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En este capítulo se presentan las experiencias realizadas en uno de los modelos experimentales: la fractura de geometría autoafín. Se exponen los métodos de interpretación y se analizan los resultados obtenidos.

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\section{Introducción}
\label{}
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Como se describió en el capítulo anterior, utilizando la técnica de transmisión de luz se puede calcular la variación local de concentración de trazador $c(x,y,t)$ para cualquier posición en la fractura.
En la figura \ref{fig:bandaverdeadifpe} se muestran los mapas de concentraciones en falso color para diferentes caudales de inyección (al tiempo correspondiente a la mitad del trancurso de una experiencia). Puede observarse como la zona de mezcla o frente de desplazamiento (zona de concentraciones intermedias) modifica su estructura al variar el caudal de inyección.

 Los resultados se presentan frecuentemente en función del número de Peclet ($Pe$), definido en la sección \ref{ecuacion-macroscopica-de-conveccion-dispersion}, como $Pe=U d/D_m$, donde $U$ es la velocidad media de flujo, $d$ es la apertura media de la fractura, y $D_m$ es el coeficiente de difusión molecular.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13cm]{figuras3/bandaverdeadifpe.eps}%[width=12cm]             
\caption{Mapas de concentraciones en falso color para diferentes caudales de inyección (o diferentes $Pe$). Se puede observar como el frente de desplazamiento modifica su estructura al variar el caudal.}
\label{fig:bandaverdeadifpe}
\end{figure}

En la sección \ref{dispersion-en-medios-homogeneos} se describieron los dos mecanismos principales que intervienen en el proceso de dispersión: el que se debe a las variaciones macroscópicas (o globales) de velocidad a gran escala asociadas a la geometría del medio por un lado y los que se relacionan con la acción combinada de las variaciones locales de velocidad en el espesor junto a la difusión molecular por otro.



\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/displocalvsglobal.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Esquema ilustrativo de los mecanismos principales de dispersión, el asociado a las variaciones a gran escala de la velocidad (que se pone de manifiesto al comparar distintas posiciones en el ancho de la fractura) y el mecanismo de Taylor, asociado al proceso de mezcla local, producto de la variación de velocidades en el espesor junto a la difusión molecular.}
\label{fig:displocalvsglobal}
\end{figure}

\FloatBarrier
En la figura \ref{fig:displocalvsglobal} y \ref{fig:esquemagloballocal2}, en un esquema y en un mapa de concentraciones de una experiencia real respectivamente, se ilustran los mecanismos citados en la geometría de la fractura.

%Estos mecanismos pueden ser relacionados con lo que se observa en la figura \ref{fig:bandaverdeadifpe}, tal como se muestra en la figura \ref{fig:esquemagloballocal2}, donde se muestra la correspondencia que a priori se puede establecer entre los diferentes mecanismos y la estructura del frente de desplazamiento.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/esquemagloballocal2.eps}%[width=12cm]             
\caption{ Mapa de intensidades normalizadas codificado en falso color correspondiente a la mitad de transcurso de una experiencia para $Pe=60$ (1000 ppm). La banda en color verde (claro) es el frente de desplazamiento (o zona de mezcla). La distancia $A$ representa la magnitud del esparcimiento asociado a los mecanismos globales, mientras que la distancia $a$ representa la que corresponde a los mecanismos locales). }
\label{fig:esquemagloballocal2}
\end{figure}

\FloatBarrier

Para poder identificar y caracterizar en detalle los diferentes procesos mencionados, se realizaron diversos tipos de análisis utilizando distintas me\-to\-do\-lo\-gías.
En la siguiente sección describiremos cada una de las metodologías utilizadas para el análisis e interpretación de las EFAF.



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\section{Variaciones temporales de concentración}
\label{variaciones-temporales-de-concentracion}
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En la sección \ref{ecuacion-macroscopica-de-conveccion-dispersion} se presentó la ecuación macroscópica de convección-dispersión (ecuación \ref{eqn:dispmacro}), y la solución para condiciones iniciales de tipo función escalón en la concentración (ver ecuación \ref{eqn:erf}).

Resulta de interés entonces estudiar si ésta solución describe en forma sa\-tis\-fac\-to\-ria las variaciones temporales locales de concentración obtenidas ex\-pe\-ri\-men\-tal\-men\-te, y luego caracterizar los momentos gaussianos de estas variaciones temporales de concentración (valor medio y la desviación cuadrática media).
En el caso que la solución represente bien los datos experimentales, se pueden calcular de esta forma el tiempo medio de tránsito (que corresponde al primer momento gaussiano) y el coeficiente de dispersión (que se deriva del segundo momento gaussiano, la desviación cuadrática media) asociados a la variación temporal de concentración.

Si dividimos  el denominador y el numerador del argumento de la función error de la ecuación \ref{eqn:erf} por la velocidad media $U$, se obtiene la siguiente expresión:
\\

\begin{equation}
c = \frac{1}{2} \left[1 \pm  erf  \left(\frac{t-\overline{t}}{\sqrt{4\frac{D}{U^2} t}} \right)\right]
\label{eqn:fiteonerror}
\end{equation}
\\
donde el signo positivo corresponde al caso en el que una solución con trazador desplaza una sin trazador y el signo negativo al caso inverso.


A partir de la ecuación \ref{eqn:fiteonerror} se genera la función de ajuste de $c(t)$, dada por la expresión:
\\

\begin{equation}
{{c(t) = }}{1 \over 2}\left[ {{{(1}} \pm {{erf(}}{{{{ t  -  w}}_{{0}} } \over {{{2 w}}_{{1}} \sqrt {{{ t}}} }}))} \right]
\label{eqn:fiteonerrorparam}
\end{equation}
\\
Comparando con la ecuación \ref{eqn:fiteonerror} los parámetros de ajuste $w_0$ y $w_1$ quedan definidos como:

\begin{center}

$w_0=\overline{t}$,  $w_1=\sqrt{\frac{D}{U^2}}$
\\
\end{center}

Una de las principales ventajas de calcular los momentos gaussianos en este tipo de variaciones realizando un ajuste (en lugar del cómputo directo sobre los datos utilizando las integrales que los definen) es que resulta un método más robusto al ser menos sensible a la existencia de ruido o singularidades en los datos experimentales.

De esta forma una vez realizado el ajuste se obtienen $w_0$ y $w_1$, para una dada velocidad media $U$ (que puede ser determinada de diferentes formas tal como se verá en las secciones siguientes), y pudiéndose obtener $D$ de la siguiente manera :

\begin{center}
    
$w_1=\sqrt{\frac{D}{U^2}}$ $\Rightarrow$ $D={w_1^2 U^2} $\\

\end{center}
En la figura \ref{fig:c_de_t} se puede observar, a modo de ejemplo, la variación temporal de la concentración normalizada para una posición dada y el correspondiente ajuste con la función de la ecuación \ref{eqn:fiteonerrorparam}. Puede observarse que existe una buena concordancia entre ambos.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/c_de_t.eps}%            
\caption{Variación temporal de la concentración normalizada $c(t)$ para $x=168\, mm$ $y=36\, mm$ para una experiencia con solución de $1000\, ppm$ en las EFAF $(Pe = 150)$. En línea llena se muestra el ajuste utilizando la función de la ecuación \ref{eqn:fiteonerror}. En línea punteada se muestran en forma cualitativa los momentos gaussianos correspondientes a esa variación temporal.}
\label{fig:c_de_t}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Análisis de la transición global-local mediante un diagrama espacio-temporal}
\label{diagrama-espaciotemporal}

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En primer lugar se implementó una de las técnicas que se utilizan ha\-bi\-tual\-men\-te en el estudio del fenómeno de dispersión \cite{koplik88,hulin89}, el análisis de las variaciones temporales de concentración a través de la creación de un diagrama espacio-temporal.

