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En el capítulo anterior se han expuesto los métodos de análisis y los resultados obtenidos para las EFAF. Las diferentes características estructurales de cada fractura modelo hacen que las técnicas apropiadas para el análisis de los resultados deban ser determinadas en cada caso particular.
En esta sección, describiremos las metodologías utilizadas para el análisis e interpretación de las experiencias con fracturas aleatorias (EFAL) y las discutiremos brevemente comparándolas con las utilizados en la EFAF.
Presentaremos luego los resultados correspondientes. 


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\section{Introducción}
\label{intro4}
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%
Como se describió en el capítulo 2, la fractura modelo utilizada en las EFAL está constituida por una superficie plana y lisa, y otra también plana y lisa, pero con el agregado de una distribución aleatoria de obstáculos cuasi-cilíndricos, cuya altura es aproximadamente la mitad de la apertura de la fractura (considerando esta apertura en las posiciones donde no hay obstáculos, ver figura \ref{fig:pattern}).
En la figura \ref{fig:cuadroexpeba.eps} se presentan los mapas de concentración (a tiempo igual a la mitad del transcurso de una experiencia) correspondientes a seis experiencias representativas de las EFAL.
Los mapas superiores corresponden a $Pe$ bajos ($Pe=3$), mientras que los inferiores corresponden a $Pe$ altos ($Pe=300$). Además, las imágenes de izquierda a derecha corresponden a la solución AG (agua-glicerol), la solución de 500 ppm, y la solución de 1000 ppm.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13.5cm]{figuras4/cuadroexpeba.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Cuadro representativo de las EFAL: mapas de concentración a tiempo igual a la la mitad de transcurso de una experiencia. a) $Pe=3$, solución AG (agua-glicerol); b) $Pe=3$, solución de 500 ppm; c) $Pe=3$, solución de 1000 ppm; d) $Pe=300$, solución AG; e) $Pe=300$,  solución de 500 ppm; f) $Pe=300$,  solución de 1000 ppm.
}
\label{fig:cuadroexpeba.eps}
\end{figure}

Para caudales bajos (o equivalentemente $Pe$ bajos) puede observarse que el frente de desplazamiento se presenta relativamente plano, mientras que para caudales altos se observa la presencia de ondulaciones (o ``dedos'') en el frente. Se realizaron pruebas que consistieron en disponer la fractura verticalmente y desplazar fluido coloreado con fluido sin colorear e inversamente.
Estas experiencias tienen como objetivo descartar la posibilidad de que las ondulaciones se generen por una diferencia de densidad entre los fluidos des\-pla\-zan\-te y des\-pla\-za\-do (inestabilidad gravitatoria \cite{obernauertesis}). 
 Si las ondulaciones tuvieran origen en una diferencia de densidad entre ambos fluidos, una de las dos configuraciones de inyección debe ser estable. Al observar su presencia en ambos casos se descartó esta posibilidad.
Entonces se atribuyeron las ondulaciones exclusivamente a la geometría de la fractura.

Cualitativamente se puede ver que la forma de las ondulaciones varía con la concentración de polímero, siendo los ``dedos'' menos numerosos y de mayor ancho cuanto mayor es la concentración de polímero, y más acentuados para caudales mayores.

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\section{Discusión sobre los métodos de análisis}
\label{discusion-metodos}
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Desde el punto de vista geométrico, en la fractura modelo con distribución aleatoria de obstáculos las fluctuaciones de apertura tienen lugar en escalas de longitud mucho menores  que en el caso de las fracturas autoafines (en una pequeña distancia se puede pasar de una posición correspondiente a un obstáculo a una posición donde no hay obstáculo, variando la apertura a la mitad aproximadamente). Adicionalmente, la distribución aleatoria de los obstáculos puede generar que la correlación espacial de aperturas sea de corto rango.

En este marco es discutible la validez del modelo de canales paralelos presentado en el capítulo anterior, ni es tan evidente una separación entre los mecanismos locales y globales de dispersión, dado que las escalas de longitud en las que éstos tienen lugar pueden ser del mismo orden.

La estructura del frente de desplazamiento puede dar información de las escalas asociadas a los diferentes mecanismos (realizando una identificación similar a la presentada en la figura \ref{fig:esquemagloballocal2} del capítulo anterior). 

En la figura \ref{fig:concargconobs} se puede observar un mapa de concentraciones para una experiencia de las EFAL (Pe=300), y en la figura \ref{fig:bandaverdeargcomp} se comparan las diferentes formas de frente de desplazamiento para el caso de las EFAF y de las EFAL. Puede verse que la discriminación entre fenómenos locales y globales es más compleja en las EFAL dado que ambos fenómenos tienen lugar en escalas de longitud similiares.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm] {figuras4/concargconobs.eps}%[width=12cm]             
\caption{Mapa de concentraciones en niveles de gris (blanco: c=1, negro: c=0) para una experiencia con soluciones newtonianas en las EFAL (Pe=300). Los puntos corresponden a los obstáculos.}
\label{fig:concargconobs}
\end{figure}
\FloatBarrier
%En la figura \ref{fig:bandaverdeargcomp} se puede observar un mapa de intensidad normalizada, donde se evidencia la forma de frente de desplazamiento. 

