% header generico%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section*{Cálculo de la amplitud de las fluctuaciones re\-la\-ti\-vas de velocidad $\frac{\sigma_v}{U}$ para reología de tipo ley de potencias}
\label{apenb}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

En la sección \ref{modificacion-de-la-distribucion-de-velocidades} se presentaba un modelo de canales paralelos independientes, en el cual se asume $\bar v(x,y) = v(y)\;\hat x$ ($\hat x$ es la dirección el flujo).
%La distribución $v(y)$ de velocidades entre diferentes canales está directamente asociada a la distribución de aperturas $h(x,y)$.
Consideremos el caso de un fluido newtoniano. En cada canal la velocidad está vinculada al gradiente de presión $\nabla P$ según la ecuación de Darcy:
\\

\begin{equation}
v = \frac{d^2}{12 \mu_0}\nabla P 
\label{up}
\end{equation}
\\
donde $d$ es la apertura hidráulica del canal y $\mu_0$ la viscosidad.

Para el caso de un fluido descripto por el modelo de ley de potencias, se obtiene una expresión de Darcy generalizada \cite{gabbanelli05}:
\\

\begin{equation}
v \propto \left ( \frac{d^2\nabla P}{12\mu_{eff}} \right )^\frac{1}{n}
\label{apenvleypot}
\end{equation}
\\
con $\mu_{eff} = \mu_0 \dot{\gamma_0}^{1-n}/(2 d^{n-1})
((2n+1)/3n)^n$, donde $\dot{\gamma_0}, \mu_0$ y $n$ son los pa\-rá\-me\-tros reológicos descriptos en la sección \ref{modelo-de-carreau}.
En ese caso tenemos:
\\

\begin{equation}
v \propto d^{{{1 + n} \over n}}
\label{eqn:v_de_napen}
\end{equation}
\\
En estudios previos \cite{zimmerman91,brown87} se mostró, asumiendo fluctuaciones suaves en la apertura, que la apertura hidráulica está bien aproximada por la apertura geométrica. Para la la fractura ``autoafín'', la apertura hidráulica $d(y)$ correspondiente a cada canal podría estimarse del campo de aperturas $h(x,y)$ de la fractura, según $d(y)^{2} = \left\langle {h(x,y)^2 } \right\rangle _x$.
La validez de este modelo fue testeada numéricamente utilizando un campo de aperturas similar al de nuestra fractura modelo ``autoafín'' \cite{auradou06}.
En lo sucesivo utilizaremos la nomenclatura $h(y)$ en lugar $d(y)$ dado que esta apertura hidráulica de cada canal esta asociada al campo  de aperturas geométrico $h(x,y)$.


Considerando la apertura hidráulica de cada canal dada por $h(y)$ y utilizando la ecuación \ref{eqn:v_de_napen}, tenemos:
\\

\begin{equation}
 v(y) \propto h(y)^{{{1 + n} \over n}}
\label{up}
\end{equation}
\\

En la figura \ref{fig:comparafrentesnumexp} se puede observar una comparación entre el perfil $h(y)$  obtenido del campo de aperturas diseñado para la fractura modelo ``autoafín'', y el frente de desplazamiento caracterizado por la línea de iso-concentración para una experiencia de las EFAF.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figurasapen/comparafrentesnumexp.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Comparación cualitativa: Abajo: Frente de desplazamiento caracterizado por la línea de iso-concentración para la mitad del transcurso de una experiencia de las EFAF con solución de 1000 ppm (Pe = 600). Arriba: perfil $h(y)$ dado por $h(y)^{2} = \left\langle {h(x,y)^2 } \right\rangle _x$, correspondiente al campo de aperturas $h(x,y)$ de la fractura modelo ``autoafín''. 
}
\label{fig:comparafrentesnumexp}
\end{figure}
\FloatBarrier
En la figura \ref{fig:histohdey} puede observarse que los valores de $h(y)$ siguen una distribución de tipo gaussiana.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figurasapen/a_de_y_histo.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Histograma de valores de $h(y)$ para el campo de aperturas de la fractura modelo ``autoafín''de las EFAF y su correspondiente ajuste por una función gaussiana.
}
\label{fig:histohdey}
\end{figure}
\FloatBarrier
En virtud de carácter gaussiano de la distribución de $h(y$), para poder calcular los momentos $\sigma _y (v(y))=\left( {\left\langle {v(y)^2 } \right\rangle _y  - \left[ {\left\langle {v(y)} \right\rangle _y } \right]^2 } \right)^{1/2}$ y $\left\langle v(y)\right \rangle_y$, debemos calcular integrales de la forma:
\\

\begin{equation}
\left\langle {h^\alpha  } \right\rangle  = \int\limits_{ - \infty }^\infty  {{{h^\alpha  } \over {\sigma \sqrt {2\pi } }}} \exp \left( {{{(h - \bar h)^2 } \over {2\sigma ^2 }}} \right)dh
\label{up}
\end{equation}
\\
donde denominamos $h$ a $h(y)$, $\bar{h}$ a $\left\langle {h(y)} \right\rangle _y$ y $\sigma$ a ${\sigma _y \left( {h(y)} \right)}$ por brevedad y donde $\alpha$ es arbitrario.
Si realizamos un cambio de variable $w = {{h - \bar h} \over \sigma }$ tenemos:
\\

\begin{equation}
\left\langle {h^\alpha  } \right\rangle  = \int\limits_{ - \infty }^\infty  {{{\left( {\sigma w + \bar h} \right)^\alpha  } \over {\sqrt {2\pi } }}} \exp \left( { - {{w^2 } \over 2}} \right)dw = \left( {\bar h} \right)^\alpha  \int\limits_{ - \infty }^\infty  {{{\left( {S_h w + 1} \right)^\alpha  } \over {\sqrt {2\pi } }}\exp \left( { - {{w^2 } \over 2}} \right)dw} 
\label{up}
\end{equation}
\\
donde $S_h= {{\sigma _y \left( {h(y)} \right)} \over {\left\langle {h(y)} \right\rangle _y }}$ mide la magnitud de las fluctuaciones relativas de apertura hidráulica. En el campo de aperturas diseñado para la fractura modelo autoafín utilizada en las EFAF, $S_h = 0.022$.