Como se describió  en el capítulo anterior, el registro de cada experiencia consta de una secuencia de mapas de concentración normalizada $c(x,y)$ (como el que se observa en la figura \ref{fig:imagconc}) correspondientes a los tiempos de adquisición de imágenes (típicamente se tomaron 100 imágenes por experiencia). Las dimensiones de cada mapa $c(x,y)$ son $N \times M$ pixels, donde $N$ está relacionado con la longitud de la fractura y $M$ con el ancho de la misma.

Para construir el diagrama espacio-temporal se procede de la siguiente manera: 

En el mapa de concentración $c(x,y)$ correspondiente a un tiempo dado,  se considera una banda de ancho $(b-a)$ pixeles dada por $0<x<N,a<y<b$ ; ($b$ y $a$ son dos valores arbitrarios).
Luego se realiza un promedio de la banda en la dirección $y$, según:
\\

\begin{equation}
c(x,t_0) = \left\langle {c(x,y,t_0 )} \right\rangle _{a < y < b} 
\label{up}
\end{equation}
\\
obteniéndose un vector $c(x,t_0)$ de $N$ elementos.
Variando el ancho $(b-a)$ de la banda se pueden estudiar características locales ($(b-a) \sim$ 1)  o globales (si $(b-a) \sim M$).
Se repite este procedimiento para todos los mapas $c(x,y)$ correspondientes a diferentes tiempos, obteniéndose $c(x)$ para cada tiempo $t$.

Arreglando los vectores $c(x)$ en una matriz en orden de tiempo creciente (tal como se muestra en la figura \ref{fig:spatioconstru}), se genera el diagrama espacio-temporal $c(x,t)$.
 

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13cm]{figuras3/spatioconstru.eps}%[width=12cm]             
\caption{Esquema de la construcción del diagrama espacio-temporal $c(x,t)$ y de la obtención de las variaciones temporales de concentración asociadas a distintas posiciones en el largo de la fractura.}
\label{fig:spatioconstru}
\end{figure}

\FloatBarrier

Una vez obtenido el diagrama, se consideran los perfiles temporales de concentración $c(x_i,t)$ correspondientes a una serie de puntos equiespaciados $x_i$ en la longitud de la fractura.
Se ajustan entonces estos perfiles utilizando la expresión \ref{eqn:fiteonerrorparam}, obteniéndose los parámetros de ajuste $w_0(x_i)$ y $w_1(x_i)$ para cada curva $c(x_i,t)$ (ver figura \ref{fig:esesjp1}).

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/esesjp1.eps}%[width=12cm]             
\caption{Variación temporal de la concentración $c(x_i,t)$  con su correspondiente ajuste por la función de la ecuación \ref{eqn:fiteonerrorparam} para diferentes valores de $x_i$ tomados a lo largo de la fractura. Los datos corresponden a una experiencia a $Pe=160$ para solución de 500 ppm.}
\label{fig:esesjp1}
\end{figure}

\FloatBarrier

Se representa luego la variación de la posición $x_i$ en función del tiempo de tránsito $\overline{t(x_i)}$. Realizando un ajuste con una función lineal, se obtiene la velocidad media $U$ de la pendiente de dicho ajuste (ver figura \ref{fig:velojp1}).

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/velojp1.eps}%[width=12cm]             
\caption{Variación de la posición $x_i$ con el tiempo de tránsito $\overline{t(x_i)}$ y el ajuste lineal para obtener la velocidad $U$. Los datos corresponden a una experiencia a $Pe=160$ para solución de 500 ppm.}
\label{fig:velojp1}
\end{figure} 

Conociendo $U$ y el parámetro de ajuste  $w_1=\sqrt{\frac{D}{U^2}}$, se calcula el coeficiente de dispersión $D(x_i)$ para cada curva $c(x_i,t)$.

Utilizando el diagrama espacio-temporal se puede estudiar si el proceso es de tipo difusivo o convectivo.

Si el proceso es convectivo se debe cumplir (ver ecuación \ref{eqn:espardifutemp}):
\\

\begin{equation}
\bar{\Delta} t \propto \bar t \Rightarrow \left( {\bar{\Delta t}} \right)^2  \propto \bar t^2 
\label{up}
\end{equation}
\\

mientras que si es difusivo
\\

\begin{equation}
\bar{\Delta} t \propto \sqrt {\bar t}  \Rightarrow \left( {\bar{\Delta t}} \right)^2  \propto \bar t
\label{up}
\end{equation}
\\
De esta forma, graficando $\left( {\bar{\Delta t}} \right)^2 $ en función de ${\bar t}$  se puede caracterizar la na\-tu\-ra\-le\-za del proceso.

Para ello se calculan los valores de $\left( {\bar{\Delta t}} \right)^2 {{(x}}_{{i}} {{)}} = {{{{D(x}}_{{i}} {{)}}} \over {{{U}}^{{2}} }}\bar t({{x}}_{{i}} )$ y se grafica su variación con $\bar t({{x}}_{{i}} )$.


  

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/deltat2jp1.eps}%[width=12cm]             
\caption{Variación de la desviación cuadrática media en función del tiempo de tránsito y el ajuste correspondiente por una función lineal para obtener el coeficiente de dispersión global. La variación lineal de $\Delta t^2$ con $\bar t$ implica un comportamiento de tipo difusivo. Los datos corresponden a una experiencia a $Pe=160$ para solución de 500 ppm. }
\label{fig:deltat2jp1o}
\end{figure}

\FloatBarrier

En la figura \ref{fig:deltat2jp1o} se observa la variación de la desviación cuadrática media en función del tiempo de tránsito y el ajuste correspondiente por una función lineal.
La variación lineal de $\bar{\Delta t^2}$ con $\bar t$ implica un comportamiento de tipo difusivo. Se puede obtener entonces el coeficiente de dispersión $D$  representativo a través de la pendiente del ajuste, dada por ${{{{D(x}}_{{i}} {{)}}} \over {{{U}}^{{2}} }}$ ($U$ se obtiene a partir del ajuste de la figura \ref{fig:velojp1} )

Este resultado fue obtenido para todas las experiencias cuando se con\-si\-de\-ra una banda de ancho $(b-a)\leq$  5 pixeles (si se realiza un análisis sobre una banda de un pixel el ruido es considerable, pero al utilizar una banda del orden de 5 pixeles éste se reduce sin perderse el carácter local del análisis).