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/bandaverdeargcomp.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Mapas de intensidades normalizadas codificados en falso color correspondiente a la mitad de transcurso de una experiencia. La banda en color verde (claro) es el frente de desplazamiento (o zona de mezcla). La distancia $A$ representa la magnitud del esparcimiento asociado a los mecanismos globales, mientras que la distancia $a$ representa la que corresponde a los mecanismos locales). 
Ambos mapas corresponden a una experiencia con solución de 1000 ppm y $Pe = 60$ (superior: EFAF, inferior: EFAL). Puede observarse el tamaño relativo de los obstáculos.
}
\label{fig:bandaverdeargcomp}
\end{figure}
\FloatBarrier
De estas consideraciones surgió la necesidad de determinar cuáles de las técnicas y conceptos utilizados para el análisis e interpretación de las EFAF eran adecuados para analizar las EFAL, pues aquéllos consideran las escalas locales y globales en forma independiente.

%Además pueden ser necesarios otro tipos de análisis, basados, por ejemplo, en las correlaciones de tiempos de tránsito y las propiedades de su distribución, en vez de en el estudio de la dinámica del frente de desplazamiento, para caracterizar las velocidades de flujo (asociada exclusivamente a mecanismos globales).
%OJO ver como queda esto
En este caso los análisis deben tener en cuenta la influencia de la geometría (las variaciones de apertura) a nivel local, interactuando con el mecanismo de dispersión de Taylor.

En virtud de estos argumentos, en algunos casos las metodologías utilizadas para las EFAF fueron modificadas para adecuar el análisis a las propiedades del sistema físico de las EFAL.

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\section{Análisis de la transición global-local mediante un diagrama espacio-temporal}
\label{diagrama-espaciotemporal-efaf}
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Como en el caso de las EFAF, se realizó en primer lugar un análisis de las variaciones temporales de concentración a través de la creación de un diagrama espacio-temporal.
La construcción del diagrama espacio-temporal y el análisis correspondiente fueron descriptos en la sección \ref{diagrama-espaciotemporal}.

Los diagramas generados utilizando una banda de pocos pixeles o de una cantidad de pixeles del orden del ancho de la fractura resultaron similares.

En la figura \ref{fig:esesjp1argb200.eps} puede observarse las variaciones temporales de concentración para distintas posiciones, y, en la figura \ref{fig:velojp1arg.eps}, la variación del tiempo medio de tránsito en función de la posición, de cuya pendiente se obtiene la velocidad del frente.
Los valores de velocidad obtenidos para una banda de pocos pixeles o para una donde la cantidad de pixeles es del orden del ancho de la fractura resultaron análogos.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/esesjp1argb200.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Variación temporal de la concentración $c(x_i,t)$  con su correspondiente ajuste por la función error de la ecuación \ref{eqn:fiteonerrorparam} para diferentes valores de $x_i$ en el largo de la fractura. Los datos corresponden a una experiencia a $Pe=170$ para solución de AG (agua + glicerol).
}
\label{fig:esesjp1argb200.eps}
\end{figure}



\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/velojp1arg.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Variación de la posición $x_i$ con el tiempo medio de tránsito $\overline{t(x_i)}$ y el ajuste lineal para obtener la velocidad $U$. Los datos corresponden a una experiencia a $Pe=170$ para solución de AG. 
}
\label{fig:velojp1arg.eps}
\end{figure}
\FloatBarrier
Una  marcada diferencia  respecto de las EFAF se obtuvo al analizar la desviación cuadrática media en función del tiempo de tránsito para los dos tipos de banda.

En las figuras \ref{fig:deltat2jp1banditaarg} y \ref {fig:deltat2jp1banda200} se muestran estas variaciones que en ambos casos resultan ser lineales (indicando un comportamiento difusivo) y de similar pendiente dentro del error del ajuste. En consecuencia los valores  del coeficiente dispersión obtenidos de ambos ajustes son similares.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/deltat2jp1banditaarg.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Variación de la desviación cuadrática media en función del tiempo de tránsito para una banda de 5 pixeles y el correspondiente ajuste por una función lineal. Los datos corresponden a una experiencia a $Pe=170$ para solución de AG.  
}
\label{fig:deltat2jp1banditaarg}
\end{figure}



