M. Perrin-glorian, Théorie des situations didactiques : naissance, développement, perspectives, ARTIGUE & al. Vingt ans de didactique des mathématiques en France. Grenoble : La Pensée Sauvage, pp.997-147, 1994.

P. , H. Le-goff, J. E. Le, and G. , Sur les opérations, BARBIN, 2000.

S. Do-nascimento and S. , L'animation scientifique : essai d'objectivation de la pratique des associations de culture scientifique et technique françaises, Thèse de doctorat, 1999.

S. Do-nascimento and S. , L'animation scientifique : Des d??marches ??ducatives diff??rentes ?, Aster, vol.35, issue.35, p. 193, pp.39-64, 2002.
DOI : 10.4267/2042/8798

U. , D. Scudder, K. Deloache, and J. , Manipulatives as symbols : a new perspective on the use of concrete objects to teach mathematics, Journal of applied developmental psychology, vol.18, pp.37-54, 1997.

. Marc, Il déplace une boule de la colonne gauche de la petite partie, pour 10) et comme ça (déplace 5 unités puis 1 unité de la grande partie) P4 : Ah, tu m'as dit que ça c'est les milliers

. Marc, Parce que là ça fait 5 et là 10, heu? P4 : Bon écoutez-moi bien. Là, ça fait deux élèves qui me disent ça. Heu? attendez. Vous me dites ce sont les unités, les boules bleues ici. Bon vous c'est tout en noir (Mic et Gaé ont un boulier de commerce) Mais celles qui sont bleues, ils me disent ce sont les unités. / 20 min P4 : Est-ce qu'on aurait besoin? d'en avoir autant ? Si c'était vraiment les unités ? Collectif : Non. Oui. P4 : Combien il en faudrait ? Pour compter. Il en faudrait que 9, hein. On en aurait besoin que de 9. Ale : Ben oui, 3, 4. P4 : Donc ça n'est pas ça. Donc écoutez, je voudrais qu'on revienne. Je voudrais qu'on revienne à ce que m'a dit Mathias tout à l'heure. Mickael, tu n'écoutes rien, tu m'agaces là

. Rég, Il déplace les boules de droite) P4 : Ah ! Il y en a deux chaque fois. Alors, pourquoi il y en a deux ? Mat : Vu qu'on est? Vu qu'on est arrivé à 500, he ben on fait ça. (Il déplace une boule rouge de la deuxième tige, en partant du haut) P4 : 500. C'est intéressant ce qu'il dit. Mat : Dès qu'on est arrivé à 500, donc à la moitié, On est comme ça (Il active 5 boules bleues dans la 3 ème tige en partant du haut) et on fait ça

. Rég, Ah ouais, je crois savoir. Ça c'est les unités simples, je sais pas pourquoi il y en a deux? Mat

. Rég-la-moitié, P4 : C'est la moitié, c'est ? Rég : Ça par exemple, c'est les millièmes. (Il montre la 3ème tige en partant du haut) P4 : Et la moitié, c'est combien ? Rég : Ben heu? Des milliers, c'est 500 P4 : Oui, c'est 500 Ah, voilà une bonne piste. Hein alors. Ici j'aimerais que vous me disiez quelque chose. (Il parle au groupe de Van et San) Bon, non. 22 min P4 : Bon alors, écoutez. Vous savez, ce qu'on va commencer par faire, on va commencer par écrire zéro. D'après vous, où est-ce qu'il est le zéro ? Gaé : Ben, y'en n'a pas. P4 : Bah attendez, zéro c'est? Ça existe ! Mat : Ah oui, ça y est ! P4 : (Il se déplace vers Mat) Essayez de disposer vos boules, pour que ça fasse zéro Mat : Là, j'ai écrit zéro. Marc : Zéro, c'est tout simple. P4 : Bon, on va essayer de compter, hein? Tout le monde a écrit un, alors ? (à Ale :) Déjà, si tu le poses comme ça, on va avoir un problème, non ? Faudrait peut-être l'orienter, non ? Allez, comment vous l'orientez ? Collectif : Comme ça ! Ça c'est un ! P4 : Alors, non à plat, hein. D'accord, on travaille à plat, ça c'est? Il faut se mettre d'accord, hein, Donc écrivez un. (Il circule autour de la table) 23 min P4 : // Ah, je sais pas. Ici? Le un, où il est le un ? (à Éli et Marc) Marc : Là. P4 : Là, non. Quelle est la différence entre zéro et un ? Ici, bon, comment ? (à Mat) Mat : Ben , ben on fait? 500

. Rég, Là c'est les millièmes donc 500. (Il déplace une boule rouge de la 4 ème tige en partant de la gauche) Et là, Et là, et ben on fait les dizaines, elles sont?