En el caso de considerar una banda de ancho $(b-a)\simeq$ 400 pixeles (el ancho de la fractura), se obtuvieron variaciones de la desviación cuadrática media en función del tiempo de tránsito como la que se observa en la figura \ref{fig:deltat2jp1convec}, indicando que el proceso es convectivo.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/deltat2jp1convec.eps}%[width=12cm]             
\caption{Variación de la desviación cuadrática media en función del tiempo de tránsito y el ajuste correspondiente por una función cuadrática. En este caso la definición de un coeficiente de dispersión carece de sentido físico.
La variación cuadrática de $\bar{\Delta t^2}$ con $\bar t$ implica un comportamiento de tipo convectivo. Los datos corresponden a una experiencia a $Pe=160$ para solución de 500 ppm.}
\label{fig:deltat2jp1convec}
\end{figure}

Este estudio permite concluir que los mecanismos locales de dispersión  (cuando se considera una banda de pocos pixeles) son de tipo difusivo, mientras que a escala global los mecanismos predominantes son los convectivos, asociados a una inhomogeneidad a gran escala en el campo de velocidades.  

En vista de que la escala de observación resulta crucial en el análisis, se decidió desarrollar otro método para obtener información más detallada y precisa, basado en el análisis de las variaciones de concentración en la escala espacial correspondiente a un pixel (la menor que permite nuestro dispositivo experimental), para luego a partir de allí poder estudiar los mecanismos globales y locales. Este método es más costoso en tiempo de procesamiento de los datos pero puede proveer importante información adicional como por ejemplo la estructura geométrica del frente de desplazamiento, tal como veremos en la sección siguiente.

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\section{Variaciones temporales locales de concentración (VTLC)}
\label{variaciones-temporales-locales-de-concentracion}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
Para realizar un estudio a la escala del pixel (1 pixel $\simeq$ 0.18 mm) que permita un análisis más detallado de los fenómenos locales y globales, se utilizó el método VTLC (variaciones temporales locales de concentración).
El mismo consiste en realizar un ajuste de $c(t)$ con la función de la ecuación \ref{eqn:fiteonerrorparam} para todas y cada una de las posiciones (pixeles) $(x,y)$ independientemente.

Entonces del ajuste realizado para cada posición $(x,y)$ se obtienen valores independientes $w_0(x,y)$, $w_1(x,y)$, y a partir de ellos se calculan $\overline{t(x,y)}$ y $D(x,y)$.

La velocidad media $U(x,y)$ en cada posición se aproxima por ${x / \overline{t(x,y)}}$, siendo $x$ la distancia del pixel $(x,y)$ al origen de la fractura (zona de ingreso de fluido a la fractura).

El ajuste nos permite entonces  obtener, para cada pixel correspondiente a una posición en la fractura,  el tiempo de tránsito $\overline{t(x,y)}$ y el coeficiente de dispersión $D(x,y)$, relacionados con el valor medio y el ancho de la variación temporal de concentraciones respectivamente (ver \ref{mecanismo-de-dispersion-de-taylor}).
A través del análisis de las variaciones de estas dos cantidades se puede estudiar el aporte relativo de los diferentes mecanismos al fenómeno de transporte.


	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Método VTLC: Análisis relacionados con la distribución de tiempos de tránsito del trazador}
\label{vtlcmom1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Las variaciones espaciales de los tiempos de tránsito $\overline{t(x,y)}$  permiten estudiar la estructura del flujo a gran escala y la existencia de canales preferenciales en el mismo.

En la figura \ref{fig:canales_tmedio} se muestra a modo de ejemplo un  mapa en niveles de gris de los  tiempos de tránsito $\overline{t(x,y)}$ normalizados. Este tipo de mapas facilita la detección de canalización porque permite establecer visualmente, en forma cualitativa, la correlación espacial de los tiempos de tránsito sobre la fractura. Puede observarse la presencia de bandas de longitud similar a la de la fractura, lo que indica que la longitud de correlación de tiempos de tránsito es de ese orden. 

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13cm]{figuras3/canales_tmedio.eps}%[width=12cm]             
\caption{Mapa en niveles de gris de los tiempos de tránsito normalizados $t^* = \overline{t(x,y)}U/x$ (Pe=150, solución de 1000 ppm). Esta normalización permite saber en cada posición si el tiempo de tránsito es mayor o menor que el asociado a la velocidad media $U$ del frente de desplazamiento. El flujo es de izquierda a derecha. Las regiones oscuras (claras) corresponden a zonas donde $t^*< 1$ ($t^*> 1$). El campo de visión es de $16 \times 7.5$ cm, y la inyección se encuentra a 1 cm a la izquierda del borde izquierdo.}
\label{fig:canales_tmedio}
\end{figure}

Una característica importante del análisis del mapa de tiempos de tránsito es que permite determinar las coordenadas $(x,y)$ del frente de desplazamiento (o frente de iso-concentración) para un instante $t$ dado. 

Una forma de hacerlo es la siguiente: a un tiempo dado $t_0$, se considera el conjunto de puntos $(x,y)$ tales que $\overline{t(x,y)} =t_0$. Estos puntos $(x,y)$ determinan las coordenadas del frente de desplazamiento para $t = t_0$ (dado que si el frente está pasando por la posición $(x,y)$ a $t = t_0$, entonces el tiempo de tránsito correspondiente a esa posición  es $t_0$). 

Otra forma de definir el frente de desplazamiento consiste en calcular una línea de iso-concentración a un tiempo $t_0$, conformada por todos los puntos $(x,y)$ para los cuales $c = 0.5$.    

En la figura \ref{fig:c0p5-frente} se puede observar un mapa de concentraciones codificado en niveles de gris donde se muestra la coincidencia entre los frentes de des\-pla\-za\-mien\-to determinados de las dos formas descriptas, observándose una marcada concordancia.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/c0p5-frente.eps}%[width=12cm]             
\caption{Mapa de concentraciones codificado en niveles de gris (blanco: c = 1, negro: c = 0) correspondiente a la mitad del transcurso de una experiencia ($t = 800 s$) con solución polimérica de 1000 ppm (Pe = 150). La línea llena muestra el perfil $x_f(y)$ definido como los $(x,y)$ tal que $\overline{t(x,y)} = 800 s$ (la primera forma de obtener el frente $x_f(y)$). Los puntos blancos corresponden a los $(x,y)$ tal que $c(x,y)=0.50 \pm 0.03$.}
\label{fig:c0p5-frente}
\end{figure}

\FloatBarrier

En lo sucesivo, el frente de desplazamiento será caracterizado para cada tiempo $t$ por la línea dada por $x_f(y,t)$ que corresponde a la curva de isoconcentración $c(x,y)=0.5$.

Es importante destacar que el frente de desplazamiento así definido está relacionado con el tiempo de tránsito en cada pixel (primer momento gaussiano) pero no con la desviación cuadrática media (segundo momento gaussiano). 

Esto permite identificar por separado la componente de dispersión global del frente asociada a variaciones a gran escala del campo de velocidades (que llamaremos también macrodispersión) de la componente local de dispersión. 

En la figura \ref{fig:frentes_a_tiempos} se pueden ver un ejemplo de los frentes de desplazamiento $x_f(y,t)$ para distintos tiempos en el transcurso de una experiencia.
Puede observarse que el frente de desplazamiento mantiene considerablemente su estructura, mientras su amplitud va aumentando, en concordancia con lo observado en la figura \ref{fig:canales_tmedio} en cuanto a una longitud de correlación de tiempos de tránsito del orden del tamaño de la fractura (como ya se mencionó los canales preferenciales pueden tener longitudes del orden de la fractura).