\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/deltat2jp1banda200.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Variación de la desviación cuadrática media en función del tiempo de tránsito para una banda de ancho similar al ancho de la fractura (aprox. 400 pixeles) y el correspondiente ajuste por una función lineal. Los datos corresponden a una experiencia a $Pe=170$ para solución de AG. Las pendientes de las variaciones en esta figura y de la anterior son iguales dentro del error del ajuste.
}
\label{fig:deltat2jp1banda200}
\end{figure}
\FloatBarrier
Este resultado contrasta fuertemente con el obtenido para una banda de ancho similar al ancho de la fractura en el caso de las EFAF, donde la variación de la desviación cuadrática media crecía en forma cuadrática con el tiempo de tránsito (indicando un comportamiento convectivo). Esta diferencia pone de manifiesto la fuerte influencia de las propiedades de la rugosidad.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Variaciones temporales locales de concentración (VTLC) }
\label{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
El método VTLC es una herramienta  que nos provee de los dos primeros momentos gaussianos de las variaciones temporales de concentración (el tiempo medio de tránsito  y la desviación cuadrática media) en cada posición de la fractura independientemente.
Al igual que las EFAF, las EFAL también fueron procesadas con este método que fue descripto en \ref{variaciones-temporales-locales-de-concentracion}, y mediante el cual se obtiene  para cada pixel correspondiente a una posición en la fractura,  el tiempo de tránsito $\overline{t(x,y)}$ y el coeficiente de dispersión $D(x,y)$.
En la figura \ref{fig:esefit} puede observarse cómo la función error de la ecuación \ref{eqn:fiteonerror} ajusta correctamente los datos experimentales de las EFAL así como se observaba en la figura \ref{fig:c_de_t} para el caso de las EFAF.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/esefit.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Variación temporal de la concentración normalizada $c(t)$ para $x=110\, $mm $y=45\,$ mm para una experiencia con solución de $500\, ppm$ en las EFAL $(Pe = 69)$. En línea llena se muestra el ajuste utilizando la función de la ecuación \ref{eqn:fiteonerror}.
Los parámetros obtenidos del ajuste son $\overline{t(x,y)} = 1923 s$ y $D/U^{2} = 10.75 s$.
}
\label{fig:esefit}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/3mom1t.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Mapas en niveles de gris de los tiempos de tránsito normalizados $t^* = \overline{t(x,y)}U/x$.
Superior: 1000 ppm ($Pe=340$); medio: 500 ppm ($Pe=340$), inferior: solución AG ($Pe = 450$).
Para todas $U = 0.028 cm/s$. Esta nor\-ma\-li\-za\-ción permite determinar, en cada posición, si el tiempo de tránsito es mayor o menor que el asociado a la velocidad media $U$ del frente de desplazamiento.
El flujo es de izquierda a derecha. Las regiones oscuras (claras) corresponden a zonas donde $t^*$ es $< 1$ ($t^*$ es $> 1$). El campo de visión de cada mapa es de $15 \times 7$ cm, y la zona de inyección de fluido se encuentra $3$ cm a la izquierda del borde izquierdo de la imagen. 
}
\label{fig:3mom1t}
\end{figure}
\FloatBarrier
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Método VTLC: Análisis relacionados con la distribución de tiempos de tránsito del trazador}
\label{vtlcmom1arg}
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%



En la figura \ref{fig:3mom1t} se muestra, a modo de ejemplo, un mapa en niveles de gris de los  tiempos de tránsito $\overline{t(x,y)}$ normalizados. Los obstáculos influyen marcadamente en la distribución de tiempos de tránsito, observándose un conjunto de estrías finas (asociadas a las ondulaciones en el frente descriptas en \ref{intro4}), cuyo ancho crece marcadamente cuando se incrementa la concentración de polímero (mientras que la cantidad de estrías se reduce). Asimismo las estrías se definen menos nítidamente para posiciones más lejanas respecto de la inyección. Para caudales muy bajos no se observan las estrías, y conforme el caudal aumenta se van haciendo visibles.


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/histotmedios.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Histogramas sobre los valores de los mapas de la figura \ref{fig:3mom1t}. En línea
sólida: solución AG, punteada: 500 ppm, a trazos: 1000 ppm.
}
\label{fig:histotmedios}
\end{figure}
Para las EFAL también se obtuvieron los frentes de desplazamiento $x_f(y)$ de las dos formas descriptas en \ref{vtlcmom1}, verificándose la concordancia entre ambos métodos.

