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\section{La técnica de transmisión de luz}
\label{la-tecnica-de-transmision-de-luz}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

La técnica de transmisión de luz utilizada en este trabajo permite obtener la concentración local de trazador a partir de la medición de la intensidad de luz transmitida a través de la fractura.

Cada vez que la cámara adquiere, la luz generada por el panel luminoso que se transmite a través de la fractura es captada por el sensor de la cámara, obteniéndose en la computadora una imagen de $N \times M$ píxels en niveles de gris.
\textbf{Así, cada posición $(x,y)$ en la fractura puede asociarse a un píxel $(n,m)$ de la imagen obtenida por la cámara, dentro de la resolución que ésta permite.}

En el caso de las EFAL la resolución espacial fue de 40 píxels por cm, en el caso de las EFAF de 55 píxels por cm.

En cada experiencia se obtienen aproximadamente 100 imágenes con la evolución temporal de las intensidades transmitidas en todo punto de la fractura. En la figura \ref{fig:intensidad_transmitida} se puede observar una imagen tomada a la mitad del transcurso de tiempo de una experiencia.
 
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=13cm]{figuras2/intensidad_transmitida.eps}         
\caption{Imagen en niveles de gris tomada a la mitad del transcurso de una experiencia directa con solución polimérica de 500 ppm en las EFAF, caudal $1$ ml/min. Se puede observar como el fluido coloreado (derecha) des\-pla\-za al fluido sin colorear.} 
\label{fig:intensidad_transmitida}
\end{figure}



Para poder obtener las concentraciones locales de trazador a partir de las imágenes en niveles de gris, fue necesario desarrollar y validar experimentalmente un modelo de transmisión de luz, como así también generar una curva de calibración que relacione ambas magnitudes.\\

A continuación describiremos el modelo y el procedimiento para obtener las concentraciones.

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\subsection{La ley de Lambert-Beer}
\label{la-ley-de-lambert-beer}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%monocormatica?
La ley de Lambert-Beer permite relacionar la intensidad de luz transmitida a través de una capa de espesor $h$ que contiene una solución de concentración $c$ de un soluto dado.
La ley se expresa según la ecuación \ref{eqn:beer}
\\

\begin{equation}
I = I_{max} \exp \left( { - \mu {\kern 1pt} \;h\;c} \right)
\label{eqn:beer}
\end{equation}
\\

donde $\mu$ es el coeficiente de absorción del soluto en cuestión, $I^{max}$ la intensidad de luz incidente, $I$ la intensidad de luz transmitida, $c$ la concentración de soluto y $h$ el espesor de la capa atravesada por la luz.
Esta ley tiene validez en el rango de concentraciones y espesores pequeños, y a priori $\mu$ puede ser función de la longitud de onda incidente.
Sin embargo se ha mostrado que, aún en el rango de bajas concentraciones, diversos tipos de solutos se apartan del comportamiento descripto por el modelo Lambert-Beer (Detwiler \cite{detwiler00}).
En experiencias preliminares que realizamos en nuestra configuración experimental, se verificaron comportamientos que se apartaban de los descriptos por esta ley. 

Se postuló entonces una ley mas general que permite describir la absorción de luz a través de nuestra fractura y se realizaron las pruebas correspondientes para verificar su validez.


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\subsection{La ley de Lambert-Beer modificada}
\label{la-ley-de-lambert-beer-modificada}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Consideremos ahora una versión modificada de la ley de Lambert-Beer, dada por la ecuación \ref{eqn:beerext}:
\\

\begin{equation}
I = I_{max} \exp \left( { - \mu {\kern 1pt} \;f_1 (h)\;f_2 (c)} \right)
\label{eqn:beerext}
\end{equation}
\\
donde $f_1 (h)$ es una función de $h$ y $f_2 (c)$ es una función de $c$, valiendo ambas funciones cero cuando su argumento es cero.

Esta ley permite considerar el comportamiento de la transmisión de luz como una modificación de la Ley de Lambert-Beer, siendo bastante general dado que no hay restricciones en cuanto a cómo se deben comportar $f_1$ y $f_2$, pero sin embargo nos proporciona propiedades muy útiles para relacionar las intensidades transmitidas con las concentraciones de colorante.  

Consideremos la transmisión de luz según esta ley a través de una capa de solución de espesor variable $h_{x,y}$ en la posición $(x,y)$, y cuya  concentración es $c_{x,y}$ en la posición $(x,y)$ de la capa.