. Rég:-non and . Fait, on fait comme ça. Oui voilà, c'est comme ça, Mat : Non? (Problème sur la 2 ème tige, il descend la 2 ème boule rouge) P4 : Attendez, vous mélangez pas là

L. Eu-lieu-dans-la-bibliothèque, les enfants étaient en rond, sur des canapés chacun avec son boulier réalisé aux Domaines. Rappelons que les bouliers possèdent des perles de deux couleurs : les boules rouges sont les quinaires (en haut)

. Ca:-sabine and . Est-ce-que-tu-peux-t-'expliquer-clairement, Pourquoi il y a deux manières et comment il y a deux manières ? Sab : Et bien, je sais pas c'est les garçons qui ont trouvé la, heu la? Ca

. Sab, Moi j'en ai trouvé une, c'est monter deux boules rouges. Ca : Monter deux boules rouges, alors Élise, toi tu as une autre manière d'écrire dix ? El : On monte les cinq boules des dizaines, cinq boules bleues, ça fait? Ca : Cinq dizaines ça fait combien ? Sab : Ça fait 50

. Sam, Ca : Alors, comment tu sais faire Samuel ? Sam : Je monte une bleue Une bleue, comme ça. [Samuel le fait en même temps] Collectif : Ah oui Am : On écoute les autres, elle a dit. Ca : D'accord, on en a trouvé deux de manières, est-ce que vous en avez une autre ou pas ? Collectif : Oui, oui, comme ça ! Sab : Je monte une boule rouge, ça représente cinq, c'est ça ? Ca : Oui. Sab : Et les cinq boules bleues. Ca : D'accord on récapitule, il y a combien de manières ? Am : Une? deux, trois ! Ca : D'accord, la première qu'on m'a dite, c'est celle-là : j'écris dix, Ah je sais comment faire dix d'une autre manièreMontre sur un boulier : deux quinaires dans les unités] Vous êtes d'accord ? Collectif : Oui. Ca : La deuxième c'était Samuel. J'écris dix. [Commence à se tromper en déplaçant une quinaire des dizaines

. Sam:-non and . Oui, Avec la boule bleue qui n'est pas bleue du tout. [Sur le boulier acheté] Donc on écrit dix comme ça et la dernière manière qu'on vient de? que Sabine nous a donnée c'est celle-là. Donc on a trois manières d'écrire dix ? Est-ce que quand vous avez le papier et le stylo, vous avez trois manières d'écrire dix ? 3 min Sam et collectif : Non ! Ca : Vous en avez qu'une seule. Alors ma question c'est : Comment? Comment faire avec le boulier, qu'est-ce qu'il faudrait faire avec le boulier, heu? établir une règle quoi. Quelle règle il faudrait donner à l'utilisation du boulier pour qu'on ait toujours une seule manière d'écrire les nombres ? Collectif : Hou là là ! Ca : C'est-à-dire qu'on a une seule manière d'écrire dix, une seule manière d'écrire cinq, une seule manière de tout écrire, Eh ben, utiliser que les bleues. Ca : Alors, est-ce que tu peux? Mais le problème c'est qu'il faut encore tout pouvoir écrire

. Sam, Ah bah alors là? À part pour les dizaines ou pour les centaines ou pour les milles

. Ca, El : Mais j'écoute? Ca : Tu vas changer de place déjà, tu vas te mettre plutôt à côté d'Amélie et de Jean La prochaine fois, tu changes de place mais ça risque d'être beaucoup moins rigolo pour toi. Sab : C'est moi qui lui ai parlé? 4 min Ca : Je ne veux pas savoir

. Sam, Ah non Pour écrire huit alors tu fais cinq et tout. Ca : Alors, vas-y, répète ce que tu dis Sam, là. Quel est le problème si on enlève toutes les boules rouges ? Sam : Après quand tu veux écrire huit, tu peux plus écrire huit. Ca : Vous êtes d'accord là, Oui Ca : On ne peut plus écrire huit. Donc, c'est pas la réponse

. Sab, Si j'enlève les boules bleues, comment tu veux écrire onze ? Am : Ah oui c'est vrai