En la figura \ref{fig:sacando-iso}  se puede observar un mapa de concentraciones codificado en niveles de gris donde se muestra la coincidencia entre los frentes de desplazamiento determinados de las dos formas, tal como se observaba en el análisis de las EFAF.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{figuras4/sacando-iso.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Mapa de concentraciones codificado en niveles de gris (blanco: c = 1, negro: c = 0) para la mitad del transcurso de una experiencia ( t= 800 s) con solución polimérica de 1000 ppm (Pe=170).
El campo de visión es de 70 $\times$ 50 mm. La línea llena negra muestra el perfil $x_f(y)$ definido como los $(x,y)$ tal que $\overline{t(x,y)} =  800 s$. Los puntos blancos corresponden a los $(x,y)$ tal que $c(x,y)=0.50 \pm 0.03$. Los puntos corresponden a la distribución de obstáculos.
}
\label{fig:sacando-iso}
\end{figure}


En la figura \ref{fig:formasfrentesiso} se muestra la estructura de los frentes de desplazamiento para $Pe = 300$ y $Pe = 6$, para la solución de AG y polimérica 1000 ppm.
Se pueden observar las ondulaciones que se describían en la introducción \ref{intro4}.
Cualitativamente se observó que la amplitud global del frente es mayor para la solución de polímero más concentrada, al igual que el ancho característico de las ondulaciones.

Por otra parte, para la solución AG el frente parece copiar más fielmente las características de la rugosidad, dado que se revelan detalles más finos. 
Esto concuerda con lo observado en el estudio cuantitativo realizado para las EFAF en la sección \ref{vtlcmom1} del capítulo anterior.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/formasfrentesiso.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Perfil de los frentes de desplazamiento a mitad del transcurso de una experiencia.
Arriba: solución de AG, Línea a trazos: $Pe = 450$ $ (U = 0.028$ cm/s), línea sólida $Pe = 8.6$ $  (U = 5.4 \times 10^{-4}$ cm/s).
Abajo: solución de 1000 ppm, Línea a trazos: $Pe = 340$ $  (U=0.028$ cm/s), línea sólida $Pe = 6.6 $ $ (U = 5.4 \times 10^{-4}$ cm/s). Nótese la diferente amplitud de los frentes.
}
\label{fig:formasfrentesiso}
\end{figure}

\FloatBarrier


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Método VTLC: Análisis relacionados con el coeficiente de dispersión local}
\label{analisis-coef-disp-local-arg}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

En esta sección analizaremos el coeficiente de dispersión $D(x,y)$ para obtener información sobre el proceso de mezcla que tiene lugar localmente en cada línea de corriente. Como se discutió en la sección \ref{discusion-metodos}, en el caso de las EFAL los mecanismos locales y globales no pueden ser tan facilmente identificados como en el caso de las EFAF, y por lo tanto al analizar localmente debemos tener en consideración la influencia de mecanismos que combinan las variaciones locales de velocidad en el espesor y la difusión molecular.



En la sección \ref{diagrama-espaciotemporal-efaf} se mostró que la variación de la desviación cuadrática media en función del tiempo de tránsito indica un comportamiento difusivo al considerarlo local y globalmente. 
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/derivadarg.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Distribución de valores del coeficiente de dispersión $P(D)$ en función de la posición longitudinal $x$ para una experiencia con solución de 1000 ppm (Pe=170). Se muestran datos para $x\ge 50 mm$, donde el régimen de dispersión está claramente establecido y las variaciones de concentración son correctamente ajustadas por la solución de la ecuación \ref{eqn:convecdisp}. En (a) se muestra un mapa en niveles de gris de $P(D)$ en función de los valores de $x$ y $D$. Los puntos más (menos) claros indican valores de $D$ más (menos) frecuentes. En (b) se muestran las distribuciones de $P(D)$ para $x=50 mm$ (línea llena) y $x=125 mm$ (línea punteada).
}
\label{fig:derivadarg}
\end{figure}
\FloatBarrier
En la figura \ref{fig:derivadarg} se puede observar la distribución de valores del coeficiente de dispersión $P(D)$ en función de la posición longitudinal $x$.
Para un valor dado $x_i$ (si cortamos con una línea vertical), el gráfico (a) representa un histograma de los valores de $D(x_i,y)$ codificado en niveles de gris. Los puntos mas claros indican valores de $D$ mas frecuentes. 
 
En (b) puede verse que el valor medio de $P(D)$ tiene una leve deriva creciente entre $x=50 mm$ y $x=125 mm$. La  relativa uniformidad de los valores de $D(x,y)$ sobre distintas posiciones a lo largo de la fractura contribuye a caracterizar el tipo de dispersión y asociarla a procesos de tipo Fickianos. Estos argumentos, conjuntamente con el hecho de que las variaciones de concentración están bien representadas en toda la fractura por la solución de la ecuación \ref{eqn:convecdisp}, demuestra la pertinencia de definir un único coeficiente de dispersión en cada una de las EFAL, tal como sucedía en el caso de las EFAF.


Los valores de los coeficientes de dispersión obtenidos global y localmente con el método del diagrama espacio-temporal (ver \ref{diagrama-espaciotemporal-efaf}) son muy similares entre sí (ver figura \ref{fig:bandaverdeargcomp}, \ref{fig:deltat2jp1banditaarg} y \ref {fig:deltat2jp1banda200}), pudiendo ser los globales hasta un 5\% mayores que los locales como máximo en algunos casos. Por otro lado los valores de los coeficientes de dispersión obtenidos a través del método VTLC concuerdan con los respectivos locales del método del diagrama espacio-temporal.