Supongamos que podemos despreciar por ejemplo fenómenos de refracción, que generen en la cámara una imagen distorsionada del campo de aperturas. En ese caso, la transmisión de luz medida para un pixel $(x,y)$ depende solamente del espesor $h(x,y)$ y la concentración $c(x,y)$ de solución en ese pixel, y no existe influencia de la concentración de las zonas vecinas (en la sección \ref{verificacion-del-campo-de-aperturas-de-la-fractura} se describirá la verificación experimental que nos permite realizar esta hipótesis).
 Entonces podemos considerar la transmisión de luz en cada posición $(x,y)$ en forma independiente.

Asumamos ahora que $c_{x,y}$ es uniforme en el espesor de la capa. Esta hipótesis puede justificarse si consideramos casos donde la difusión molecular tiene suficiente tiempo de desarrollarse en el espesor. Si cal\-cu\-la\-mos el tiempo característico de difusión molecular en un espesor $h$, definido en \ref{mecanismo-de-dispersion-de-taylor} y dado por $\tau _d$ = $h^{2}\over D_m$, utilizando los valores típicos de $h$ de las fracturas utilizadas ($0.07 cm$), y el coeficiente de difusión molecular $D_m$ del "WaterBlue" ($6.5 \times 10^{-10} m^{2} s^{-1}$) se obtiene $\tau _d= 753 s$ = 12 minutos, lo cual valida la hipótesis para las experiencias realizadas.

Supongamos una intensidad incidente no uniforme (caso general) que vale $I^{max}_{x,y}$. 
Definamos $I_{x,y}$ como la intensidad transmitida a través de la capa en la posición $(x,y)$, y consideremos 3 casos:

\begin{enumerate}

\item $c_{x,y}=0$, luego $I_{x,y} = I^{max}_{x,y}$

\item $c_{x,y}=c^i_{x,y}$, luego $ I_{x,y} = I^{max}_{x,y} \exp \left( { - \mu {\kern 1pt} \;f_1 (h_{x,y} )\;f_2 (c^i_{x,y} )} \right) \equiv I^{i}_{x,y}$

\item $c_{x,y}=c^{max}$, luego $I_{x,y} = I^{max}_{x,y} \exp \left( { - \mu {\kern 1pt} \;f_1 (h_{x,y} )\;f_2 (c^{max})} \right)\equiv I^{min}_{x,y}  $

\end{enumerate}

donde $c^i_{x,y}$ puede ser conocida o desconocida, y $c^{max}$ conocida.

Construyamos ahora la función $F^{i}_{x,y}$ definida como:
\\

\begin{equation}
F^{i}_{x,y} = {{\ln ({{I^{i}_{x,y}} \over {I^{max}_{x,y}}})} \over {\ln ({{I^{min}_{x,y}} \over {I^{max}_{x,y}}})}} = {{f_2 (c^{i}_{x,y} )} \over {f_2 (c^{max} )}} \equiv {f_3 (c^{i}_{x,y} )}
\label{eqn:fbeer}
\end{equation}
\\
\FloatBarrier
donde $f_3$ es a priori desconocida e incluye a $c^{max}$ como parámetro.
 
Entonces la ley predice que  $F^{i}_{x,y}$  sólo dependerá de $c^{i}_{x,y}$  pero no del espesor local $h_{x,y}$.

\textbf{Esta propiedad nos permitirá el cálculo de la concentración $c^{i}_{x,y}$, aún en el caso de que $h_{x,y}$ no sea uniforme.}

 $A^{i}_{x,y}={\ln ({{I^{i}_{x,y}} \over {I^{max}_{x,y}}})}$ y
 $A^{min}_{x,y}={\ln ({{I^{min}_{x,y}} \over {I^{max}_{x,y}}})}$ son las definiciones de las adsorbancias relativas de los casos 2) y 3).

De la ecuación \ref{eqn:fbeer} se puede despejar la concentración:
\\

\begin{equation}
c^{i}_{x,y}= f^{-1}_3(F^{i}_{x,y})
\label{eqn:sacoconcbeerext}
\end{equation}
\\

Esto implica que de ser posible determinar $f^{-1}_3$, entonces midiendo $I^{max}_{x,y}$, $I^{i}_{x,y}$ y $I^{min}_{x,y}$ se podría calcular la concentración local de colorante $c^{i}_{x,y}$.


