Calculs explicites dans les groupes de Grotendieck et de Chow des variétés homogènes projectives - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2006

Explicit computations of Chow and Grothendieck groups
for projective homogeneous varieties

Calculs explicites dans les groupes de Grotendieck et de Chow des variétés homogènes projectives

Franck Doray
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 837176

Résumé

The homogeneous projective varieties under a split algebraic group have
a rather simple geometry. The Bruhat's decomposition gives a cellular
decomposition of theses varieties. Therefore the Chow ring of such
varieties has a basis consisting of the classes of the closure of
these cells, the Schubert varieties. The same thing is true for the
Grothendieck ring of such varieties. This implies that these two rings are
torsion-free. More precisely, the preceding basis of the Grothendieck
ring provides the topological filtration of this ring and therefore
gives once again, via the graded ring associated, the basis of the
Chow ring. On the other hand, there exists a second basis found by
Pittie and Steinberg of the Grothendieck ring of these varieties;
basis which is invariant under the action of the Galois group.

The chapter II of the dissertation deals about known results about the
combinatorics which give the expression of the structural sheaves of
the Schubert varities in the Grothendieck ring, in the case of
complete flag varieties associated to a vector space. It allows,
following in particular works by Lascoux, to give a combinatorial
expression of the basis change matrix between the two above basis. In
the case of complete flag varieties in a vector space of dimension
three, we give explicit resolutions of the structural sheaves of the
Schubert varieties by mean of fibers of Pittie's basis.

The Chow groups are well-known in codimension one and have been
studied by Karpenko in codimension two in the case of Severi-Brauer
varieties. The computation of motives of homogeneous projective
varieties under the projective linear group associated to a simple
central algebra over a field can be reduced, under some hypothesis to
the computation of motives of generalized Severi-Brauer varieties,
forms of grassmanians, as Calmès, Petrov, Semenov and Zainouline have
shown. In chapter III, we construct explicit isomorphisms of
varieties which allow us to reduce the computation of the Chow groups
of these projective homogenous varieties to the computation of Chow
groups of generalized Severi-Brauer varieties.

The material described in the chapter III is used one more time in
chapter IV to give a new proof of a result by Karpenko on the
decomposition of the motive of the Severi-Brauer variety associated to
a matrix algebra with coefficients in a simple central algebra.
Les variétés homogènes projectives sous un groupe algébrique déployé
ont une géométrie assez simple. La décomposition de Bruhat fournit, en
effet, une décomposition cellulaire de ces variétés. Il en résulte que
l'anneau de Chow de telles variétés admet une base formée des classes
des adhérences de ces cellules, appelées variétés de Schubert.
Il en est de même pour l'anneau de Grothendieck de telles variétés.
Cela entraîne en particulier que ces deux anneaux sont sans torsion.
Plus précisément, la base ainsi obtenue pour l'anneau de Grothendieck
fournit la filtration topologique de cette anneau et redonne
la base de l'anneau de Chow par passage au gradué. D'autre part,
il existe une seconde base due à Pittie et Steinberg de l'anneau
de Grothendieck de ces variétés, invariante sous l'action du groupe de Galois.

Le Chapitre II de la thèse revient, dans le cas des drapeaux complets
associés à un espace vectoriel, sur les résultats connus concernant
la combinatoire donnant les expressions des faisceaux structuraux des
variétés de Schubert dans l'anneau de Grothendieck, ce qui permet, en
suivant les travaux de Lascoux notamment, d'exprimer combinatoirement
la matrice de changement de bases entre les deux bases ci-dessus. Dans
le cas de la variété de drapeaux complets d'un espace vectoriel de
dimension trois, nous donnons des résolutions explicites des faisceaux
structuraux des variétés de Schubert en termes des fibrés de la base
de Pittie.

Les groupes de Chow sont connus en codimension un et ont été étudiés
en codimension deux par Karpenko dans le cas des variétés de
Severi-Brauer. Le calcul des motifs des varietés homogènes projectives
sous le groupe projectif linéaire d'une algébre simple centrale sur un
corps se ramène sous certaines conditions au calcul de motifs de
variétés de Severi-Brauer généralisées, formes de grassmaniennes,
comme l'ont montré Calmès, Petros, Semenov et Zainouline. Dans le
chapitre II, nous construisons des isomorphismes de variétés
explicites qui permettent de ramener le calcul des groupes de Chow de
ces variétés au calcul de groupes de Chow de variétés de Severi-Brauer
généralisées.

Les techniques décrites dans le chapitre III sont réutilisées au
chapitre IV pour redémontrer un résultat de Karpenko sur la
décomposition du motif de Chow de variétés de Severi-Brauer associée
à une algèbre de matrices à coefficients dans une algèbre simple
centrale.
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Dates et versions

tel-00120949 , version 1 (19-12-2006)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00120949 , version 1

Citer

Franck Doray. Calculs explicites dans les groupes de Grotendieck et de Chow des variétés homogènes projectives. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00120949⟩
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