En la figura \ref{fig:ddmvspecolorarg} puede observarse la variación del coeficiente de dispersión adimensional $D/D_m$ con $Pe$. Los valores representativos y su desviación, como así los de la dispersividad,  están calculados tal como fueron definidos en \ref{analisis-coef-disp-local}. Hemos superpuesto para comparación las predicciones analíticas de la fórmula de Taylor, para una celda de Hele-Shaw de paredes lisas y de apertura igual a la apertura media de la fractura, dadas por la ecuación \ref{eqn:coefdispnonewt}.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13.5cm]{figuras4/ddmvspecolorarg.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Variación del coeficiente de dispersión adimensionalizado en función de $Pe$. $\triangle$: AG, $\circ$: 500 ppm, $\square$: 1000 ppm. Las líneas sólida, punteada y a trazos, corresponden a la predicción de la ecuación \ref{eqn:coefdispnonewt} para $n=1, n=0.38, n=0.26$ (estos dos últimos obtenidos de la ca\-rac\-te\-ri\-za\-ción reológica de las soluciones de 500 y 1000 ppm). Las barras de error representan los valores del error $\Delta (D/D_m)$. Los valores de $Pe$ son diferentes para la solución AG debido a que el valor de $D_m$ cambia.
}
\label{fig:ddmvspecolorarg}
\end{figure}
% Las líneas sólida, punteada y a trazos, corresponden a la predicción de la ecuación \ref{eqn:coefdispnonewt} para $n=1, n=0.38, n=0.26$ (estos dos últimos obtenidos en la caracterización reológica de las soluciones de 500 y 1000 ppm.

En la figura  \ref{fig:ldsobreavspecolorarg} se puede observar la variación de la dispersividad adimensionalizada con la apertura media de la fractura. 

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13.5cm]{figuras4/ldsobreavspecolorarg.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Variación de la dispersividad $l_d$ adimensionalizada con la apertura media de la fractura $d$, en función de $Pe$. $\triangle$: AG, $\circ$: 500 ppm, $\square$: 1000 ppm. Las barras de error representan los valores del error $\Delta (l_d/d)$. Las líneas sólida, punteada y a trazos, corresponden a la predicción de la ecuación \ref{eqn:coefdispnonewt} para $n=1, n=0.38, n=0.26$ (estos dos últimos obtenidos en la caracterización reológica de las soluciones de 500 y 1000 ppm).
}
\label{fig:ldsobreavspecolorarg}
\end{figure}
\FloatBarrier

Puede observarse el comienzo del régimen de dispersión de Taylor para $Pe > 50$. La dispersividad en esta región decrece con la concentración de polímero tal como hemos mencionado en la sección \ref{reologia-y-dispersion} debido al aplanamiento del perfil de velocidades. Para $Pe <50$ la dispersividad tiende a ser constante indicando que el mecanismo predominante es el geométrico. Los valores experimentales son mayores que los obtenidos analiticamente a través del modelo de Taylor-Aris \cite{aris56}. Además se puede observar que en este rango de $Pe$, la dispersividad es mayor cuanto mayor es la concentración de polímero. Esto es producto de la influencia de las ca\-rac\-te\-rís\-ti\-cas reofluidizantes del fluido, que tienden a aumentar el contraste entre las velocidades de los diferentes caminos de flujo. Para $Pe$ muy bajos observamos que los valores de dispersividad para los 3 fluidos utilizados tienden a ser iguales, lo cual es acorde con lo observado en las EFAF al considerar los valores de dispersividad para $Pe < Pe_c$ (El $Pe_c$ es el $Pe$ característico donde se observa la transición entre el comportamiento newtoniano y de tipo ley de potencias). Para estos valores las velocidades de deformación en el flujo son bajas y las soluciones poliméricas se comportan como newtonianas. Los valores de $Pe_c$ para las EFAL, considerando la apertura media de la fractura, son 9 y 3 para 500 ppm y 1000 ppm respectivamente.

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\subsubsection{Modelo de dispersión geométrica }
\label{modelo-geo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
En la sección \ref{dispersion-geometrica-fracturas} se caracterizó el fenómeno de dispersión geométrica en fracturas y se presentó un modelo que lo describe.

