'inverse du degré de $V$, chose que l'on ne sait pas faire dans le cas général.
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Dates et versions

tel-00011840 , version 1 (08-03-2006)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00011840 , version 1

Citer

Corentin Pontreau. Minoration de la hauteur normalisée en petite codimension. Mathématiques [math]. Université de Caen, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00011840⟩
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