. Sam, Mais non onze c'est pas six, ah non. [Brouhaha sur la question

. Ca, Oui mais notre problème c'est que si on laisse tout, y'a des nombres qu'on peut écrire avec plein de manières différentes. Alors, qu'est-ce que vous me proposez d'autre ? // Est-ce que vous me proposez quelque chose ou pas ? Am : Non

. Sam, Ah bah on laisse tout, on bouge rien, voilà

. El, Ca : Élise, c'est pas le cirque ici. El : On lève aucune boule, on garde qu'une manière de faire cinq, heu de faire? Ca : Alors, d'accord. Quelle serait la manière qu'on garderait pour faire cinq, El : La plus simple : deux boules rouges

. Sam, Non la plus simple c'est l'autre, tu montes une boule bleue et voilà. Ca : Cinq, deux boules rouges ça fait cinq ? Am : Non

. Ca, Mettons-nous d'accord, quelles sont les deux manières d'écrire cinq ? [Brouhaha] Alors, vas-y Alexia

. Al:-on-en-baisse-une and . Ca, Alors toi, tu dis que c'est mieux d'en déplacer qu'une ! Sam : Ah bah oui. Ca : Est-ce que tout le monde est d'accord ou est-ce que quelqu'un préfère par exemple utiliser les cinq ? Collectif : Non. Ca : Alors est-ce que du coup on a vraiment besoin des cinq boules en bas ? Sam : Oui, pour cinq oui. Pour dix, non. Sab : Non pour cinq, non on n'a pas besoin, Brouhaha] Ca : Essayer de compter jusqu'à dix et dites-moi les boules que vous utilisez pas. Non attendez, s'il vous plaît. Vous le faites dans votre tête et après en commun on en discute

. Je, Ca : Jean s'il te plaît, il faut aussi comprendre que les autres ont peut-être

. El, Eh bien, on utilise pas la boule rouge d'en haut

. Je and . Pour-faire-dix, Bon alors, la boule rouge d'en haut on l'utiliserait pas, est-ce qu'il y en a d'autres qu'on utiliserait pas quand on veut compter jusqu'à dix ? Sam : Ah oui, moi je veux l'utiliser parce qu'au moins tu gagnes ceux-là et après tu les relèves et tu remets une boule bleue là. Ca : Alors, toi tu l'utilises quand même, mais est-ce que tu es obligé de l'utiliser ? Am

. Sam:-non and . Tu-es-pas-obligé-parce-que-tu-peux-prendre-la-boule-rouge, Ca : D'accord, et est-ce qu'on peut encore en enlever d'autres ? Sam : Non, de toute façon il y en a que deux Am : Et oui, on? Sam : Non, il y en a que deux de boules, tu vas pas en enlever plus. Ca : Vas-y, recomptez. Mais partez de un, Voilà cinq et après tu montes ces cinq-là

. El, Ou alors il y a plusieurs façons, si on monte cinq. Cinq et cinq, ça fait dix. Une boule rouge qui reste en haut, Ou alors on reprend les deux cinq et ça fait dix et ceux du bas ils restent

. Ca, Alors en fait, essayez de réfléchir un peu plus sur les boules du bas et à mon avis, vous devez trouver la réponse parce que là vous êtes pas

. Sam, Oui, il y celle-là qu'on peut ne pas utiliser, parce que quand on veut faire sept, huit, neuf, bah on utilise les quatre. À part quand on veut faire dix et bien on utilise la dernière

A. On-enlève-une-boule-d, en bas et on garde les deux boules d'en haut et les quatre boules d'en bas. Ca : Alors attends, Alexia. S'il vous plaît ! Amélie, on est pas ici dans un cours de musique. [Amélie secoue son boulier] Am : Je fais pas un cours de musique. Ca : Oui, ben je te demande de faire moins de bruit. Alors Samuel nous disait qu'on peut peut-être enlever une boule en bas et Alexia continuait à nous dire : Ah oui, si on enlève une boule en bas, mais alors à ce moment-là il faut garder les deux du haut

. Sam, Si on peut faire neuf ! Si on veut faire neuf, on a besoin que de ceux-là. [Brouhaha pour les autres] Ca : Essayez de compter : 1, 2, 3, 4, 5. Sam : Mais ça y est, c'est pas la peine, Ca : Bon alors vas-y Samuel

