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            <abstract xml:lang="en">
              <p>This thesis deals with asymptotic methods for electromagnetism in &lt;br /&gt;heterogeneous domains with thin layer. The motivation is the &lt;br /&gt;computation of electromagnetic fields in biological cells, which are &lt;br /&gt;highly heterogeneous media. We replace the thin cytoplasmic &lt;br /&gt;membrane with an appropriate condition on the boundary of the &lt;br /&gt;cytoplasm and we estimate the error. &lt;br /&gt; Two equations are considered: the steady state voltage equation and &lt;br /&gt;Helmholtz equation. For the low frequency case, we suppose that &lt;br /&gt;Neumann condition is imposed on the exterior boundary of the cell. We&lt;br /&gt; build approximated boundary condition, which is valid for an &lt;br /&gt;insulating (even perfectly insulating) thin membrane. For Helmholtz &lt;br /&gt;equation, we suppose that the cell is embedded in an ambiant medium&lt;br /&gt; and we build transmission conditions equivalent to the thin &lt;br /&gt;membrane. All these results are proved and numerically computed.&lt;br /&gt; For the high-frequency assumption (the frequency tends to infinity), &lt;br /&gt;we build generalized impedance condition using pseudo-differential &lt;br /&gt;approach equivalent to the membrane. We conclude this thesis with a &lt;br /&gt;work with Michael Vogelius on the high frequency scattering by a small&lt;br /&gt; circular inhomogeneity.</p>
            </abstract>
            <abstract xml:lang="fr">
              <p>Dans cette thèse, nous présentons des méthodes asymptotiques &lt;br /&gt;mathématiquement justifiées permettant de connaître les champs &lt;br /&gt;électromagnétiques dans des milieux à couches minces hétérogènes. &lt;br /&gt;La motivation de ce travail est le calcul du champ électrique dans des &lt;br /&gt;cellules biologiques composées d'un cytoplasme conducteur entouré &lt;br /&gt;d'une fine membrane très isolante. &lt;br /&gt;Nous remplaçons la membrane, lorsque son épaisseur est infiniment &lt;br /&gt;petite, par des conditions de transmission ou des conditions aux &lt;br /&gt;limites appropriées et nous estimons l'erreur commise par ces &lt;br /&gt;approximations.&lt;br /&gt; Pour les basses fréquences, nous considérons l'équation quasistatique&lt;br /&gt;donnant le potentiel dont dérive le champ. A l'aide d'un &lt;br /&gt;calcul en géométrie circulaire nous obtenons les expressions explicites&lt;br /&gt; du potentiel et nous en déduisons les asymptotiques du champ &lt;br /&gt;électrique, en fonction de l'épaisseur de la couche mince, avec des &lt;br /&gt;estimations de l'erreur. Nous estimons ensuite la différence entre le &lt;br /&gt;champ réel et le champ statique. Puis nous généralisons notre &lt;br /&gt;développement asymptotique à une géométrie quelconque. &lt;br /&gt; La deuxième partie de cette thèse traite des moyennes fréquences : &lt;br /&gt;nous donnons le développement asymptotique de la solution de &lt;br /&gt;l'équation de Helmholtz lorsque l'épaisseur de la membrane tend vers &lt;br /&gt;0. Tous ces précédents résultats sont illustrés par des calculs par &lt;br /&gt;éléments finis.&lt;br /&gt; Enfin, pour les hautes fréquences, nous construisons une condition &lt;br /&gt;d'impédance pseudodifférentielle permettant de concentrer l'effet de &lt;br /&gt;la couche sur son bord intérieur. Nous concluons cette thèse par un &lt;br /&gt;problème de diffraction à haute fréquence d'une onde incidente par &lt;br /&gt;un disque de petite taille. A l'aide d'une analyse pseudodifférentielle, &lt;br /&gt;nous bornons la norme de la trace du champ diffracté à distance fixe &lt;br /&gt;de l'inhomogénéité en fonction de la taille de l'objet et de l'onde &lt;br /&gt;incidente.</p>
            </abstract>
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