La trace en géométrie projective et torique. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2006

Trace in projective and toric geometry.

La trace en géométrie projective et torique.

Résumé

We present in the first part an algebraic residual characterization
of usual trace-forms on local analytic hypersurfaces. We thus obtain a stronger version of the Abel-inverse theorem by Passare and Henkin in projective space and we relate it to the theorem by Wood on the algebraicity of local analytic hypersurfaces. We show how those inversion theorems can be anderstood as a rigidity propriety of a particular differential system linked to the wave choc
equation and we obtain a new method to compute the dimension of the vector space of abelian forms of maximal degree on a projective hypersurface.
The second part begins with a combinatorial characterization of satisfactory families of line bundles on a smooth complete toric variety to obtain an intrinsec notion of toric concavity allowing a toric generalisation of the trace. The use of toric residues and residue currents permits to show a toric version of Wood's and inverse Abel's theorem, providing a more precise description of the defining
polynomial in the hypersurface case.
On étudie la notion de trace et les problèmes d'Abel-inverse à
l'aide du calcul résiduel dans les cadres projectifs et toriques.
Dans la première partie, on obtient une caractérisation algébrique des formes traces sur une hypersurface analytique à l'aide du calcul résiduel élémentaire d'une variable. En conséquence, une version plus forte du théorème d'Abel-inverse de Henkin et Passare est prouvée. On montre que ce théorème est conséquence de la rigidité d'un système différentiel particulier lié à une équation de type ”onde de choc” et on établit le lien avec le théorème de Wood sur l'algébricité d'une famille de germes d'hypersurfaces analytiques. Enfin, on obtient une nouvelle méthode pour calculer la dimension de l'espace des formes abéliennes de degré maximal sur une hypersurface projective.
Dans la seconde partie, on caractérise de manière combinatoire les familles de fibrés en droites permettant de définir une notion intrinsèque de concavité dans une variété torique complète lisse et on étudie les ensembles analytiques dégénérés correspondants. On étend ainsi la notion de trace au cas torique. Courants résidus, résidus toriques et résultants donnent une borne optimale sur le degrés des traces en les différents paramètres. Si la variété torique est projective, on obtient finalement une version torique des théorèmes de Wood et d'Abel-inverse, permettant une description plus précise du support du polynôme construit dans le cas hypersurface.
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Dates et versions

tel-00136109 , version 1 (13-03-2007)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00136109 , version 1

Citer

Martin Weimann. La trace en géométrie projective et torique.. Mathématiques [math]. Université Sciences et Technologies - Bordeaux I, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00136109⟩
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