Según este modelo, si incluimos el término de dispersión geométrica, la dispersividad adimensionalizada puede escribirse como:
\\

\begin{equation}
\frac{l_d}{d} = \frac{1}{Pe}+\alpha_G + \alpha_T Pe.
\label{up}
\end{equation}
\\
donde $\alpha_G$ es el término de dispersión geométrica (ver ecuación \ref{eqn:dispergeo})  que no depende de $Pe$ y $\alpha_T$ es el coeficiente de $Pe$ en el término de dispersión de Taylor, que corresponde al valor de $f(n)$ de la ecuación \ref{eqn:dispersitaylor}.
Para $Pe$ mayores que $1/\alpha_G$ (intermedios y altos), la contribución directa de la difusión molecular a la dispersión es despreciable, y tenemos:
\\

\begin{equation}
\frac{l_d}{d} = \alpha_G + \alpha_T Pe.
\label{eqn:fit_ld}
\end{equation}
\\

El comportamiento que se observa en la figura \ref{fig:ldsobreavspecolorarg} responde cualitativamente a este modelo: para $Pe$ bajos, la dispersión geométrica debida a las fluctuaciones de velocidad asociadas a la rugosidad predomina y luego $\frac{l_d}{d}$ es constante con $Pe$; para $Pe$ altos, la dispersión de Taylor domina y $\frac{l_d}{d}$ varía linealmente con $Pe$. En este caso ambas contribuciones se suman de forma tal que $\frac{l_d}{d}$ satisface la ecuación \ref{eqn:fit_ld}.

Para verificar cuantitativamente si el modelo describe correctamente los datos experimentales, y además obtener los valores de los parámetros $\alpha_G$ y $\alpha_T$ correspondientes, se ajustaron los datos experimentales con la función de la ecuación \ref{eqn:fit_ld}.


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13.5cm]{figuras4/ldsobredfiteo.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Variación de la dispersividad $l_d$ adimensionalizada con la apertura media de la fractura $d$, en función de $Pe$. $\triangle$: AG, $\circ$: 500 ppm, $\square$: 1000 ppm. Las barras de error representan los valores de $\Delta (l_d/d)$. Las líneas sólida, punteada y a trazos, corresponden respectivamente al ajuste  por la función de la ecuación \ref{eqn:fit_ld}.
}
\label{fig:ldsobredfiteo}
\end{figure}

En la tabla \ref{tablaalfat} se presentan los valores de los parámetros del modelo obtenidos por ajuste sobre los datos experimentales.

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline 
Fluido & $\alpha_G$ & $\Delta\alpha_G$ & $\alpha_T$ & $\Delta\alpha_T$ & 
$\alpha_G/\alpha_T$ \\
\hline
AG &$0.47$ & $0.04$ & $51.10^{-4}$ & $2.10^{-4}$ & $92$\\
\hline
500 ppm & $0.67$ & $0.05$ & $38.10^{-4}$ & $4.10^{-4}$ & $177$ \\
\hline
1000 ppm & $0.71$ & $0.03$ & $17.10^{-4}$ & $2.10^{-4}$ & $417$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Valores de los parámetros  $\alpha_G$ and $\alpha_T$ obtenidos por ajuste sobre los datos experimentales de la figura \ref{fig:ldsobreavspecolorarg}.}
\label{tablaalfat}
\end{center}
\end{table}

\FloatBarrier
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Dispersión geométrica y reología }
\label{disp-geoyreo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

El ajuste de los datos experimentales pone en evidencia que el coeficiente $\alpha_G$ que caracteriza la dispersión geométrica crece con la concentración de polímero. En el modelo de dispersión geométrica descripto en la sección \ref{dispersion-geometrica-fracturas} se mostró cómo $\alpha_G$ depende de la longitud de correlación de las velocidades $\xi$ y de la amplitud relativa de las fluctuaciones de las mismas $\varepsilon$ según:
\\

\begin{equation}
\alpha_G \propto \frac{\xi \varepsilon^2}{d} 
\label{eqn:rouxalfag}
\end{equation}
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donde $d$ es la apertura media de la fractura.

En la sección \ref{modificacion-de-la-distribucion-de-velocidades}, figura \ref{fig:sigmaxsurx}, se presentaron los resultados que se desarrollan en el apéndice B, a través de los cuales se puede estimar el factor de aumento de la amplitud relativa de las fluctuaciones de velocidad ${{\sigma _v } \over U}$ para el caso de un fluido cuya viscosidad se comporta según el modelo de ley de potencias (\ref{ley-de-potencias}) respecto del caso newtoniano. Este factor vale $(1+n)/2n$ donde $n$ es el índice reológico que caracteriza el fluido.
Realizando la hipótesis de que ${{\sigma _v } \over U}$ describa bien las fluctuaciones relativas de velocidad $\varepsilon$ del modelo de dispersión geométrica, y utilizando los valores medidos de $n$ para los fluidos utilizados (ver \ref{tabla-parametros-carreau}), podemos calcular el aumento de $\alpha_G$ que predice este modelo para las soluciones poliméricas respecto de las newtonianas. Se asume que $\xi$ se mantiene constante para los distintos fluidos (en algunos trabajos \cite{detwiler00,roux98} $\xi$ se estima de la distribución de aperturas de la fractura).
En ese caso tenemos $\frac{\alpha_G^{500 ppm}}{\alpha_G^{agua}} = 3.2$ y $\frac{\alpha_G^{1000 ppm}}{\alpha_G^{agua}} = 5.8$.
 
