REPRESENTATIONS DE GROUPES TOPOLOGIQUES ET ETUDE SPECTRALE D'OPERATEURS DE DECALAGE UNILATERAUX ET BILATERAUX - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2005

TOPOLOGICAL GROUP REPRESENTATIONS AND SPECTRAL STUDIES OF UNILATERAL AND BILATERAL SHIFT

REPRESENTATIONS DE GROUPES TOPOLOGIQUES ET ETUDE SPECTRALE D'OPERATEURS DE DECALAGE UNILATERAUX ET BILATERAUX

Résumé

In the first part of this thesis we study the behaviour of a representation $\theta$ of a group $G$ in a Banach algebra $A$ with the behaviour of $\limsup_{u \rightarrow 1}\| \theta(u)-I \|$, where $1$ denotes the unit element of $G$ and $I$ the unit element of $A$. We also obtain automatic continuity results for a large class of group representations.

In the second and third parts we study in some concrete cases the spectrum of the operator $S_M: E/M \rightarrow E/M$ defined by $S(f+M)=Sf +M$, where $E$ is a Banach space, $S:E \rightarrow E$ a bounded operator and $M$ a closed $S$-invariant subspace, i.e. $S(M) \subset M$. We first study the case when $E$ is a Banach space of analytic functions on $\D$ such that the usual shift $S: f \mapsto zf$ and the backward shift $T:f \mapsto \frac{f-f(0)}{z}$ have their spectrum equal to the unit circle and satisfy a non-quasianalytic condition. We show that, if there exists a function $f \in M$ having an analytic extension to $\D \cup D(\zeta,r)$, with $|\zeta|=1$, $f(\zeta)\neq 0$, then $\zeta \notin Spec(S_M)$. We apply this result to the weighted Hardy space $H_{\sigma_{\alpha}}(\D)$, with $\sigma_{\alpha}(n)=e^{-n^{\alpha}}$, $n \geq 0$, $\alpha \in (\frac{1}{2},1)$.

Finally we study a quasianalytic situation in the spaces $l^2(w,\Z)$ , with '$\log$-even" weights. Let $S: (u_n)_{n \in \Z} \mapsto (u_{n-1})_{n \in \Z}$ be the usual bilateral shift on $l^2(w,\Z)$. When $L$ is a closed arc of the unit circle we show that the construction of Y.Domar of translation invariant subspaces in $l^2(w,\Z)$ spaces satisfying a natural regularity condition permits us to construct subspaces $M_L$ such that $Spec (S_{M_L})=L$.}
Dans un premier temps, nous étudions la continuité d'une
représentation $\theta$ du groupe topologique $G$ dans une algèbre de Banach $A$ en fonction du comportement de $\limsup_{u \rightarrow 1}\| \theta(u)-I \|$, où $1$ désigne l'élément unité de $G$ et $I$ celui de $A$. Nous obtenons aussi des résultats de continuité automatique pour une large catégorie de représentations de groupes.

Nous étudions ensuite, dans des cas concrets le spectre de l'opérateur $S_M: E/M \rightarrow E/M$ défini par $S(f+M)=Sf +M$, c'est-à-dire la compression de $S$ à $E/M$ où $E$ est un espace de Banach, $S:E \rightarrow E$ un opérateur borné et $M$ un sous-espace vectoriel fermé invariant par $S$, c'est-à-dire vérifiant $S(M) \subset M$. D'abord nous nous plaçons dans des espaces de Banach $E$ de fonctions analytiques sur le disque unité pour lesquels le shift usuel $S:z \mapsto zf$ et le shift arrière $T: f \mapsto \frac{f-f(0)}{z}$ ont leur spectre égal au cercle unité et vérifient la condition de non-quasianalyticité. Nous montrons que si $f \in M$ admet une extension analytique à $\D \cup D(\zeta,r)$, avec $|\zeta|=1$, $f(\zeta)\neq 0$, alors $\zeta \notin Spec(S_M)$. Nous appliquons ce résultat à l'espace de Hardy pondéré $H_{\sigma_{\alpha}}(\D)$, avec $\sigma_{\alpha}(n)=e^{-n^{\alpha}}$, $n \geq 0$, $\alpha \in (\frac{1}{2},1)$.

Enfin nous étudions une situation quasianalytique, celle des espaces $l^2(w,\Z)$ à poids "$\log$-impairs". Soit $L$ un arc fermé non vide du cercle unité; nous montrons que la construction de Y.Domar de sous-espaces invariants par translations pour les espaces $l^2(w,\Z)$ vérifiant une condition naturelle de régularité, permet d'obtenir des sous-espaces $M_L$ tels que $Spec (S_{M_L})=L$, où $S: (u_n)_{n \in \Z} \mapsto (u_{n-1})_{n \in \Z}$ désigne le shift bilatéral usuel sur $l^2(w,\Z)$.
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Dates et versions

tel-00011971 , version 1 (20-03-2006)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00011971 , version 1

Citer

Sébastien Dubernet. REPRESENTATIONS DE GROUPES TOPOLOGIQUES ET ETUDE SPECTRALE D'OPERATEURS DE DECALAGE UNILATERAUX ET BILATERAUX. Mathématiques [math]. Université Sciences et Technologies - Bordeaux I, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00011971⟩

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