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Thèse Année : 2004

On the Galois groupoid of foliations

Sur le groupoide de Galois d'un feuilletage

Guy Casale
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 829938

Résumé

B. Malgrange defines the D-envelope or galoisian envelope of an analytical dynamical system. Roughly speaking, this is the algebraic hull of the dynamical system.

This thesis is in three parts.
In the first part, germs of Lie D-groupoids and D-envelopes of germs of diffeomorphisms of (C,0) are investigated. We obtain a characterisation of these envelopes on résurgent coefficients of the normalising power serie. This results provides a methode to compute rational differential equations satisfied by some special diffeomorphisms (given by Jean Écalle).

In the second, the D-envelope of a rational map R of the complex projective line is computed. The rational maps characterised by a finitness property of their D-envelope appear to be the integrable ones (Tchebitchev polynomials and Lattès examples).

In the third, one considere a germ of codimension one holomorphic foliation F. We study the Galois groupoid of F. In a first part, we define the transversal rank of the Galois groupoid. In a second part, we prove that the finitness of this rank is equivalent to the existence of a meromorphic Godbillon-Vey sequence of length less or equal than three. In a third part, relations between the Galois groupoid and the Kolchin theory are given.
Une definition de B. Malgrange etend aux feuilletages singuliers d'une variete analytique complexe la notion
de groupe de Galois classiquement definie pour les equations differentielles lineaires. Pour cela il definit la notion de D-groupoıde de Lie, version singuliere des “groupes infinis de transformations” decrits par des equations aux derivees partielles, etudies par S. Lie et E. Cartan. Un systeme dynamique donne par des transformations (resp. transformations infinitesimales) n'est pas en general un D-groupoıde de Lie. On definit sa D-enveloppe comme le plus petit D-groupoıde de Lie contenant ces transformations (resp. transformations infinit´esimales). Dans le cas d'un feuilletage, sa D-enveloppe est appelee groupoıde de Galois du feuilletage et generalise la notion de groupe de Galois.

L'objet de ce travail est d'etudier les systemes dynamiques ayant une D-enveloppe de rang (transverse)
fini et de les interpreter en terme “d'integrabilite”. Il se decompose en trois parties.
Dans la premiere, nous etudions la notion de D-groupoıde de Lie au-dessus d'un disque de C. Nous donnons la liste de ces objets qui est une version singuliere de la liste des geometries de la droite donnee par S. Lie. Nous determinons ensuite les germes de diffeomorphismes ayant une petite D-enveloppe. Le comportement tres particulier de ces diffeomorphismes nous permet de prouver un theoreme de classification analytique des D-groupoıdes de Lie au-dessus d'un disque, analogue la version de J. Martinet et J.P. Ramis de la classification analytique des diffeomorphismes et d'illustrer certains calculs de J.Ecalle. Comme application de ces resultats nous montrons que les seules applications rationnelles de P1 ayant une petite D-enveloppe sont les monomes, les polynomes de
Tchebitchev et les exemples de Lattes.
Dans une deuxieme partie, nous interpretons le groupoıde de Galois d'un feuilletage holomorphe singulier de codimension un sur un polydisque comme conditions d'integrabilites. Nous commencons par montrer l'equivalence entre la finitude du rang transverse du groupoıde de Galois et l'existence d'une suite de Godbillon-Vey de longueur inferieure a trois. Ces affirmations sont encore equivalentes a l'existence d'une integrale premiere d'un type de transcendance particulier appele Darboux, Liouville ou Riccati suivant les cas. Ces feuilletages sont ceux admettant une integrale premiere dans une extension fortement normale du corps des fonctions meromorphes au sens de E.R. Kolchin. En utilisant cette interpretation du groupoıde de Galois en terme d'integrales premieres, nous donnons les groupoıdes de Galois pour quelques feuilletages classiques : feuilletages a singularites reduites, lineaires et Hamiltoniens completement integrables.
Dans une troisieme partie, nous expliquons comment l'interpretation du groupoıde de Galois d'un feuilletage
en terme d'integrales premiere s´etend au feuilletages de codimension quelconque. Nous utilisons de maniere
essentielle l'existence de structure geometriques invariantes sous l'action d'un D-groupoıde de Lie transitif. Dans le cas d'un groupoıde de Galois transitif de rang transverse fini, nous montrons, sous une hypothese
d'algebricite, l'existence d'un systeme complet d'integrales premieres dans une extension fortement normale.
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Dates et versions

tel-00012021 , version 1 (23-03-2006)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00012021 , version 1

Citer

Guy Casale. Sur le groupoide de Galois d'un feuilletage. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00012021⟩
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