Estimation non paramétrique et problèmes inverses - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2006

Nonparametric estimation and inverse problems

Estimation non paramétrique et problèmes inverses

Résumé

Nonparametric estimation problems
for inverse models consist in recovering an unknown function from
the observation of a linear ill posed transformation of the
function, blurred by an additive random error. In this context,
wavelet methods are very useful and have been widely studied. The
estimators developed in this thesis are significantly influenced
by them, but also stray from decompositions in "classical" wavelet
bases, which allows new theoretical and practical developments. In
a main part of the thesis, one focuses on a white noise type
model. One develops estimators using bases which, on the one hand
are adapted to the operator of the problem, and on the other hand
possess wavelet type properties. One investigates the theoretical
properties of such methods in a wide minimax framework, as well as
their numerical performances, by a simulation study. In the last
part of the thesis, one focuses on the model of regression in
random design, and one investigates the numerical performances of
an estimator based on the "warping" of wavelet bases.
On se place dans le cadre de
l'estimation non paramétrique pour les problèmes inverses, où une
fonction inconnue subit une transformation par un opérateur
linéaire mal posé, et où l'on en observe une version bruitée par
une erreur aléatoire additive. Dans ce type de problèmes, les
méthodes d'ondelettes sont très utiles, et ont été largement
étudiées. Les méthodes développées dans cette thèse s'en
inspirent, mais consistent à s'écarter des bases d'ondelettes
"classiques", ce qui permet d'ouvrir de nouvelles perspectives
théoriques et pratiques. Dans l'essentiel de la thèse, on utilise
un modèle de type bruit blanc. On construit des estimateurs
utilisant des bases qui d'une part sont adaptées à l'opérateur, et
d'autre part possèdent des propriétés analogues à celles des
ondelettes. On en étudie les propriétés minimax dans un cadre
large, et l'on implémente ces méthodes afin d'en étudier leurs
performances pratiques. Dans une dernière partie, on utilise un
modèle de regression en design aléatoire, et on étudie les
performances numériques d'un estimateur reposant sur la
déformation des bases d'ondelettes.
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Dates et versions

tel-00121197 , version 1 (19-12-2006)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00121197 , version 1

Citer

Thomas Willer. Estimation non paramétrique et problèmes inverses. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00121197⟩
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