Définition combinatoire des polynômes de Kazhdan-Lusztig - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2006

Définition combinatoire des polynômes de Kazhdan-Lusztig

Combinatorial definition of Kazhdan-Lusztig polynomials

Ewan Delanoy
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 838930

Résumé

The theory of Coxeter groups, originating in the study
of isometry groups, provides a connection
between many areas in algebra and geometry, ranging
from representation theory (of Coxeter groups, Lie
groups, Lie algebras and Hecke algebras) and algebraic geometry (Schubert varieties)
to combinatorics (the Bruhat order).
Kazhdan-Lusztig polynomials appear in rather different
forms in several of those fields : those polynomials can be defined as the
coordinates of a remarkable basis of the Hecke algebra,
(which yields nontrivial representations
of this algebra),
their value at 1 appears in the decomposition
of certain Verma modules, and their coefficients can be
interpreted as dimensions of certain local homology spaces.
The original definition of the Kazhdan-Lusztig polynomials
translates into an inductive (and involved) computational definition,
which naturally leads to the open question about the possibility of a
purely combinatorial definition. This report tries to show
some of the latest efforts that have been made towards answering
this question. Our main result is
that an isomorphism between two lower Bruhat intervals preserves
Kazhdan-Lusztig polynomials. We also provide heuristic
arguments (both theoretical and computational) that support
the conjecture that this also holds for an isomorphism
between completely compressible
intervals in finite Coxeter groups.\newline

Keywords : Coxeter group, Kazhdan-Lusztig polynomial,
reflection subgroup, Bruhat interval, special matching,
completely compressible interval
La théorie des groupes de Coxeter, qui a pour origine l'étude des groupes
d'isométries, permet de relier entre eux divers domaines d'algèbre et de
géométrie, allant de la théorie des representations (des groupes de Coxeter
et de Lie, des algèbres de Lie et de Hecke) et de la géométrie algébrique
(variétés de Schubert) à la combinatoire (ordre de Bruhat). Les polynômes
de Kazhdan-Lusztig apparaissent sous des formes assez différentes dans plusieurs
de ces domaines : ces polynômes
peuvent être définis comme coordonnées d'une base
remarquable de l'algèbre de Hecke (ce qui donne une représentation non triviale
de cette algèbre), leur valeur au point 1 intervient dans la décomposition de certains
modules de Verma, et leur coefficients peuvent être interprétés comme des dimensions
de certains espaces d'homologie locale. La définition originale de ces polynômes
se traduit par une formule de récurrence compliquée qui conduit naturellement à
s'interroger sur une éventuelle définition purement combinatoire. Ce rapport essaye
de montrer quelques développements récents dans les tentatives de réponse à cette
question. Notre résultat principal est le suivant : un isomorphisme entre
deux intervalles initiaux préserve les polynômes de Kazhdan-Lusztig. Nous explicitons
également des arguments (théoriques et calculatoires)
tendant à confirmer la conjecture que cela reste vrai pour un isomorphisme entre des intervalles
complètement compressibles dans des groupes de Coxeter finis.\newline

Mots-clés : groupe de Coxeter, polynôme de Kazhdan-Lusztig,
sous-groupe de réflections, intervalle de Bruhat, couplage distingué,
intervalle complètement compressible
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Dates et versions

tel-00137528 , version 1 (20-03-2007)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00137528 , version 1

Citer

Ewan Delanoy. Définition combinatoire des polynômes de Kazhdan-Lusztig. Mathematics [math]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2006. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00137528⟩
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