. Sam, Cinq par exemple on peut le faire avec une boule rouge

. Ca, Alors ta conclusion ? S'il vous plaît. Sam, c'est quoi ta conclusion ? Sam : Eh bien la dernière là on s'en sert pas et la dernière des rouges, on s'en sert pas. Ca : Alors Samuel, il dit : On peut très bien en haut, garder une boule dont on se sert jamais sur toutes les colonnes et la même chose en bas, garder une boule dont on se sert jamais, Est-ce que tout le monde est d'accord ou pas ? Collectif : Oui. Ca : Alors, pourquoi vous êtes d'accord

S. Ah, Comme nous là, quand on calcule on n'a qu'une manière. Cinq plus cinq, on fait dix. Ca : Tout à fait, Et en fait, le boulier qui a une boule en moins en haut et une boule en bas en moins

. Al:-ah, !. Lui, and . Ca, Ça s'appelle le soroban aussi. Sam : Le nôtre ? Ca : Non, le nôtre il est chinois. Am : C'est lui ? [Amélie montre un boulier chinois acheté en commerce] Ca : Non il est comme les vôtres, c'est un boulier chinois. Sam : Pourquoi c'est écrit en chinois dessus ? Am : Parce que c'est un boulier chinois ! Ca

. Ca, Alors, maintenant, la deuxième chose que je vais vous demander, c'est : Est-ce que vous pensez qu'on peut changer la valeur des boules et qu'on pourrait encore écrire ? Collectif : Non, oui, oui, El : Ah oui, celle-là on peut la faire six

. Sam and . Non, Si on veut pas mettre celle-là et celle-là, on peut pas. Sab : J'ai trouvé, on met qu'une seule boule, maintenant ça vaut dix

. Sam, Non, c'est impossible, tu peux plus faire cinq, ni six, ni rien. Am : Mais si puisque les boules en bas

!. La-première and . Sam, El : La dernière, là. [Élise lui montre] Am : Ah? Sam : Bon ça y est, là, oh ! Am : Et pourquoi on peut pas faire, pourquoi on part pas de là pour faire. Là, c'est les unités, Ah bah, non ! On part toujours de la droite ! El : Tu vas pas écrire comme les Arabes qui écrivent de gauche à droite

. Am:-enfin, El et Al : Non, ils écrivent aussi Am : Elle, elle est bien placée, elle ! Sam : On écrit aussi de la gauche, comme ça !

. Sam, Mais c'est impossible, mais comment on fait ? Si on veut mettre deux dans celles du bas, on ne peut plus écrire un ! Al

S. Ah, . Mais-comment-tu-veux-Écrire?-ah-oui, . Mais-un-alors?-ah-oui-c-'est-vrai-ben, !. Tu-la-montes, and . Sam, Et pour neuf, il faut monter la dernière boule, on utilise la dernière boule Am : Et trois, comment tu fais, pour écrire trois ? Al : C'est pas possible, j'ai trouvé ! Huit, ça vaut huit. Sam : Et comment on fait, pour écrire cinq ? Al : J'ai trouvé, elle ça change pas sinon, on ne peut pas marquer cinq. Et ces boules elles valent deux unités chacune. Ca et Sam en même temps : Et tu fais comment pour écrire un ? Ca : Samuel arrive très bien à te poser les bonnes questions, je vais le laisser faire ! Al : Mais c'est trop compliqué

. Sam, Comment on écrit un, si on change ça ? [Bruit] Ca : S'il vous plaît

A. Mais, Ca : Alors, comment tu trouves ? Al : On en laisse une qui reste un, et après les autres et ben on en met? Sam : Ah les premières, elles valent deux peut-être ! ! Al : Mais non alors, comment on fait pour écrire un ? Sam : Mais oui

. Sam, . Oui, and . Tu-veux-faire-neuf, là tu fais cinq, six-sept, huit-neuf et voilà ! Ça y est, c'est fini ! Ca : Mais le problème c'est que ça va être compliqué à lire car

M. Sam, . Oui, . Sur-un-boulier-japonais-oui, . Tu-veux-faire-neuf, . Tu-fais-neuf et al., Et là, les boules du haut elles valent cinq Et On peut tout faire El : Je sais ! Ca : Alors, Élise ? El : Alors, comme elle a dit Alexia : quatre. Et si tu veux faire neuf : quatre et quatre, huit et tu en montes une, ça fait neuf. Sam : Et oui, et comment tu veux faire un ? Ca : Alors, tu écris combien ? Un, deux, trois, quatre, cinq ? Effectivement, alors là, tu es sur un boulier chinois, c'est-à-dire que tu utilises toutes les boules ? Sam : Je crois savoir, je crois savoir. Ca : Je crois qu'Élise a raison, On va réfléchir à ce qu'Élise nous dit et après on passera à toi Sabine. Samuel, tu peux baisser d'un ton, s'il te plaît. [Brouhaha] 18 min Ca : Alors essaie de compter avec ta méthode

