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            <title xml:lang="en">Analytical and probabilistic study of&lt;br /&gt;Laplacians associated with root systems: hypergeometric Laplacian&lt;br /&gt;of Heckman--Opdam and combinatorial Laplacian on affine buildings</title>
            <title xml:lang="fr">Etude analytique et probabiliste de laplaciens associés à des systèmes de racines : &lt;br /&gt;laplacien hypergéométrique de Heckman--Opdam et laplacien combinatoire sur les immeubles affines.</title>
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                <authority type="supervisor">Jean-Philippe Anker et Philippe Bougerol(jean-philippe.anker@univ-orleans.fr et bougerol@ccr.jussieu.fr)</authority>
                <authority type="jury">- Jean-Philippe ANKER (Directeur de thèse)</authority>
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                <authority type="jury">- Patrick DELORME (Examinateur)</authority>
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                <authority type="jury">- Marc YOR (Examinateur)</authority>
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            <abstract xml:lang="en">
              <p>In this thesis, we are interested in&lt;br /&gt;the study of analytical and probabilistic aspects of&lt;br /&gt;Heckman--Opdam and affine buildings of type $\tilde{A}_r$&lt;br /&gt;theories. We also study the Poisson boundary of rational&lt;br /&gt;triangular matrices.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;One of our main results, is to obtain new estimates of the&lt;br /&gt;hypergeometric functions of Heckman--Opdam. Our proofs are&lt;br /&gt;relatively more elementary than in the particular case of&lt;br /&gt;symmetric spaces $G/K$. For instance for the proof of the basic&lt;br /&gt;estimates of spherical functions, obtained by Harish-Chandra or&lt;br /&gt;Gangolli and Varadarajan, and for the recent estimate of the&lt;br /&gt;elementary spherical function $\phi_0$ by Anker, Bougerol and&lt;br /&gt;Jeulin.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Another main result is the estimate of the heat kernel associated&lt;br /&gt;with some combinatorial Laplacian on an affine building of&lt;br /&gt;type $\tilde{A}_r$.</p>
            </abstract>
            <abstract xml:lang="fr">
              <p>Cette thèse porte sur une étude&lt;br /&gt;analytique et probabiliste des théories de Heckman--Opdam et des&lt;br /&gt;immeubles affines de type $\tilde{A}_r$. On étudie aussi la&lt;br /&gt;frontière de Poisson des matrices triangulaires inversibles&lt;br /&gt;rationnelles.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Un de nos principaux résultats est l'obtention de nouvelles&lt;br /&gt;estimations des fonctions hypergéométriques de Heckman--Opdam. Nos&lt;br /&gt;preuves sont relativement plus simples que dans le cas particulier&lt;br /&gt;des espaces symétriques $G/K$. Par exemple pour les estimations de&lt;br /&gt;base des fonctions sphériques, obtenues par Harish-Chandra, ou&lt;br /&gt;Gangolli et Varadarajan, ainsi que pour les estimations récentes&lt;br /&gt;de la fonction sphérique élémentaire $\phi_0$ par Anker, Bougerol&lt;br /&gt;et Jeulin.&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;Un des autres principaux résultats est l'estimation du noyau de la&lt;br /&gt;chaleur associé à un certain laplacien combinatoire sur un&lt;br /&gt;immeuble affine de type $\tilde{A}_r$.</p>
            </abstract>
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