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\subsection{Validación experimental de la ley de Lambert-Beer modificada}
\label{validacion-experimental-de la-ley-de-Lambert-Beer-modificada}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


La validación del modelo, en cuanto a la medición de la concentración $c^{i}(x,y)$, involucra verificar que se cumpla para nuestro sistema la propiedad de la función $F^{i}_{x,y}$ descripta anteriormente.

En la práctica, cada posición $(x,y)$ se asocia a un pixel $(n,m)$ en la imagen de la fractura y tenemos:

\begin{center}

$h_{x,y} \rightarrow h_{n,m}$ 

$c^{i}_{x,y}  \rightarrow  c^{i}_{n,m}$

\end{center}
donde las magnitudes asociadas al pixel $(n,m)$ son un promedio sobre una superficie de aproximadamente $4 \times 10^{-4} $ cm (1 pixel cuadrado).

\textbf{Entonces la propiedad a verificar es que $F^{i}_{n,m}$ dependa de $(n,m)$ sólo a través de $c^{i}_{n,m}$ (que no dependa de $h_{n,m}$). 
En el caso de que $c^{i}_{n,m}$ sea homogénea sobre toda la fractura, $F^{i}_{n,m}$ debe tomar el mismo valor en todos los pixeles $(n,m)$.}


 
%Experimentalmente y debido a las fuentes de error que pueden existir (como por ejemplo el ruido de la cámara), en lugar de encontrar un único valor se podría esperar encontrar una distribución muy fina alrededor de un valor central.

Para realizar la verificación se adquirieron imágenes de la fractura completamente saturada con soluciones de diferentes concentraciones $c^{i}$ ``patrón'' de colorante.
Se hace corresponder $c^{max}$ a la concentración de la solución coloreada usada en las experiencias, $I^{max}_{n,m}$ a la imagen adquirida cuando la fractura está saturada con una solución sin colorante, y $I^{min}_{n,m}$ a la imagen adquirida cuando la fractura está saturada con la solución coloreada.

Para cada una de las concentraciones ``patrón''$c^i$, se adquiere la imagen $I^{i}_{n,m}$. Luego se calcula $F^{i}_{n,m}$ y se realiza un histograma de la distribución de valores de $F^{i}_{n,m}$ sobre todos los píxeles ${n,m}$.


%Nótese que por su definición los valores de $F^{i}_{n,m}$ deben estar en el intervalo $(0,1)$. 
%\\
%Si $c^i=0 \rightarrow  I^{i}_{n,m}$=$I^{max}_{n,m} \rightarrow   F^{i}_{n,m}=0$;
%\\
%Si $c_i=c_{max} \rightarrow I^{i}_{n,m}$=$I^{min}_{n,m}\rightarrow F^{i}_{n,m}=1$ (ver ecuación \ref{eqn:fbeer} ).
%\\

En las EFAF se utilizó $c^{max}$= 0.3 (g/1000g) y $c^i $=0.075 ; 0.125 ; 0.25 ; 0.3 ; 0.375 ; 0.5 (g/1000g).
En las EFAL se utilizó $c^{max}$= 0.4 (g/1000g) y $c^i $=0.05; 0.1 ; 0.2 ; 0.3 ; 0.4 (g/1000g).

En la figura \ref{fig:cuanbuenaesf} podemos observar como ejemplo un histograma de los valores de $F^{0.25}_{n,m}$ sobre la imagen de la fractura saturada con concentración $0.25 g/1000g$ (EFAF).
Se puede observar una distribución de tipo gaussiana muy fina. A partir de un ajuste de tipo gaussiano se pueden obtener la desviación cuadrática media $\sigma_{n,m} (F^{i}_{n,m})$ y el valor medio  $<F^{i}_{n,m}>_{n,m}$ de las distribuciones de las diferentes $F^{i}_{n,m}$.
Se realizó la estimación del error relativo porcentual $e^i ={\sigma_{n,m} (F^{i}_{n,m})/2 \over <F^{i}_{n,m}>_{n,m})}*100$.

En el caso de la distribución de la figura \ref{fig:cuanbuenaesf}, $\sigma_{n,m} (F^{i}_{n,m})=0.0142 \pm 0.0001$ y $<F^{i}_{n,m}>_{n,m}=0.484 \pm 0.001$, obteniendo $e=  
1\%$.
Se verificó que para todas la $c^i$ ``patrón'' en el rango de concentraciones utilizado en las experiencias, este error es menor al 3\%.


