Uniform limit laws and nonparametric estimation of the regression function
Lois limites uniformes et estimation non-paramétrique de la régression
Résumé
We use general empirical process theory methods to determine exact rates of strong uniform consistency of kernel-type estimators of the regression function including local polynomial estimators. Our theorems take form of uniform limit laws of the logarithm in the same spirit of results by Deheuvels and Mason (2004). The core of the proof relies on a remarkable exponential inequality concerning the probability of deviation from the mean for suprema of empirical processes indexed by classes of functions. We extend also this method of proof to the semiparametric setup, i.e. when the conditional distribution is parametred, and we prove a uniform limit law for the local maximum likelihood estimator.
Nous utilisons la théorie moderne des processus empiriques indicés par des classes de fonctions afin d'établir la vitesse exacte de convergence presque sûre d'une large classe d'estimateurs par la méthode du noyau de la fonction de régression dont les estimateurs par lissage polynomial local. Ces résultats prennent la forme de lois limites uniformes du logarithme dans le prolongement des travaux de Deheuvels et Mason (2004) et permettent la construction de bornes de confiance asymptotiquement optimales. La démonstration s'appuie principalement sur une inégalité exponentielle pour la déviation par rapport à l'espérance de la norme du supremum du processus empirique indexé par des classes de fonctions à nombre de recouvrement uniformément polynomial. Nous présentons également une loi limite uniforme du logarithme dans un cadre semi-paramétrique concernant l'estimateur du maximum de vraisemblance local lorsque la loi conditionnelle est paramétrée par une fonction.
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