. Sam, Et dix, et neuf ? Al : Et bah, là c'est simple

. Sam, Et quatre et quatre, huit et une, neuf. Ca [à El] : Alors six, tu l'écris comment ? Sam : Six ? Ben c'est facile : quatre et deux ! El : [en montrant] Quatre et deux. Sam : Une boule rouge et deux boules bleues. Ca : Très bien. Alors, moi je trouve que là vous êtes pas très sympas parce que Élise dit quelque chose d'intéressant et personne n'écoute. Sam : Si j'écoute. Ca : C'est bien, vous avez pleins d'idées, c'est très bien, je suis contente. Mais je pense qu'il faudrait que vous appreniez à écouter les autres, Elles valent toujours cinq, alors. Tes boules Élise dit : En haut on peut donner? on part sur un boulier chinois

. Sam:-quatre-et-un, Oui, mais aussi on peut faire d'une autre manière dix Au lieu de faire dix, quatre et quatre, huit plus deux. Et ben, je fais direct une boule dans les dizaines. Ca : On peut peut-être? Sabine, tu voulais nous dire quoi ?

. Sab:-non, était différent, mais je sais que ça va pas être juste. C'était que, ben en haut heu? ça reste comme c'est ; et en bas, la première elle vaut un, la deuxième elle vaut deux, la troisième elle vaut trois? El : C'est ce qu'on vient de dire

. Sam, Ouais, et comment on va faire pour neuf, si elles valent trois les boules rouges ? Al : Eh bien six et trois

S. Ah and L. , allais dire un gros mot ! Pas nul ! Ca : Est-ce qu'on peut encore changer ? Donc on a vu, si on met trois en haut ça marche, si on met quatre en haut, ça marche. Il y en a encore d'autres où ça marcherait ? El : C'est trop petit après. Collectif : Mais oui / Mais non? Al : Et si tu mets six ? Ca : Si on met deux en haut, ça marche ou ça marche pas ? El : Et si tu veux écrire 78, Alexia ! 22 min Al : Si tu veux faire neuf, tu fais quatre et cinq. El : Alexia, comment tu peux écrire 78 ? Al : Avec combien de boules en haut

. Sam, Eh bah oui, c'est facile, trois et trois, six plus deux, huit. Heuu? Ça y est, moi je l'ai écrit 78 ! Regarde [à Élise] Voilà : trois et trois, six et un, sept. Et là, trois et trois, six, plus deux

. Sam, Mais, comment, oui c'est vrai on peut écrire? Non, sauf neuf ! Al : Mais non, bien sûr

. Sam and . Sept, Et si une boule, ça vaut une boule ? Sam : Non, non, non ! Ça on pourrait plus écrire rien

. Sam, Eh bah, c'est bon, le trois et le quatre, c'est bon. Ca : Et si en haut ça vaut deux ?

. El, Je dis c'est le deux parce qu'on utilise toutes les boules. Pour faire neuf, on fait quatre

. Sam, Et le trois, non. Le trois, tu peux ne pas utiliser la boule d'en bas

. El, on utilise toutes les boules et il n'y a pas de boule inutile. Ca : Alors, c'est pas tout à fait vrai ce que vous dites parce que si vous voulez écrire quatre. On imagine les boules du haut elles valent deux, vous avez combien de manières d'écrire quatre

. Ca, Exactement, il y en a encore deux Il faut faire attention, tous les nombres s'écrivent pas d'une seule manière, même avec cette méthode

. Sam, en laissant celle du bas qui vaut un, et bah on peut encore écrire plein de choses. 24 min Sam : Même six encore, c'est bon ! Ca : Alors est-ce que vous trouvez que quand elle vaut cinq, c'est pratique ou pas ? Estce que vous avez envie de garder quand ça vaut cinq ou pas ? Sam : Oui, parce que, moi parce que cinq? Al : Oui parce que c'est plus facile. El : Oui, cinq c'est plus facile Sam : Cinq, hop direct, tu veux écrire six : hop et hop. Ca : C'est pour ça, je pense que c'est une des raisons pour lesquelles ça vaut cinq. Alors on repart. Moi, j'aimerais bien qu'on finisse là avec le boulier japonais. Donc on dit que la boule du haut on ne la bouge jamais? Sam : Il y a pas la boule en bas alors ? ! Ca : Tu me laisses donner la consigne ! Donc il y a une des boules en haut qu'on ne va pas utiliser et une des boules en bas qu'on n'utilisera pas non plus