Para estudiar cuantitativamente estas correlaciones de velocidad a gran escala y relacionarlas con las propiedades dominantes de transporte a escala global, se procedió a analizar la dinámica del frente de desplazamiento.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/frentes_a_tiempos.eps}%[width=12cm]             
\caption{Perfil de los frentes de desplazamiento a $t$ = 6.5, 8, 9.5, 11, 12.5 mi\-nu\-tos para una experiencia con solución polimérica de 1000 ppm (Pe=150).}
\label{fig:frentes_a_tiempos}
\end{figure}

%Una vez establecido el frente de desplazamiento $x_f(y)$ para todo tiempo en cada experiencia, resulta de interés investigar su evolución temporal, y su variación con el caudal de inyección y las características reológicas de los fluidos.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Análisis del fenómeno de dispersión global (o macrodispersión)}
\label{analisis-macro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Para caracterizar la posición y amplitud del frente de desplazamiento utilizamos el valor medio de $x_f(y,t)$ respecto de la coordenada $y$, $\left\langle x_f(y) \right \rangle_y $ y su desviación standard $\sigma_y(x_f (y))$, definida como $\sigma_y^2(x_f (y)) = \left\langle {(x_f (y) - \left\langle {x_f (y)} \right\rangle _y )^2 } \right\rangle _y$.
En la figura \ref{fig:esquemasigma} se puede observar un esquema que muestra cómo estas propiedades estadísticas caracterizan al frente de desplazamiento.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13cm]{figuras3/esquemasigma.eps}%[width=12cm]             
\caption{Esquema ilustrativo de cómo las propiedades estadísticas del frente de desplazamiento $x_f(y)$ describen su posición $\left\langle x_f(y) \right \rangle_y $ y su amplitud $\sigma_y(x_f (y))$.  }
\label{fig:esquemasigma}
\end{figure}

La variación temporal de $\left\langle x_f(y) \right \rangle_y $ está dada por la velocidad media de flujo impuesta por la bomba, que es igual al caudal de inyección dividido por la sección transversal dada por la apertura media y el ancho de la fractura. Se observó en todas las experiencias realizadas una variación lineal de $\left\langle x_f(y) \right \rangle_y $ con el tiempo, con excelente concordancia entre la velocidad media $U$ calculada a partir del caudal de la bomba y la velocidad dada por la pendiente de la variación lineal de $\left\langle x_f(y) \right \rangle_y$ con el tiempo.

La desviación standard $\sigma_y(x_f (y)) $ caracteriza la amplitud longitudinal del frente de desplazamiento, y su variación con el tiempo (o equivalentemente con la posición media $\left\langle x_f(y) \right \rangle_y = U t$) puede brindar información sobre la relación de velocidades entre diferentes posiciones a lo ancho de la fractura, por ejemplo, si el frente es de tipo plano o existen canales rápidos y lentos.

La variación temporal de $\sigma_y(x_f (y))$ indica si los mecanismos de transporte a gran escala presentan características difusivas o convectivas (ver \ref{mecanismo-de-dispersion-de-taylor}). En el caso de existir canales preferenciales de flujo, tal como lo sugieren las figuras \ref{fig:canales_tmedio} y \ref{fig:frentes_a_tiempos}, la diferencia de velocidades entre diferentes canales es el mecanismo predominante de dispersión a nivel global y en ese caso la amplitud del frente debería incrementarse linealmente con el tiempo (ver ecuación \ref{eqn:esparconvec}), en contraste con el caso difusivo donde la amplitud del frente debería variar como la raíz cuadrada del tiempo (ver ecuación \ref{eqn:espardifu}). 

En la figura \ref{fig:sigmalinealt} se puede observar, a modo de ejemplo, la variación temporal de $\sigma_y(x_f (y)) $ para dos experiencias realizadas con una solución de 1000 ppm.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/sigmalinealt.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Variación de la desviación standard $\sigma_y(x_f (y)) $ del frente de des\-pla\-za\-mie\-nto con $\left\langle x_f(y) \right \rangle_y $  para los caudales de inyección correspondientes a $Pe = 60$ ($\diamond$) y $Pe = 600$ ($\times$). En línea a trazos se observa una regresión lineal sobre los datos.
 }
\label{fig:sigmalinealt}
\end{figure}

En general se observó una variación marcadamente lineal con el tiempo de $\sigma_y(x_f (y))$, por lo tanto se pudo concluir que el mecanismo de transporte a gran escala es de tipo convectivo.

Esto concuerda con el resultado obtenido en la sección \ref{diagrama-espaciotemporal} (ver figura \ref{fig:deltat2jp1convec}).

Siendo las variaciones temporales de $\sigma_y(x_f (y))$ y de $\left\langle x_f(y) \right \rangle_y $ ambas de tipo lineal para cada caudal, el cociente de ambas debería ser entonces independiente del tiempo para cada experiencia y se puede utilizar para caracterizar cómo varía la distribución relativa de velocidades al variar $U$ (entre distintas experiencias), tal como se detalla en la sección siguiente.

% meter aca lo del full width

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\subsubsection{Modificación de la distribución de velocidades al variar el caudal de inyección}
\label{modificacion-de-la-distribucion-de-velocidades}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


 El análisis del frente de desplazamiento puede brindarnos información importante respecto de como se modifica la estructura del campo de velocidades cuando se varía el caudal de inyección (o lo que es lo mismo el número de $Pe$). En la sección \ref{modelo-de-carreau} se mostró como varía la viscosidad con la velocidad de deformación en los fluidos reofluidizantes y en la sección \ref{reologia-y-dispersion} se dedujo que el flujo de este tipo de fluidos puede tener componentes newtonianas y no newtonianas al variar la velocidad media $U$. También se indicó cómo se modificaba el perfil de velocidades y como se incrementaba la diferencia de velocidades entre canales de diferente permeabilidad al pasar de un flujo newtoniano a uno tipo ley de potencias.


En trabajos previos sobre este tipo de sistemas \cite{auradou06,drazer04} se estudió la anisotropía de las permeabilidades generada por el desplazamiento relativo entre dos superficies autoafines. En el caso de un desplazamiento per\-pen\-di\-cu\-lar a la dirección de flujo, éste genera un aumento relativo de la per\-mea\-bi\-li\-dad  y de la correlación a gran escala de las aperturas en la dirección de flujo (canales longitudinales). Esto permite aproximar la estructura de flujo por un arreglo bidimensional de canales paralelos independientes, donde la velocidad en una posición dada $(x,y)$ de la fractura se puede escribir como $\bar v(x,y) = v(y)\;\hat x$, donde $\hat x$ es el versor en la dirección de flujo. 
Las figuras \ref{fig:canales_tmedio} y \ref{fig:frentes_a_tiempos} sugieren que esta descripción es pertinente en nuestro sistema. En el apéndice B se muestra un cálculo estimativo de cómo $v(y)$ depende el campo de aperturas $h(x,y$) en el caso de fluidos descriptos por el modelo de ley de potencias.