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics{figuras2/cuanbuenaesf.eps}%[width=12cm]             
\caption{Histograma de los valores de $F^{0.25}(n,m)$ obtenidos sobre la i\-ma\-gen de la fractura saturada con concentración 0.25 g/1000g. Realizando un ajuste de tipo gaussiano se pueden obtener la desviación cuadrática media $\sigma_{n,m} (F^{i}_{n,m})$ y el valor medio  $<F^{i}_{n,m}>_{n,m}$ de la distribución, a saber: $\sigma_{n,m} (F^{i}_{n,m})=0.0142 \pm 0.0001$ y $<F^{i}_{n,m}>_{n,m}=0.484 \pm 0.001$.}
\label{fig:cuanbuenaesf}
\end{figure}


\FloatBarrier

A partir de la validación del modelo de Lambert-Beer extendido se puede aproximar
$F^{i}_{n,m}$ por $<F^{i}_{n,m}>_{n,m}$ con un error relativo porcentual menor al 2\% cuando la concentración es homogénea en toda la fractura.
Esta propiedad fue utilizada para la obtención de una curva de calibración que permitiera determinar $f^{-1}_3$ experimentalmente.



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\subsection{Curva de calibración}
\label{curva-de-calibracion}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Haciendo uso de la ecuación \ref{eqn:sacoconcbeerext}, se puede establecer experimentalmente una curva de calibración que permita determinar $f^{-1}_3$.

Para ello debemos tener en cuenta que  cuando la concentración es uniforme en toda la fractura, podemos aproximar $F^{i}_{n,m}$ por $<F^{i}_{n,m}>_{n,m}$, y entonces la ecuación \ref{eqn:sacoconcbeerextmedio} queda:
\\

\begin{equation}
c^{i}= f^{-1}_3(<F^{i}_{n,m}>_{n,m})
\label{eqn:sacoconcbeerextmedio}
\end{equation}
\\

Midiendo $(<F^{i}_{n,m}>_{n,m})$ para las concentraciones ``patrón'' $c^{i}$, obtenemos la curva de calibración (ver figura \ref{fig:curvarefefaf}).
Luego interpolando los puntos experimentales podemos obtener una expresión analítica de 
$f^{-1}_3$.


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]  {figuras2/curvarefefaf.eps}%[width=12cm]             
\caption{Obtención de la curva de calibración para las EFAF. Las barras de error representan el error al considerar $F(x,y)$ constante sobre todos los ${x,y}$. La línea llena muestra el ajuste por un polinomio de grado 3 que se utilizó como curva de calibración.}
\label{fig:curvarefefaf}
\end{figure}

\FloatBarrier

Una vez determinado $(<F^{i}_{n,m}>_{n,m})$ para cada concentración ``patrón'', se procedió a realizar un ajuste que brindara una expresión analítica para la conversión de intensidades de luz transmitidas en concentración. El ajuste se realizó utilizando un polinomio de grado 3, quedando descripta la relación entre$(<F^{i}_{n,m}>_{n,m})$  y la concentración por la ecuación \ref{eqn:curvarefanaefaf}.
 \\

\begin{equation}
{c_i}=b_1 (<F^{i}_{n,m}>_{n,m}) + b_2 ((<F^{i}_{n,m}>_{n,m}))^2 + b_3 ((<F^{i}_{n,m}>_{n,m}))^3
\label{eqn:curvarefanaefaf}
\end{equation}
 \\

Para el caso de las EFAF los valores obtenidos durante el ajuste fueron:
 $b_1 = 0.18\pm 0.02$, $b_2=0.01\pm 0.04$ y $b_3=0.11\pm 0.02$.

