Quelques apects géométriques et dynamiques du mapping class group - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 1998

Some geometrical and dynamical aspects of the mapping class group

Quelques apects géométriques et dynamiques du mapping class group

Résumé

Let S be a compact oriented surface equipped with n+1 distinguished points. In the first chapter of this thesis, we recall the theory of efficient representatives for a pseudo-Anosov element of the mapping class group of S. This objects have been introduced by Bestvina-Handel and Los.

In the second chapter, we expose the theory of good representatives and super efficient representatives of a pseudo-Anosov map fixing the puncture x_0. We show that the set of super efficient representatives has a special structure : it is a union of a finite number of cycles, the cycles are looped around when applying some elementary combinatorial operations. We derive from this result algorithms to decide if a given homeomorphism f - or its isotopy class - admits a root fixing x_0, or commutes with a finite order homeomorphism fixing x_0. We also give a new solution to the conjugacy problem among pseudo-Anosov elements of the mapping class group fixing x_0.

In the third chapter, we consider a homeomorphism f of the disk and O a periodic orbit for f of period n>=3. We give a lower bound for the topological entropy of the homeomorphisms isotopic to f relatively to O. This estimation is obtained using the theory of efficient representatives.

In the fourth chapter, we give necessary and sufficient conditions for a given n-string braid beta to admit a destabilization or an exchange move. These conditions are expressed in terms of the element of the mapping class group induced by the braid beta.
Dans le premier chapitre de ce travail, nous rappelons la théorie des représentants efficaces d'un élément pseudo-Anosov du mapping class group d'une surface S compacte orientée munie de n+1 points marqués. Ces objets ont été introduits par Bestvina-Handel et Los.

Le deuxième chapitre contient l'exposé de la théorie des bons représentants et des représentants super efficaces d'un homéomorphisme pseudo-Anosov f fixant le point marqué x_0. Nous montrons ensuite un résultat de structure sur l'ensemble des représentants super efficaces : cet ensemble est une union d'un nombre fini de cycles qui sont parcourus en appliquant des opérations combinatoires. Nous en déduisons des algorithmes permettant de décider si l'homéomorphisme f - ou, ce qui est équivalent, sa classe d'isotopie - admet une racine fixant x_0, ou commute avec un élément d'ordre fini fixant x_0. Nous en déduisons également une nouvelle solution au problème de conjugaison parmi les éléments pseudo-Anosov du mapping class group qui fixent x_0.

Dans le troisième chapitre, nous considérons un homéomorphisme f du disque et O une orbite de période n>=3 pour f. Nous donnons une minoration de l'entropie topologique des homéomorphismes isotopes à f relativement à O. Cette minoration est obtenue à l'aide de la théorie des représentants efficaces.

Dans le quatrième chapitre, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une tresse beta à n brins admette une déstabilisation ou un mouvement d'échange. Ces conditions sont des propriétés sur l'élément du mapping class group induit par la tresse beta.
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Dates et versions

tel-00124712 , version 1 (15-01-2007)

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  • HAL Id : tel-00124712 , version 1

Citer

Jérôme Fehrenbach. Quelques apects géométriques et dynamiques du mapping class group. Mathématiques [math]. Université Nice Sophia Antipolis, 1998. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00124712⟩
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