En el marco del modelo de canales paralelos independientes, consideremos que el frente inicialmente se halla a $t=0$ en la entrada de la fractura. Entonces la posición $x$ a un tiempo $t$ será:
\\

\begin{equation}
x(y,t)= v(y) t, \left\langle x(y,t)\right \rangle_y = \left\langle v(y)\right \rangle_y t = U t
\label{up}
\end{equation}
\\
Luego   
\\

\begin{equation}
\frac{x(y,t)}{\left\langle x(y,t)\right \rangle_y} = \frac{v(y)}{ \left\langle v(y)\right \rangle_y}
\label{eqn:xmediavmedia}
\end{equation}
\\
Más aún, la desviación cuadrática media definida por:
\\

\begin{equation}
\sigma^2 _y (x_f (y,t)) = \left\langle {(x_f (y,t) - \left\langle {x_f (y,t)} \right\rangle _y )^2 } \right\rangle _y
\label{up}
\end{equation}
\\
debe satisfacer: $\sigma _y (x_f (y,t)) = \sigma _y (v(y))\;t$,
donde $\sigma _y (v(y))$ es la desviación cuadrática media de las velocidades.

Combinando con la ecuación \ref{eqn:xmediavmedia} tenemos:
\\

\begin{equation}
{{\sigma _y (x_f (y,t))} \over {\left\langle {x_f (y,t)} \right\rangle _y }} = {{\sigma _y (v(y))\;t} \over {\left\langle {v(y)} \right\rangle _y t}} = {{\sigma _y (v(y))\;} \over {\left\langle {v(y)} \right\rangle _y }} \equiv {{\sigma _v } \over U}
\label{eqn:sigmaxsigmav}
\end{equation}
\\

El análisis del frente de desplazamiento permite entonces determinar como varía la distribución de velocidades entre canales al variar la velocidad media $U$ (experimentalmente impuesta por la bomba) y al modificar las ca\-rac\-te\-rís\-ti\-cas reológicas de los fluidos.

Por otra parte, tal como se detalló en la sección \ref{reologia-y-dispersion}, existe una velocidad media crítica $U_c$ para la cual las velocidades de deformación superan el umbral que caracteriza la transición del comportamiento tipo newtoniano (plateau newtoniano de bajas velocidades) al comportamiento tipo ley de potencias.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 De la caracterización reológica de los fluidos utilizados se obtiene el valor de transición  $\dot \gamma_0$ (ver \ref{caracterizacion-de-los-fluidos-utilizados}) para cada concentración de polímero, y entonces se puede calcular la velocidad media crítica, como $U_c = \dot \gamma_0  d / 6$ ($d$ es la apertura media de la fractura). 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%55
 Para las soluciones de 500 ppm (1000 ppm), el valor de $U_c$ obtenido de esta forma es $0.001$ cm/s  ($0.0003$  cm/s). Los números de Peclet críticos ($Pe_c$) correspondientes a estas velocidades medias son respectivamente $11$ y $4$. Las velocidades medias utilizadas para este cálculo son solamente representativas; el gradiente de velocidades puede variar de forma significativa entre un punto y otro de la fractura.
Por otro lado, para la máxima velocidad de deformación dada por el rango de medición del reómetro utilizado, ($87 s^{-1}$) el comportamiento co\-rres\-pon\-de a la zona de ley de potencias (ver figura \ref{fig:carreau5001000}).
Esa velocidad de deformación correspondería en la fractura a una velocidad media dada por: $U = 87 s^{-1}  d / 6 = 1$ cm/s. 
Como las velocidades medias de las experiencias realizadas son, en todos los casos, al menos un orden de magnitud menores que $1$ cm/s, sabemos entonces que las mayores velocidades de deformación en el flujo corresponden todavía al modelo de ley de potencias.

%entonces la transición al plateau newtoniano de altas velocidades no puede ser observada experimentalmente.    

Luego los casos de flujos de fluidos newtonianos $(U << U_c)$ o flujos regidos exclusivamente por el modelo de ley de potencias $(U >> U_c)$, constituyen los casos límites para muy bajos y muy altos caudales de inyección en las experiencias realizadas. 

Lamentablemente no se dispone de una descripción detallada del campo de velocidades en tres dimensiones dentro de la fractura, dado que, debido a la naturaleza autoafín de las superficies, la grilla adecuada para la resolución numérica con una precisión espacial razonable implica tiempos de corrida fuera de las posibilidades reales aún utilizando computadoras muy potentes. 

Sin embargo, a partir de las ecuaciones de Stokes (se considera en todos los casos un número de Reynolds bajo) sabemos que tanto para fluidos newtonianos o fluidos regidos exclusivamente por el modelo de ley de potencias, si multiplicamos la velocidad media por un factor dado, las velocidades locales se multiplican por el mismo factor (las ecuaciones son homogéneas). En ambos casos $\sigma_v/U$ debería ser independiente del caudal.
En virtud del resultado presentado en \ref{reologia-y-dispersion} para dos capilares de diferente radio (ver ecuación \ref{eqn: proporcion-n-nn}), para el caso de ley de potencias podemos esperar que el contraste relativo de velocidades $\sigma_v/U$ sea mayor que para el caso newtoniano.

Nos interesa entonces estudiar la transición entre estos dos regímenes de $\sigma_v/U$ constante, a través del análisis de ${{\sigma _y (x_f (y,t))} \over {\left\langle {x_f (y,t)} \right\rangle _y }}$.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/sigmaxsurx.eps}%[width=12cm]             
\caption{ Variación de ${{\sigma _y (x_f (y,t))} \over {\left\langle {x_f (y,t)} \right\rangle _y }} $ con la velocidad adimensionalizada $U/U_c$. $\circ$ : 1000 ppm, $\square$ : 500 ppm . Los límites indicados en línea punteada corresponden al desarrollo teórico presentado en el apéndice B.}
\label{fig:sigmaxsurx}
\end{figure}
\FloatBarrier
En la figura \ref{fig:sigmaxsurx} se puede observar la variación de ${{\sigma _y (x_f (y,t))} \over {\left\langle {x_f (y,t)} \right\rangle _y }} $ con la velocidad adimensionalizada $U/U_c$.
Las líneas punteadas a la derecha del gráfico corresponden a los límites para el caso de flujo en la zona de ley de potencias, que surgen del cálculo que se desarrolla en el modelo teórico que se presenta en el apéndice B (utilizando los valores de $n$ obtenidos en la caracterización reológica de las soluciones de 1000 ppm y 500 ppm). Puede observarse que la tendencia general (es decir, la variación creciente entre los dos límites de ambas series, el aumento más acentuado para la solución de 1000 ppm) se enmarca dentro del comportamiento y los valores límites predichos por el modelo. Sin embargo no es evidente que este modelo simple permita una descripción precisa de la transición entre comportamientos reológicos.


%modelizacion?