Si utilizamos los valores experimentales de la tabla \ref{tablaalfat}, estos factores son respectivamente $\frac{\alpha_G^{500 ppm}}{\alpha_G^{agua}}=1.42$ y $\frac{\alpha_G^{1000 ppm}}{\alpha_G^{agua}}=1.51$. La diferencia puede deberse a la existencia del plateau newtoniano de bajas velocidades que no es tenido en cuenta por el modelo de ley de potencias. La viscosidad en la zona de bajas velocidades de deformación es menor que la prevista por el modelo de ley de potencias, resultando en la disminución del contraste de velocidades y luego de $\alpha_G$. 



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\subsubsection{Estimación numérica de la dispersión geométrica para el caso newtoniano}
\label{estimgeonewt}
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Para poder verificar los valores de $\alpha_G$ obtenidos a través del ajuste de los datos experimentales, se requiere una estimación de los valores de $\xi$ y $\varepsilon$ de la ecuación \ref{eqn:rouxalfag}. Experimentalmente,  su determinación involucra el seguimiento de partículas no-difusivas que es difícil de realizar en geometrías confinadas. Se decidió entonces estimar los parámetros a través de una simulación numérica.
Para ello se utilizó el método ``Lattice BGK'' en dos dimensiones. Este método permite resolver la ecuación de Darcy-Brinkman \cite{brinkman47}, para un campo de permeabilidades derivado de la estimación geométrica del campo de aperturas correspondiente a la fractura ``aleatoria'' utilizada en las experiencias. La descripción completa de la técnica y su aplicación puede verse en el trabajo de Talon \cite{talon02}. El coeficiente de Brinkman utilizado es del orden de la apertura media.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/histosimu.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Histograma sobre los valores de $v_x(x,y)$ obtenidos mediante la simulación numérica, para U  = 0.001 en unidades arbitrarias. Se observa una distribución bimodal probablemente debido a los dos valores característicos de apertura en la fractura.  
}
\label{fig:histosimu}
\end{figure}
En la figura \ref{fig:histosimu} se puede observar un histograma de los valores de la velocidad local $v_x(x,y)$ obtenidos mediante la simulación. En la figura \ref{fig:histotmedios} se podía observar una distribución de tiempos de tránsito experimental con tendencia a la bimodalidad para la solución de 1000 ppm. Consideramos probable que el aumento en el contraste de velocidades entre caminos para la solución polimérica ponga en evidencia esta característica del campo de velocidades, mientras que para el caso newtoniano no se observa, ya sea porque la limitada resolución experimental para estimar velocidades locales a través de los tiempos de tránsito no es suficiente, o bien por la existencia de un mecanismo de homogeneización (difusión) transversal de la concentración más eficiente en el caso newtoniano.

A partir del campo de velocidades obtenido de la simulación, se calcula su función de auto-correlación, según la referencia \cite{kitadinis97}.
En la figura \ref{fig:kitadinis} puede verse la función de auto-correlación y su respectivo ajuste por una función gaussiana para obtener $\varepsilon$ y $\xi$.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras4/kitadinis.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Covarianza de la componente de velocidad paralela al flujo como función de la amplitud del intervalo normalizado $\delta/a$.
La línea sólida (punteada) corresponde al intervalo $\vec{\delta}$ considerado paralelo (transversal) a la dirección de flujo. Línea a trazos: Ajuste por la función gaussiana $R= \varepsilon^2 exp(-\frac{|\vec{\delta}|^2}{(\xi)^2)})$ con  $\varepsilon^2 = 0.17$ y
 $\xi/a = 2.65$.
}
\label{fig:kitadinis}
\end{figure} 

Con los valores de $\varepsilon^2$ y $\xi$ obtenidos del ajuste ($\varepsilon^2 = 0.17$, $\xi/a = 2.65$), se obtiene un valor de $\alpha_G$ de 0.45, en buena concordancia con el valor experimental  $0.47 \pm 0.04$ (ver tabla \ref{tablaalfat}).
Este trabajo fue realizado en colaboración con Laurent Talon, del Laboratorio FAST.