En el caso de las EFAL, se realizó un procedimiento similar utilizando un polinomio de segundo grado. En cada caso se utilizó el polinomio de menor grado que permitiera un buen ajuste, pues las variaciones son relativamente suaves (pequeñas desviaciones de Lambert-Beer), y por lo tanto la curva de referencia no tiene gran sensibilidad al grado de polinomio utilizado:   

\begin{equation}
{c_i}=b_1 (<F^{i}_{n,m}>_{n,m}) + b_2 ((<F^{i}_{n,m}>_{n,m}))^2 
\label{eqn:curvarefanaefal}
\end{equation}

con: 

 $b_1 = 0.14\pm 0.01$, $b_2=0.25\pm 0.01$

Una vez obtenida la expresión analítica para la curva de calibración, en la práctica ésta se aplica a todas las imágenes $I(x,y,t)$, obteniéndose entonces los mapas de concentración normalizada $c/c^{max}(x,y,t)$ para todas las experiencias (figura \ref{fig:imagconc}). Estimamos el error en la determinación de la concentración en el orden del 3\%.


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{figuras2/imagconc_int.eps}%[width=12cm]             
\caption{Arriba: La misma imagen de la figura \ref{fig:intensidad_transmitida}. Abajo: El mapa de concentraciones correspondiente. El color blanco (negro) corresponde al valor 1 (0) de concentración de colorante.}
\label{fig:imagconc}
\end{figure}

\FloatBarrier

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Verificación del campo de aperturas de la fractura}
\label{verificacion-del-campo-de-aperturas-de-la-fractura}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
En esta sección presentaremos la verificación experimental que justifica la hipótesis, mencionada en la sección anterior, que permite descartar fenómenos de refracción que generen que la cámara adquiera una imagen distorsionada del campo de aperturas.
También se muestra el grado de correspondencia entre el campo de aperturas digital original generado por algoritmo y el de la fractura modelo ya montada.
Es necesario verificar esta correspondencia dado que, si, por ejemplo la prensa que sostiene la fractura ejerciera de\-ma\-sia\-da presión sobre ella, el acrílico podría deformarse y el campo de aperturas podría modificarse.

Consideremos las imágenes de la fractura para los casos de concentración homogénea $c=0$ ($I^{max}_{n,m}$) y $c=c^{max}$ $(I^{min}_{n,m})$.

Consideremos $A^{min}_{x,y}$:
\begin{equation}
A^{min}_{x,y}  = \ln \left( {{{I_{n,m}^{\min } } \over {I_{n,m}^{\max } }}} \right) 
\label{eqn:curvarefanaefaf2}
\end{equation}

Según nuestro modelo de transmisión de luz tenemos:

\begin{equation}
A^{min}_{x,y}  = \ln \left( {{{I_{n,m}^{\min } } \over {I_{n,m}^{\max } }}} \right) =  - \mu f_2 (c^{max} )f_1 (h_{n,m} ) = - cte{\kern 1pt} \times f_1 (h_{n,m} )
\label{eqn:curvarefanaefaf3}
\end{equation}


Si realizamos la aproximación:

\begin{equation}
f_1 (h_{n,m} ) \simeq h_{n,m} 
\label{eqn:curvarefanaefaf4}
\end{equation}


(esto es, considerar pequeñas desviaciones del modelo de Lambert-Beer en cuanto a la dependencia con el espesor), tenemos: 

\begin{equation}
A^{min}_{x,y}  \simeq - cte. \times h_{n,m}
\label{eqn:curvarefanaefaf5}
\end{equation}


Entonces $A^{min}_{x,y}$ da una aproximación al campo de aperturas a menos de una constante multiplicativa.

En la figura \ref{fig:comparaaper} podemos ver una comparación cualitativa entre 
$A^{min}_{x,y}$ y el campo de aperturas original ge\-ne\-ra\-do por algoritmo.

Se observa una buena correspondencia en intensidad inclusive en detalles finos.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras2/comparaaper.eps}             
\caption{Imagen superior: Imagen en falso color del campo de aperturas generado por algoritmo. Imagen inferior: Imagen en falso color del campo de aperturas obtenido mediante las imágenes de la fractura saturada con fluido coloreado y con fluido sin colorear ($I_{n,m}^0$), en el dispositivo ya montado. El color claro corresponde a aperturas pequeñas y el oscuro a aperturas grandes.}
\label{fig:comparaaper}
\end{figure}

La buena correspondencia espacial permite establecer que la i\-ma\-gen del campo de aperturas obtenido por la cámara no sufre distorsiones (por refracción por ejemplo) respecto del campo de aperturas original generado por algoritmo.

En el siguiente capítulo presentaremos las metodologías de análisis y los resultados de las EFAF.

%Tanto en las EFAL como en las EFAF el resultado global de la incertidumbre en la medición de la concentración fue estimada en 1.5\%.

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%\end{document}
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