%aca va grafico sigmas







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Análisis de la geometría del frente de desplazamiento}
\label{analisisfrentesminmax}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 Algunos autores (Roux \cite{roux98}, Auradou \cite{auradou05}, Drazer \cite{drazer04}) estudiaron la forma del frente de desplazamiento en este tipo de sistemas, y sus resultados indicarían que éste tiene una geometría relacionada con la de las superficies que componen la fractura. En particular el frente presentaría características autoafines (sobre un rango finito de escalas de longitudes) con exponente característico similar al de las superficies (ver \ref{superficies-autoafines}). Esto implicaría que a través del análisis de la geometría del frente de desplazamiento se puede obtener importante información de la morfología de las superficies y del campo de aperturas.

En la figura \ref{fig:frentesparaminmax} se pueden observar los frentes de desplazamiento $x_f(y)$ (calculados tal como se describió en la sección \ref{vtlcmom1}) correspondientes a un caudal relativamente alto ($Pe = 300$ ) y a un caudal relativamente bajo ($Pe = 3$ ), y en cada caso para las soluciones de 500 ppm y 1000 ppm.
 
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13cm] {figuras3/frentesparaminmax.eps}%[width=12cm]             
\caption{Gráfico de los frentes $x_f(y)$ para el tiempo correspondiente a la mitad de transcurso de una experiencia. La línea sólida (a trazos) corresponde a soluciones de 1000 ppm (500 ppm). Las líneas superiores (inferiores) co\-rres\-pon\-den a $Pe = 300$ ($Pe = 3$). Los dos juegos de líneas han sido separados verticalmente en $20$ mm para facilitar la visualización.}
\label{fig:frentesparaminmax}
\end{figure} 
\FloatBarrier
Cualitativamente se puede constatar que para el caudal bajo ($Pe = 3$) los frentes de 500 ppm y 1000 ppm son prácticamente coincidentes, lo cual resulta esperable, pues, como se describió en la sección \ref{reologia-y-dispersion}, a caudales bajos las velocidades de deformación son bajas y el fluido se comporta como un fluido newtoniano.

Para $Pe = 300$, puede observarse que el frente correspondiente a la solución de 1000 ppm presenta mayor amplitud global (o mayor amplitud a escalas de longitud grandes), mientras que el correspondiente a 500 ppm presenta mayor rugosidad (o también se puede decir que presenta mayor amplitud para escalas de longitud pequeñas). Para la solución de 500 ppm se observan detalles geométricos (asociados al campo de aperturas) que no pueden observarse en el frente correspondiente a la solución de 1000 ppm.
 Como $Pe = 300 >> Pe_c$ para ambas soluciones ($Pe_c$ vale 4 para 1000 ppm y 11 para 500 ppm, ver \ref{modificacion-de-la-distribucion-de-velocidades}),  podemos esperar que la estructura de flujo tenga un alto grado de componente tipo ley de potencias, diferenciándose para los casos de soluciones de 500 y 1000 ppm.

Para caracterizar la geometría del frente de desplazamiento se implementó la técnica conocida como MIN-MAX, especialmente apta para el estudio de perfiles con características autoafines.

 Esta técnica consiste en analizar las máximas amplitudes del frente ($max(x_f) - min(x_f)  = \Delta x_f$) dentro de una ventana de tamaño variable ($\Delta y$), y ver como varía esta amplitud máxima con el tamaño de la ventana. En este sentido el método MINMAX analiza cómo varía la amplitud del frente en función de la escala espacial que se considere.
En la práctica el valor de $\Delta x_f$ se promedia sobre todas las posiciones posibles de la ventana $\Delta y$ en el frente.

En el caso de una curva con propiedades autoafines, de exponente característico $\zeta_f$ (ver \ref{superficies-autoafines}), se cumple $\Delta x_f \propto \Delta y^{\zeta_f}$.

Si bien el método MINMAX se utilizó para analizar los frentes (correspondientes a la mitad del transcurso de una experiencia) de todas las experiencias realizadas, se presentan los casos más representativos de los resultados, correspondientes a un caudal relativamente bajo ($Pe = 3 << Pe_c$) y uno  relativamente alto ($Pe = 300>> Pe_c$).

En primer lugar se realizó un análisis con el objetivo de verificar si los frentes de desplazamiento de las experiencias presentaban efectivamente propiedades autoafines.

Para ello se grafica $\Delta x_f/\Delta y^{\zeta_f}$ en función de $\Delta y$ para cada frente $x_f(y)$, para $\zeta_f =0.8$ (recordemos que las superficies autoafines constituyentes de la fractura fueron generadas con exponente característico $0.8$).
  
En la figura \ref{fig:sifrenteesautoaf} se puede observar que efectivamente $\Delta x_f/\Delta y^{\zeta_f}$ toma un valor constante sobre un amplio rango de tamaños de ventana. Puede observarse además que el límite inferior del dominio autoafín crece ligeramente con la concentración de polímero de la solución considerada. Para tamaños de ventana inferiores a este límite, la pendiente de la curva es aproximadamente $0.2$, reflejando un comportamiento donde $\Delta x_f \propto \Delta y$ (euclidiano, no autoafín). Podemos concluir que en esta escala de longitudes el frente no ``copia'' las características autoafines de la superficie constituyente de la fractura.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13cm]{figuras3/sifrenteesautoaf.eps}%[width=12cm]             
\caption{Variación de $log_{10}(\Delta x_f/\Delta y^{\zeta_f})$ con $log_{10}(\Delta y)$ para $\zeta_f=0.8$. $\Delta x_f$ y $\Delta y$ están expresados en $mm$. $\circ$ : 1000 ppm, $\square$ : 500 ppm. El conjunto de puntos con línea sólida corresponde a $Pe=3$, el conjunto de puntos sin línea sólida corresponde a $Pe=300$.  }
\label{fig:sifrenteesautoaf}
\end{figure}


En segundo lugar, una vez estudiada la autoafinidad de los frentes, se procedió  a estudiar cuantitativamente el fenómeno de la dependencia de la amplitud del frente con la escala, que se describió al analizar la figura \ref{fig:frentesparaminmax}.

Para esto se utiliza una representación similar a la de la figura \ref{fig:sifrenteesautoaf} (con los mismos datos), con la diferencia que en el eje vertical se representa $\Delta x_f (\Delta y)/\Delta y$ en lugar de $\Delta x_f(\Delta y)/\Delta y^{\zeta_f}$. En este caso no se busca analizar la autoafinidad de los frentes sino estudiar sus amplitudes relativas en diferentes escalas espaciales.

En la figura \ref{fig:minmax} se pueden observar la variación del logaritmo decimal de  $\Delta x_f (\Delta y)/\Delta y$ con el logaritmo decimal del tamaño de ventana $\Delta y$ para los frentes (a mitad de transcurso de la experiencia) correspondientes a las experiencias a $Pe=3$ y $Pe=300$, y para las soluciones de $500$ ppm y $1000$ ppm. El valor $max(x_f) - min(x_f)  = \Delta x_f$ se presenta normalizado por el tamaño de la ventana $\Delta y$ para reducir la amplitud de sus variaciones globales y hacer más visible la diferencia entre curvas. 