Si $S_h<<1$, y teniendo en cuenta que el integrando tiende a cero para $\left| w \right| >  > 1$ entonces podemos utilizar la aproximación: 
\\

\begin{equation}
\left( {S_hw + 1} \right)^\alpha   = 1 + \alpha S_h w + {{S_h ^2 w^2 } \over 2}\alpha (\alpha  - 1) + O(S_h ^3 )
\label{up}
\end{equation}
\\

y finalmente calculando la integral tenemos: 
\\

\begin{equation}
\left\langle {h^\alpha  } \right\rangle  = \left( {\bar h} \right)^\alpha  \left( {1 + {{S_h ^2 w^2 } \over 2}\alpha (\alpha  - 1)} \right)
\label{up}
\end{equation}
\\

Podemos entonces usar este resultado para calcular los momentos gaussianos asociados a $v(y)$, según:
\\

\begin{equation}
\sigma _y \left( {v(y)} \right) = cte. \; \sigma _y \left( {\left( {h(y)} \right)^{{{n + 1} \over n}} } \right) = cte. \; \left( {\left\langle {\left( {h(y)} \right)^{{{2n + 2} \over n}} } \right\rangle _y  - \left[ {\left\langle {\left( {h(y)} \right)^{{{n + 1} \over n}} } \right\rangle _y } \right]^2 } \right)^{1/2} 
\label{up}
\end{equation}
\\
y:
\\

\begin{equation}
\left\langle {v(y)} \right\rangle _y  =  cte. \; \left\langle {\left( {h(y)} \right)^{{{n + 1} \over n}} } \right\rangle _y 
\label{up}
\end{equation}
\\

resultando:
\\

\begin{equation}
{{\sigma _y \left( {v(y)} \right)} \over {\left\langle {v(y)} \right\rangle _y }} \simeq {{\left( {{{n + 1} \over n}} \right)S_h } \over {1 + {{S_h ^2 } \over 2}\left( {{{n + 1} \over n}} \right)\left( {{{1 - n} \over n}} \right)}} \simeq \left( {{{n + 1} \over n}} \right)S_h 
\label{up}
\end{equation}
\\

Dado que $S_h=0.022$, $n_{500 ppm}=0.38$, $n_{1000 ppm}=0.26$, los valores estimados de
${{\sigma _y \left( {v(y)} \right)} \over {\left\langle {v(y)} \right\rangle _y }}$ son $0.106$ para 1000 ppm y $0.081$ para 500 ppm.

 
Utilizando la ecuación \ref{eqn:sigmaxsigmav} (recordamos):
\\

\begin{equation}
{{\sigma _y (x_f (y,t))} \over {\left\langle {x_f (y,t)} \right\rangle _y }} = {{\sigma _y (v(y))\;t} \over {\left\langle {v(y)} \right\rangle _y t}} = {{\sigma _y (v(y))\;} \over {\left\langle {v(y)} \right\rangle _y }} \equiv {{\sigma _v } \over U}
\label{eqn:sigmaxsigmav2}
\end{equation}
\\

tenemos:
\\

\begin{equation}
\left({{\sigma _y (x_f (y,t))} \over {\left\langle {x_f (y,t)} \right\rangle _y }}\right)_{500 ppm} = 0.081
\label{up}
\end{equation}
\\
y:
\\

\begin{equation}
\left({{\sigma _y (x_f (y,t))} \over {\left\langle {x_f (y,t)} \right\rangle _y }}\right)_{1000 ppm} = 0.106
\label{up}
\end{equation}
\\
Estos valores límites son los que se observan  en la figura \ref{fig:sigmaxsurx2} que copiamos aquí:

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/sigmaxsurx.eps}%[width=12cm]             
\caption{ Variación de ${{\sigma _y (x_f (y,t))} \over {\left\langle {x_f (y,t)} \right\rangle _y }} $ con la velocidad adimensionalizada $U/U_c$. Los círculos (cuadrados) corresponden a la solución de 1000 ppm (500 ppm). Los límites indicados en línea punteada corresponden al desarrollo teórico presentado en este apéndice.}
\label{fig:sigmaxsurx2}
\end{figure}
 










%En la figura \ref{fig:sigmaxsurx} se mostraba la variación de ${{\sigma _y (x_f (y,t))} \over {\left\langle {x_f (y,t)} \right\rangle _y }} $ con la velocidad adimensionalizada $U/U_c$.
%
%En este apéndice se presenta un cálculo para obtener los valores de ${{\sigma _y (v(y))\;} \over {\left\langle {v(y)} \right\rangle _y }}$ correspondientes al límite $U >> U_c$, en el cual la reología del fluido está bien descripta por el modelo de ley de potencias. 





%\end{document}
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