Equations de type Vortex et métriques canoniques - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2005

Vortex type equations and canonical metrics

Equations de type Vortex et métriques canoniques

Julien Keller

Résumé

Let $M$ be a smooth projective manifold. Let $\mathcal{F}$ be a filtered holomorphic vector bundle over $M$. We introduce a notion of Gieseker stability for such objects and relate it to an analytic condition in terms of hermitian metrics on $\mathcal{F}$, called balanced metrics by S.K Donaldson, that come from the world of Geometric Invariant Theory (G.I.T). If there is a metric $h$ on $\mathcal{F}$ that satisfies the $\boldsymbol{\tau}$-Hermite-Einstein equation studied by \'{A}lvarez-C\'{o}nsul and Garc\'{i}a-Prada:
$$\sqrt{-1}\Lambda F_h = \sum_i \widetilde{\tau}_i\pi^{\mathscr{F}}_{h,i}$$
then we prove that the sequence of balanced metrics exists, converges and its limit, up to a conformal change, is a smooth hermitian metric on $\mathcal{F}$ that satisfies the previous equation. As a corollary, we give by dimensional reduction a theorem of approximation for Vortex equations introduced by Bradlow and their generalizations to coupled Vortex equations.
Soit $M$ une variété projective lisse. Soit $\mathscr{F}$ une filtration holomorphe sur $M$, c'est à dire une filtration d'un fibré vectoriel holomorphe $\mathcal{F}$ induite par des sous-fibrés. Nous introduisons une notion de Gieseker stabilité pour de tels objets puis donnons une condition analytique équivalente en terme de métriques sur $\mathcal{F}$, dites équilibrées au sens de S.K. Donaldson, provenant d'une construction de la Théorie des Invariants Géométriques. Si le fibré $\mathcal{F}$ peut être muni d'une métrique $h$ solution de l'équation $\boldsymbol{\tau}$-Hermite-Einstein étudiée par \'{A}lvarez-C\'{o}nsul et Garc\'{i}a-Prada:
$$\sqrt{-1}\Lambda F_h = \sum_i \widetilde{\tau}_i\pi^{\mathscr{F}}_{h,i}$$
alors nous prouvons que la suite de métriques équilibrées existe, converge et sa limite est, à un changement conforme, solution de l'équation précédente. De ce résultat nous déduisons, par réduction dimensionnelle, un théorème d'approximation dans le cas des équations Vortex de Bradlow ainsi que leurs généralisations aux équations couplées Vortex.
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Dates et versions

tel-00012107 , version 1 (10-04-2006)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00012107 , version 1

Citer

Julien Keller. Equations de type Vortex et métriques canoniques. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00012107⟩
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