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13cm]{figuras3/minmax.eps}%[width=12cm]
\caption{Variación de $log_{10}(\Delta x_f /\Delta y)$ con  $log_{10}(\Delta y)$ para los frentes de la figura \ref{fig:frentesparaminmax} correspondientes a $1000$ ppm ($\circ$) y $500$ ppm ($\square$). $\Delta x_f$ y $\Delta y$ están expresados en $mm$. El par de curvas superiores corresponde a $Pe=300$, mientras que el par de curvas inferiores corresponden a $Pe=3$.   }
\label{fig:minmax}
\end{figure}

\FloatBarrier

Así como los frentes para $Pe=3 < Pe_c$ (500 ppm y 1000 ppm) de la figura \ref{fig:frentesparaminmax} son coincidentes en alto grado, sus respectivas curvas MINMAX son también coincidentes. Para $Pe=300 > Pe_c$, $\Delta x_f /\Delta y$ es mayor que para $Pe=3$ para todos los tamaños considerados de ventana. Asimismo en la región autoafín estudiada en la figura \ref{fig:sifrenteesautoaf}, la curva presenta una variación lineal decreciente con $\Delta y$ tal como podía esperarse. Se observa que el comportamiento de $\Delta x_f /\Delta y$ depende de la concentración de polímero. La solución de 1000 ppm presenta mayor amplitud en tamaños de ventana mas grandes, mientras que la solución de 500 ppm muestra mayor amplitud en los detalles finos, o sea en los  tamaños de ventana mas pequeños. Mediante este estudio se puede establecer cuantitativamente una transición entre ambos dominios, correspondiente a un tamaño de ventana de $4 mm$. Se verificó que esta longitud de transición depende del $Pe$, no pudiéndose caracterizar para caudales bajos.
Cabe destacar que la mayor amplitud de la solución de 1000 ppm en tamaños de ventana mas grandes es coherente con la mayor amplitud glo\-bal del frente para esta solución, analizada en la sección anterior (ver figura \ref{fig:sigmaxsurx}). 

La atenuación de los detalles finos del frente que se evidencia cuando la concentración de polímero aumenta puede deberse al aumento de la difusión de momento en la dirección transversal al flujo al aumentar la viscosidad (es decir un incremento de las fuerzas de arrastre entre capas paralelas que se mueven a distinta velocidad). Esto atenuaría los gradientes locales de velocidad a pequeña escala sin modificar las propiedades de flujo a gran escala. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Método VTLC: Análisis relacionados con el coeficiente de dispersión local}
\label{analisis-coef-disp-local}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

En la sección anterior se describieron los tipos de análisis llevados a cabo considerando la distribución de tiempos de tránsito, y cómo éstos dan información sobre la estructura global del flujo.
En esta sección analizaremos el coeficiente de dispersión $D(x,y)$ para obtener información sobre el proceso de mezcla que tiene lugar localmente en cada línea de corriente.

En primer lugar se debe establecer la pertinencia de definir un coeficiente de dispersión tal como fue definido en \ref{mecanismo-de-dispersion-de-taylor}, asociado a un proceso de dispersión Fickiano caracterizado por la ecuación \ref{eqn:convecdisp}.

En la figura \ref{fig:c_de_t} se mostró cómo los datos experimentales de la variación temporal de concentración normalizada pueden ser ajustados en forma sa\-tis\-fac\-to\-ria por la solución de la ecuación \ref{eqn:convecdisp}.

Como se detalló en la sección \ref{variaciones-temporales-locales-de-concentracion}, el método VTLC consiste en ajustar con dicha solución la variación temporal de la concentración en cada pixel $(x,y)$. De este ajuste se obtienen los valores $D(x,y)$ del coeficiente de dispersión local en cada punto de la fractura.

Consideremos ahora la variación de $D(x,y)$ con la posición $(x,y)$.

En la figura \ref{fig:variacion-d-posi} se puede observar la distribución de valores del coeficiente de dispersión $P(D)$ en función de la posición longitudinal $x$.
Para un valor dado $x_i$ (si cortamos con una línea vertical), el gráfico representa un histograma de los valores de $D(x_i,y)$ codificado en niveles de gris. Los puntos mas claros indican valores de $D$ mas frecuentes. 
 
En (b) puede verse que el valor medio de $P(D)$ tiene una leve deriva creciente entre $x=45 mm$ y $x=125 mm$. La  relativa uniformidad de los valores de $D(x,y)$ sobre distintas posiciones a lo largo de la fractura contribuye a caracterizar el tipo de dispersión y asociarla a procesos de tipo Fickianos. Estos argumentos validan la definición de un único coeficiente de dispersión en nuestro sistema.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/variacion-d-posi.eps}%[width=12cm]             
\caption{ Distribución de valores del coeficiente de dispersión $P(D)$ en función de la posición longitudinal $x$ para una experiencia con solución de 1000 ppm (Pe=150). Se muestran datos para $x\ge 45 mm$, donde el régimen de dispersión está claramente establecido y las variaciones de concentración son correctamente ajustadas por la solución de la ecuación \ref{eqn:convecdisp}. En (a) se muestra un mapa en niveles de gris de $P(D)$ en función de los valores de $x$ y $D$. Los puntos mas (menos) claros indican valores de $D$ mas (menos) frecuentes. En (b) se muestran las distribuciones de $P(D)$ para $x=45 mm$ (línea llena) y $x=125 mm$ (línea punteada).}
\label{fig:variacion-d-posi}
\end{figure}

\FloatBarrier

En la sección \ref{variaciones-temporales-locales-de-concentracion} se describió el cálculo del coeficiente de dispersión $D(x,y)$ para cada posición $(x,y)$ en la fractura.
A partir de la distribución  de valores $D(x,y)$ sobre la fractura se calcula el valor representativo ${\bar D}$ del coeficiente de dispersión y su desviación $\Delta D$ como:
\\

\begin{equation}
   \bar D = \left\langle {D(x,y)} \right\rangle _{x,y},  \Delta D = \sigma ^2 _{x,y} (D(x,y)) 
\label{eqn:dmedia-deltad}
\end{equation}
\\

En lo sucesivo $\bar D$ será notado $D$ directamente. 

Puede resultar de interés luego estudiar la dependencia del coeficiente de dispersión con el número de Peclet.
En la figura \ref{fig:coefdispfr} se puede observar la variación del coeficiente de dispersión (adimensionalizado con $D_m$) con el número de $Pe$, donde hemos superpuesto para comparación las predicciones analíticas de la fórmula de Taylor, para el caso de una celda de Hele-Shaw de apertura igual a la apertura media de la fractura rugosa, dadas por la ecuación \ref{eqn:coefdispnonewt}.
Puede observarse que a bajos $Pe$ ambas series de datos tienden al valor $1$, mientras que para altos $Pe$, $D/D_m$ tiende a un crecimiento cuadrático en $Pe$. Este comportamiento es en general válido tanto para soluciones newtonianas como para soluciones reofluidizantes.
Para $Pe$ altos la serie correspondiente a la solución de 500 ppm comienza a tomar valores mayores que la de 1000 ppm, mientras que ambas están por debajo del valor teórico para el caso newtoniano.
Puede observarse que este comportamiento es acorde al hecho de que, para $Pe < Pe_c$, ambos fluidos se comportan como newtonianos y deben tener la misma tendencia, mientras que para $Pe > Pe_c$, la componente de ley de potencias en el flujo es importante, y los valores tienden a los predichos por la ecuación \ref{eqn:coefdispnonewt}. Cabe recordar  los valores de $Pe_c$: 11 (500 ppm) y 4 (1000 ppm).
  