. Sam, Je sais, la boule du haut elle vaut six On peut écrire dix, on peut écrire neuf. Ca : Comment tu écris cinq ? Sam : Cinq, et ben on, on? Ah ouais c'est vrai ! 25 min El : J'ai une idée, on change? Al : Ca vaut quatre

. Sam, Mais non, mais bien sûr, celles d'en haut elles valent cinq ! Ca : On est dans le boulier japonais normal ! El : Il faut changer les deux là

. Ca, Oui, mais il faut écrire jusqu'à combien par colonne ? Sam : Et ouais, normalement tu dois écrire jusqu'à neuf par colonne. El : 15, 15 ! [assez fort] Sam : Chut ! Sab : On dit pas chut

. El, Où je sais, il faut changer ça alors. [Élise montre les boules du bas] Il faut changer les unités. Sam : C'est impossible, comment tu veux écrire neuf ? Ca : Ça c'est pas les unités, Élise

A. Neuf and . Sam, Et oui, deux, quatre, six, huit et oui ? Ça fait neuf ! Ca : Tu as dit en bas ça vaut deux, quand tu en montes quatre, ça fait combien ? Al : Ah oui, ça fait neuf, et donc c'est juste ! Ca : Alors, vas-y, comptes avec cette méthode

. Li, Ça va, laisse la. [à Samuel qui coupe la parole à Alexia

. Ca, Alors pourquoi c'est vrai, ça ? 27 min Sam : Parce que pour dix, tu peux utiliser une petite boule, une petite boule rouge. El : Parce que neuf c'est un nombre pair, heu impair ! Li : Non, mais ça n'a rien à voir

. Ani, On l'efface, là ? Ni : Écrivez dix

A. Attendez and N. , Na : Il y a deux manières, je peux vous le montrer ? Ca : Oui. Les garçons, quand même ! [Trop de bruit] Ang : Arrêtez ! Na : Dans la première colonne, on peut mettre les deux boules rouges, ça fait dix. Ca : D'accord, ok c'est bon Natalia, elle nous a donné une méthode pour écrire dix. Dix, on met deux boules rouges dans les unités. Heu, Angéla, tu as une autre méthode. 2 min Ang : Alors, au lieu de mettre les deux boules alors on peut mettre, alors dans la première colonne, on met rien du tout, ce qui fait qu'il y a rien et à la deuxième colonne, on met une bille bleue. Ca : D'accord, ça fait la deuxième méthode, alors toi Dominique, tu en as une troisième ? Do : Oui, ben en fait j'ai toutes mes boules en haut, j'en descends une, une et j'en remonte cinq. Ca fait dix. Ca : Vous êtes d'accord ? Collectif : Oui / Oui

. Ca, est : On a trois manières d'écrire dix, est-ce que vous avez l'habitude d'avoir plusieurs manières pour écrire un nombre ? Collectif : Oui Ani : Ben oui, moi j'en ai une autre. Ca : Quand tu écris avec le papier et le crayon, tu as plusieurs manières d'écrire dix ? Ani : Ah non, Th : Cinq plus cinq

. Ang:-c-'est-moi and . Ani, Parce que, regardez : un et deux et on fait pareil ! Ah bah, un, deux, trois, quatre, cinq? Ang : Ben non, sinon ça fait un grand chiffre ! Ca

A. Arrêtez-de-parler and !. Th, Je parle pas, là ! Ca : Est-ce que? donc ma question, c'est comment faire pour que tous les nombres et les chiffres qu'on veut écrire, on ne puisse les écrire que d'une seule manière ? Na : Eh bah, on choisit la plus simple. Ca : Quelles sont les règles à imposer au boulier ? On choisit la plus simple, hein. Na : C'est tout ? Th : On monte une boule bleue. 4 min Ca : Ça veut dire quoi on choisit la plus simple ? Attends

. Ang, Alors on fait les deux boules rouges Na : Ben on choisit une? Ca : Alors, Angéla elle nous dit la manière la plus simple c'est : On choisit deux boules rouges. Na : Non Th : Ah non, non c'est pas vrai