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\subsubsection{Dispersión de Taylor y reología}
\label{dispertayloryreo}
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Como se puede observar en la figura \ref{fig:ldsobredfiteo}, cuando $Pe$ crece, los valores de $\frac{l_d}{d}$ para los diferentes fluidos se cruzan, siendo mayores los correspondientes a los fluidos de menor concentración de polímero.
En el rango de $Pe$ altos el comportamiento de $\frac{l_d}{d}$ es lineal en $Pe$, lo cual indica un predominio del mecanismo de Taylor. El coeficiente $\alpha_T$ cuantifica la magnitud de la dispersión de Taylor. Su valor teórico para el caso de fluidos newtonianos o del tipo ley de potencias se obtiene de la ecuación \ref{eqn:fden}, teniendo en cuenta que $\alpha_T = f(n)$. El valor teórico de $\alpha_T$ para el caso newtoniano es $\alpha_T =1/210 =0.0047$, el cual resulta en buena concordancia con el obtenido del ajuste de los datos experimentales, $0.0051 \pm 0.0002$.
  
Para el caso de los fluidos reofluidizantes, los valores teóricos son $0.0024$ (500 ppm) y $0.0016$ (1000 ppm). Estos son iguales o menores que los obtenidos del ajuste de los datos experimentales (respectivamente $0.0038$ y $0.0017$). Esto podría explicarse por el hecho de que la estimación teórica no tiene en cuenta el plateau new\-to\-nia\-no de bajas velocidades, cuya presencia hace que el aplanamiento del perfil de velocidades (ver \ref{reologia-y-dispersion}), que reduce la dispersión de Taylor, no sea tan marcado.
Por lo tanto, los coeficientes obtenidos experimentalmente deberían ser mayores que los predichos considerando el modelo de ley de potencias. Adicionalmente esto debería observarse más en la solución de 500 ppm, debido a que la transición del plateau newtoniano a la zona del modelo de ley de potencias se produce a mayores velocidades de deformación y por ello el aplanamiento del perfil de velocidades es menor respecto del caso de 1000 ppm (ver figura \ref{fig:layers-newt-nonewt}). La forma explícita del perfil de velocidades al considerarse el plateau newtoniano de bajas velocidades puede verse en el trabajo de Gabbanelli \cite{gabbanelli05}.
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En este capítulo hemos descripto las metodologías de análisis utilizadas para las EFAL y los resultados obtenidos, como así la aplicación de un modelo para describirlos.
Se presentó en primer lugar una discusión sobre las diferentes características de los frentes de desplazamiento en las EFAL respecto de las EFAF, y sobre los métodos de análisis adecuados para su interpretación. Seguidamente se presentaron los resultados del método del diagrama espacio-temporal, observándose que el comportamiento de la dispersión es difusivo tanto a escala local como a escala global, contrastando esto último con las EFAF donde el comportamiento a escala global era convectivo. Posteriormente se describieron cualitativamente las formas de los frentes de desplazamiento en función de $Pe$ y de la reología.
En los análisis relacionados con el coeficiente de dispersión, se estableció la pertinencia de definir un único coeficiente de dispersión asociado a una experiencia y se presentaron los resultados de dispersividad y coeficiente de dispersión adimensionales, observándose el ``cruce'' (o $Pe$ crítico) de cambio entre los comportamientos para diferentes reologías. Para $Pe$ bajos, la dispersividad es mayor cuanto mayor es la concentración de polímero, y por otra parte es constante con $Pe$ para los 3 fluidos considerados. Para $Pe$ altos, la dispersividad es mayor cuanto menor es la concentración de polímero, y se comporta en forma lineal con $Pe$ para los 3 fluidos considerados.
Este comportamiento parece estar de acuerdo con el modelo que considera un término de dispersión geométrica y un término de dispersión de Taylor (presentado en las secciones \ref{dispersion-geometrica-fracturas} y \ref{modelo-geo}), predominantes a bajos y altos $Pe$ respectivamente.
Utilizando este modelo se ajustaron los datos experimentales, obteniéndose los parámetros  asociados a cada tipo de dispersión. Para poder contrastar los valores obtenidos de los parámetros asociados a la dispersión geométrica, se realizó una simulación numérica, hallándose los resultados en buena concordancia para el caso newtoniano.
Respecto de los parámetros asociados a la dispersión de Taylor, se compararon los valores del ajuste con la predicción teórica de la fórmula de Taylor generalizada a un fluido de tipo ley de potencias de índice reológico $n$, donde $n=1$ corresponde a un fluido newtoniano. En este caso se encontró buena concordancia para el caso de la solución newtoniana de AG, mientras que las ligeras discrepancias para las soluciones de 500 y 1000 ppm fueron analizadas a la luz de la existencia del plateau newtoniano de bajas velocidades, que no es tenido en cuenta por el modelo de ley de potencias.
Se estableció que la corrección de los valores teóricos a tener en cuenta al considerar la existencia del plateau newtoniano va en la dirección correcta respecto del ajuste de los datos experimentales, incluso discriminando entre diferentes propiedades reológicas.


En el siguiente capítulo discutiremos comparativamente los resultados de las EFAF y de las EFAL y presentaremos las conclusiones del trabajo.

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%\end{document}
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