En la figura  \ref{fig:dispersifr} se puede observar la variación de la dispersividad $l_d = D/U$ (definida en la sección \ref{mecanismo-de-dispersion-de-taylor}) adimensionalizada con la apertura media de la fractura. 

Se puede constatar que el mínimo teórico ($Pe=14.5$) para un fluido newtoniano (ver ecuación \ref{eqn:dispersitaylor}) coincide con los datos experimentales.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/coefdispfr.eps}%[width=12cm]             
\caption{Variación del coeficiente de dispersión adimensionalizado en función del número de $Pe$. $\circ$:1000ppm ; $\square$: 500 ppm.  Las líneas sólida, punteada y a trazos, corresponden a la predicción de la ecuación \ref{eqn:coefdispnonewt} para $n=1, n=0.38, n=0.26$ (estos dos últimos obtenidos en la caracterización reológica de las soluciones de 500 y 1000 ppm. Las barras de error representan los valores de $\Delta (D/D_m)$. ) 
}
\label{fig:coefdispfr}
\end{figure}


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras3/dispersifr.eps}%[width=12cm]             
\caption{Variación de la dispersividad $l_d = D/U$ adimensionalizada con la apertura media de la fractura $d$, en función de $Pe$. $\circ$: 1000ppm ; $\square$: 500 ppm. Estas curvas están cons\-tru\-i\-das a partir de los mismos datos de la figura \ref{fig:coefdispfr}. Se puede observar como el mínimo coincide con el que puede calcularse teóricamente de la ecuación \ref{eqn:dispersitaylor}. Las barras de error representan los valores de $\Delta (l_d/d)$, obtenidos de la distribución de $l_d$ como se mostró en la ecuación \ref{eqn:dmedia-deltad}. }
\label{fig:dispersifr}
\end{figure}

\FloatBarrier

Estos resultados indican que la dispersión a escala local es un proceso de tipo difusivo, contrariamente a lo que sucede en la escala global, y que el mecanismo de Taylor es el predominante.
\\

En este capítulo hemos descripto las metodologías de análisis utilizadas para las EFAF y los resultados obtenidos.
Se realizó en primer lugar un análisis a través de un diagrama espacio-temporal, con el cual se pudo estudiar el tipo de mecanismo de transporte predominante a escala local y global, resultando la escala local gobernada por mecanismos difusivos y la global por mecanismos convectivos.
Luego se presentó el método VTLC, que permite realizar un análisis más preciso y localizado, determinándose a partir de los mapas de tiempos de tránsito la forma del frente de desplazamiento. A partir del análisis de la dinámica del frente de desplazamiento, se estudió cómo se modifica la distribución relativa de velocidades con el caudal de inyección y para diferentes propiedades reológicas de los fluidos. El crecimiento lineal en el tiempo de la amplitud del frente de desplazamiento permitió confirmar también el predominio de mecanismos convectivos a escala global. También en virtud de esta variación lineal puede determinarse para cada experiencia un único valor de amplitud normalizada del frente, que caracteriza la magnitud de las fluctuaciones de las velocidades locales respecto de la velocidad media, y estudiar su variación con el caudal de inyección.
A través de este análisis pudo establecerse cómo las propiedades reológicas de los fluidos inciden en la distribución relativa de velocidades, siendo las soluciones más concentradas de polímero las asociadas a una mayor amplitud de fluctuaciones relativas de velocidad.
Además se correlacionaron las fluctuaciones relativas observadas para diferentes fluidos con los respectivos parámetros que caracterizan las transiciones entre sus distintos comportamientos reológicos

Posteriormente se analizó la geometría del frente de desplazamiento, se verificó su naturaleza autoafín, y se estudió la variación de su amplitud esta vez respecto de la escala espacial de observación. Pudo concluirse que a escalas mayores que una dada longitud de transición, las soluciones más concentradas poseen mayor amplitud, mientras que para escalas menores la amplitud es mayor para las soluciones menos concentradas. También se observa que para menores concentraciones el frente de desplazamiento ``copia '' con más detalle la geometría de la rugosidad, mientras que para mayores concentraciones el frente pierde detalle de la rugosidad probablemente debido a la mayor viscosidad relativa.

En los análisis relacionados con el coeficiente de dispersión local, se estableció la pertinencia de definir un único coeficiente de dispersión para cada experiencia caracterizando al proceso de transporte como de tipo fickiano. Luego analizando los valores del coeficiente de dispersión, pudo establecerse que el comportamiento difusivo observado a escala local mediante el análisis con el diagrama espacio-temporal puede asociarse con el mecanismo de dispersión de Taylor. Asimismo se verificó cómo este comportamiento depende de las características reológicas que presenta cada fluido a distintas velocidades medias de flujo, estableciéndose las zonas de transición entre diferentes comportamientos en función de los parámetros reológicos de los fluidos.

Estos análisis permiten extrapolar la información básica de las propiedades reológicas de los fluidos a la situación de flujo y transporte en la fractura rugosa, y establecer además como las diferentes propiedades reológicas pueden servir para caracterizar las heterogeneidades a diferentes escalas.


 En el capítulo siguiente se presentarán las metodologías de análisis utilizadas para las EFAL y los resultados correspondientes.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Otros tipos de análisis realizados}
%\label{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Conjuntamente con el análisis de la variación local temporal de concentración en cada posición en la fractura se llevaron a cabo otros tipos de análisis complementarios, algunos de ellos complementarios.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{Variacion espacial de la concentración}
%\label{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%En uno de estos análisis complementarios se estudiaron las variaciones espaciales de concentración $c(x)$ para cada posición $y$ en el ancho de la fractura $y$ para cada tiempo $t$.
%Para ello se ajustan las curvas $c(x)$ con la solución \ref{eqn:erf}, esta vez expresada en función de la posición $x$.
%
%La función de ajuste utilizada fue:
%\\
%
%\begin{equation}
%{{C(x) = }}{1 \over 2}\left[ {{{(1 - erf(}}{{{{x -  w}}_{{0}} } \over {{{w}}_{{1}} }}))} \right]
%\label{up}
%\end{equation}
%\\
%donde $w_0$ y $w_1$, los parámetros de ajuste, corresponden al valor medio de la posición ${\bar x}$ y a $2\sqrt {Dt}$ respectivamente.
%A partir de este análisis se obtiene $x_f(y)$ a cada tiempo y el coeficiente de dispersión $D(y,t)$.
%Las distribuciones de coeficientes de dispersión $D(x,y)$ y $D(y,t)$ resultaron similares.
%Los frentes de desplazamiento obtenidos coinciden con los del método de variaciones temporales.
%
%Una de las limitaciones de este análisis es que sólo se puede realizar este ajuste en todo el ancho de la fractura para tiempos en los que todo el frente de desplazamiento se encuentre dentro de la fractura y pueda ser captado por la cámara.
%Esto impide analizar tiempos cercanos al comienzo y al final de la experiencia, en los que parte del frente de desplazamiento todavía no se observa en la fractura o bien ya comenzó su egreso de la misma.
%
% 
%
%
%
%
%
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