. Ni, Th : Non, parce que quand on fait 1752, eh bah 50, on le monte là. Do : Bah non, les unités, les dizaines et les centaines Na : Ben oui, ben oui, c'est une boule de la deuxième parce que s'il y a des boules rouges comme ça, on peut remplacer par une comme ça. Tandis qu'on peut pas faire l'inverse. Ca : On peut pas faire l'inverse ? Na : Non, parce que si on écrit encore des unités, que ça prend heu tout ça, on peut pas le faire et ça on peut le faire. Ca : C'est-à-dire que c'est plus simple de lire quand on déplace une boule, Est-ce que c'est pas plus simple de dire que la meilleure méthode c'est quand on déplace le moins de boules possibles ? Na : Oui

. Ni:-ben-oui,-donc-c-'est-bon and . Ca, Bon alors, essayez de trouver heu des règles entre guillemets, qu'on pourrait imposer à l'utilisation du boulier pour que par exemple cinq, on ne l'écrive que d'une seule manière, dix aussi, qu'on ne puisse l'écrire que d'une seule manière Na : Eh bah on prend? Ca : Qu'est-ce que vous remarquez si on essaie toujours d'écrire un nombre en déplaçant le moins de boules possible ? Ang : Bah, c'est plus facile à lire. Ca : C'est plus facile à lire, alors essayer de compter sur le boulier. Qu'est-ce qui se passe ? // Essayez de compter jusqu'à dix en déplaçant le moins de boules possible à chaque fois. Re : Ben, tu mets? Na : Bah ça, dix. [Dans les unités] On doit compter un par un ? Ca : Je pense que si vous comptez un par un, vous pourrez me répondre. Na : Un, deux, trois, quatre, cinq. Ca : Bon, déjà Natalia elle a compté jusqu'à cinq, et elle a fait quoi ? 6 min Th : J'ai pas entendu la question. Na : J'ai compté cinq avec les boules bleues, j'ai remplacé par la rouge pour faire moins de boules et pour faire dix, là je refais ça et ça. Do : J'ai pas compris la question, 5min Ca Ca : D'accord, alors avant que tu continues Natalia, je vais essayer de reformuler ce que je vous demande. On a vu que dix? Ang : J'ai pas tout compris ce qu'elle a dit. Par rapport à? Ca : Ça te dérange pas de me couper quand je parle ? Bon ça Angéla, a priori ça te Do : Mais ça fait mal

. Ani, En fait, là je descends une boule, je la remonte et je la mets ici. Ca : Oui, mais tu as écrit 15, là. 12 min Ang : Ca fait 15 ? Et non

. Ani, Et non, j'ai pas écrit 15 J'ai mis les deux, celles-là comme ça, j'ai mis les deux et j'en ai monté une et j

. Ang, Ben ça fait 15 Regardez si on met par exemple une boule bleue? Ca : L'équivalence, c'est celle-là, cinq et cinq ça fait dix ici et dix, tu peux aussi l'écrire? comme ça

. Ani, Ca : Parce que? parce que si tu écris de là, si tu pars de là, derrière, tu as plein de zéros. [Brouhaha] Alors, moi j'aimerais bien qu'on revienne à la question que je vous posais, c'est : Est-ce qu'on peut enlever des boules ou pas, sur le boulier ? Th : Oui. Ni : Non. Ang : Oui. Ca : Bon alors Théo dit oui, alors essaie de nous expliquer pourquoi, lesquelles, comment, etc, Th : Non? parce que y'en a? Na : Oui

. Ani, Oui, on descend deux boules rouges et c'est simple ! Ang : Mais pas pour? Th : Ah oui ! Na : On

. Ani and . Bah-oui, Ca : On a dit c'est quand on déplace le moins de boules possibles, Th : Bah oui

. Ani, La plus simple c'est ça, enfin ? Ca : Oui, c'est ça Une boule bleue voilà, pour écrire dix, c'est la manière la plus simple Ang : On va pas s'embêter pour faire heu?

. Ani, aller chercher mille fois Th : Oui, bah on en met une là. Ca : Bon comptez, on va le faire ensemble parce que je vois que?je vois que vous êtes pas bien, vous êtes un peu endormis là. Na : Je peux dire quelque chose, deux secondes ? Ca : Oui, pp.vas-y

. Ca, Ouais et est-ce qu'on pouvait tout compter avec ? Na : Je sais pas si ça existe? Ani : Ah bah oui, bah c'est la même chose en fait. Ca : Pourquoi c'est la même chose ?

