Computation on the reals.<br />Comparison of some models - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2006

Computation on the reals.
Comparison of some models

Modèles de calcul sur les réels, résultats de comparaison

(1)
1

Abstract

Computation on the real numbers can be modelised in several different ways.
There indeed exist a lot of different computation models on the reals.
However, there exist few results for comparing those models, and most of these
results are incomparability results. The case of computation over the real
numbers hence is quite different from that of computation over integer numbers
where Church-Turing's thesis claims that all reasonable models compute exactly
the same functions.

The results presented in this document are twofold.
One, we show that recursively computable functions (in the sense of
computable analysis) can be shown equivalent to some adequately defined
subclass of R-recursive functions, and also to GPAC-computable functions
with GPAC-computable roughly meaning computable through a converging
GPAC. Hence we get a machine independent characterization of recursively
computable functions, and a bridge between type 2-machines and GPAC.
Two, more than an analog characterization of recursively enumerable
functions, we show that the limit operator we defined can be used to provide
an analog characterization of elementarily computable functions and
En-computable functions for n?3, where En
represents the levels of Grzegorczyk's hierarchy.

Those results can be seen as a first step toward a unification of computable
functions over the reals.
Il existe de nombreux modèles de calcul sur les réels. Ces différents modèles
calculent diverses fonctions, certains sont plus puissants que d'autres,
certains sont deux à deux incomparables. Le calcul sur les réels est donc de
ce point de vue bien différent du calcul sur les entiers qui est unifié par la
thèse de Church-Turing qui affirme que tous les modèles raisonnables calculent
les mêmes fonctions.

Les résultats de cette thèse sont de deux sortes. Premièrement, nous
montrons des équivalences entre les fonctions récursivement calculables et une
certaine classe de fonctions R-récursives et entre les fonctions
GPAC-calculables et les fonctions récursivement calculables. Ces deux
résultats ne sont cependant valables que si les fonctions présentent quelques
caractéristiques : elles doivent être définies sur un compact et dans le
premier cas être de classe C^2. Deuxièmement, nous montrons également une
hiérarchie de classes de fonctions R-récursives qui caractérisent les
fonctions élémentairement calculables, les fonctions
En-calculables pour n?3 (où les En sont les
fonctions de la hiérarchie de Grzegorczyk), et des fonctions récursivement
calculables. Ce résultat utilise un opérateur de limite dont nous avons prouvé
la généralité en montrant qu'il transfère une inclusion sur la partie discrète
des fonctions en une inclusion sur les fonctions sur les réels elles-mêmes.

Ces résultats constituent donc une avancée vers une éventuelle
unification des modèles de calcul sur les réels.
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Dates and versions

tel-00142675 , version 1 (20-04-2007)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00142675 , version 1

Cite

Emmanuel Hainry. Modèles de calcul sur les réels, résultats de comparaison. Autre [cs.OH]. Institut National Polytechnique de Lorraine - INPL, 2006. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00142675⟩
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