. Ani, Parce que là ça compte, en fait quand heu? en fait quand on enlève une boule du bas et une boule du haut, donc ça change rien presque. Enfin si ça change, ça fait que ça c'est quatre, en haut c'est quatre et en bas c

. Ca, Alors, comment tu fais pour écrire neuf dans une colonne ? Ani : Eh ben je, en fait je rajoute, je laisse les cinq et j'enlève une? 15 min Ca : Tout à l'heure, tu nous as dit qu'il y avait des bouliers où il manquait une boule en

. Ani, Bah ouais, on peut tout écrire. Na : Ben oui parce que? je peux ? Ca, pp.vas-y

. Ca, D'accord, on continue ! On veut écrire six, sept, huit, neuf

. Ani and . Et-bah,-je-baisse-tout-et-je-rajoute-la-heu-la?-ca, Je veux écrire dix de la manière la plus simple possible Na : Ah ! Th : Ah bah ! Ani : [Plus fort que les autres] On monte la dizaine ! Na : On baisse toutes les boules et on met là? Ca : Quelles sont les boules que je n'ai pas utilisées dans la case des unités pour compter jusqu'à dix ? Th : Quatre et les deux d'en haut. Heu, les bleues et les rouges. 17 min Ca : Celles que j'ai pas utilisées ? Th : Toutes les bleues et toutes les rouges. Ca : C'est une rouge et une bleue, Mais t'as pas écrit dix ! Ca

A. Vous-avez-Écrit-dix, Na : Oui. Mais, ah? parce qu'on retient dans sa tête en fait, on doit retenir? Ang : Mais si elle a écrit dix puisqu'elle a rien mis à la première colonne et à la deuxième colonne, elle a monté une bille, Ca fait dix ! C'est pas comme si, regarde. Na : Oui, oui

. Ang, Comme j'ai dit tout à l'heure, tu mets rien, tu mets pas? L'unité

. Ani, En fait, elle a enlevé tout des unités et elle a rajouté un, aux dizaines pour que ça fasse zéro, Na : Au lieu de mettre dix unités

. Ang:-non and . Là-Ça-fait-zéro-et-celle-que-tu-montes-Ça-fait-une-dizaine-et-du-coup-voilà, Ani : Taisez-vous ! 18 min Ca : Bon, pour continuer, je vais vous poser? Bon là on voit que c'est un peu délicat, mais on va pas continuer là-dessus, je vais vous poser une autre question. La question, c'est : Est-ce qu'on peut changer la valeur des boules ? Pour l'instant, les boules en haut, elles valent combien ? Collectif : Cinq ! Ca : Et celles du bas ? Collectif : Un. Ca : C'est comme ça qu'on? que vous avez découvert l'utilisation traditionnelle du boulier. Maintenant ma question c'est : Est-ce qu'on peut changer la valeur des boules et encore pouvoir tout écrire sur le boulier ? Ni puis Th : Oui. Ca [à Ni] : Alors, qu'est-ce que tu donnerais comme valeur aux boules pour pouvoir tout écrire ? Ni : Je sais pas, Th : Dix. Ca : Dix ? Ni : Non, c'est trop. Th : Et une boule rouge. Ca : Dix, c'est trop tu penses ? Ani : 100. J'ai une question ! J'ai une question hors de ça ! Ca

. Ani, Le boulier, comment vous avez su que c'était un boulier, comment vous avez su le faire et tout ?, Ah bah, ils ont inventé ! C'est dans un pays

. Ca-en-asie, . En-chine, and . Au-japon, en URSS ou dans les pays de l'Est? Ani : Oui mais, comment vous avez su le faire ? Ca : Ben moi? Ani : Comment il s'appelait, comment? Do : Elle a été dans le pays même. Ca : Il existe des livres qui expliquent ça. Do : Ah, vous avez pas été dans le pays même? Ca : Mais c'est des livres heu? c'est pas des livres pour les enfants justement, mais moi? Ani : Pourquoi ? Na : C'est des livres où il y a des heu? des fabrications. Ca : C'est pas des livres pour l'école

. Ani, Et vous avez pris des livres là où il y avait les bâtons de Néper, la règle à additionner, le boulier et heu les réglettes. Ca : Ben c'est mon travail de faire ça donc j'ai cherché plein de documentation pour trouver ces objets-là et après j'ai appris à m'en servir et maintenant j