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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dispersión hidrodinámica}
\label{dispersion-hidrodinamica}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Introducción}
\label{introduccion}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Consideremos el flujo de dos fluidos miscibles inicialmente separados. Si éstos entran en contacto, se desarrolla una zona de mezcla alrededor de la zona de contacto inicial.
Las diferencias entre ciertas propiedades físicas tales como la concentración de los componentes de las fases fluidas tienden a nivelarse con el paso el tiempo. 
Muchos fenómenos contribuyen a este efecto global, por ejemplo, la difusión molecular y las inhomogeneidades en la distribución de velocidades.
De igual forma, si en un medio de geometría restringida (un medio poroso, un canal, un tubo cilíndrico o una fractura) se satura con un fluido y éste es desplazado por otro, siendo las fases miscibles entre sí, se observa también una zona de transición o mezcla.
La dispersión es la magnitud física que describe la evolución de dicha zona de transición.
En flujos de estas características la geometría no es el único factor importante, se deben tener en cuenta además las propiedades reológicas de los fluidos (si estos no son newtonianos) y las posibles interacciones fisicoquímicas entre los fluidos transportados y las paredes sólidas.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Dispersión de trazadores}
\label{dispersion-de-trazadores}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Dispersión en medios homogéneos}
\label{dispersion-en-medios-homogeneos}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Si consideramos nuestro sistema a una escala mucho mayor que el tamaño de los poros, podemos considerar nuestro medio como homogéneo, y definir cantidades macroscópicas.
La dispersión de un trazador pasivo (aquél que no interactúa con el medio) es un proceso que surge de la combinación de los efectos  de la convección y de la difusión molecular.
De manera práctica, el proceso de dispersión se estudia inyectando un trazador en un fluido que se desplaza dentro de un medio en régimen estacionario siguiendo el esparcimiento espacial y/o temporal de éste en el interior del mismo.
En el caso de flujos confinados en geometrías simples (celdas de Hele-Shaw, tubos capilares, etc.) el campo de velocidades puede ser calculado explícitamente. La resolución de las ecuaciones que gobiernan el fenómeno de dispersión permite estudiar en forma relativamente simple la evolución de la zona de mezcla. 
Supongamos que inyectamos un trazador pasivo, inicialmente localizado en un pequeño volumen, en un fluido que se desplaza a través de un medio aleatorio con una velocidad media U. Luego observamos como se esparce el trazador en el tiempo.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras1/kgparaleloyperpen.eps}             
\caption{Proceso de dispersión de un trazador en un flujo estacionario de velocidad media U. }
\label{fig:kgparaleloyperpen}
\end{figure}

En la figura  \ref{fig:kgparaleloyperpen} se ve la evolución de una gota de trazador en un flujo ca\-rac\-te\-ri\-za\-do por una velocidad $U$ constante. En un instante $t$, el tamaño de la gota resulta proporcional a $\sqrt t$, pero la deformación de la gota no es la misma en la dirección perpendicular 
$\sqrt{D_{\bot}  t}$ o paralela al flujo $\sqrt{D_{//} t}$.
$D_{//}$ y $D_{\bot}$  se denominan respectivamente coeficientes de dispersión longitudinal y perpendicular (respecto a la dirección del flujo principal), siendo sus dimensiones idénticas a las que corresponden al coeficiente de difusión molecular. Estos coeficientes tienen sentido macroscópicamente, en una escala mucho mayor al tamaño de los poros.
En medios porosos, los dos coeficientes, $D_{//}$ y $D_{\bot}$, dependen fuertemente de la estructura desordenada del campo de velocidad local generado entre los  poros: este tipo de dependencia permite caracterizar estructuralmente al medio, por ejemplo, poner de manifiesto la presencia de heterogeneidades en el mismo.

A continuación presentaremos los diferentes mecanismos de dispersión relacionados con medios porosos y fracturados. Dependiendo del sistema particular que se considere, la influencia relativa de estos mecanismos será diferente.
En general los efectos asociados al desorden en el campo de velocidades son más importantes en los medios porosos que tienen una geometría compleja, mientras que en fracturas de paredes lisas prevalecen los asociados al perfil de velocidades entre las paredes.
En el caso de fracturas rugosas ambos efectos pueden estar presentes y deben ser considerados.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Difusión molecular}
\label{difusion-molecular}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 El proceso de difusión molecular está asociado al flujo de la materia desde una zona del sistema de mayor concentración a otra de menor concentración, como resultado de movimientos moleculares aleatorios (caracterizados por una velocidad térmica). Por lo tanto, la difusión tiende a producir una homogeneización de la concentración. 
Las hipótesis básicas para la descripción matemática de este fenómeno son análogas a las utilizadas en la ecuación de difusión del calor de Fourier y fueron planteadas por Fick en 1855. La teoría matemática de la difusión de sustancias en un medio isótropo se basa en que el flujo difusivo, $\bar J$, (cantidad de masa que atraviesa la unidad de área por unidad de tiempo) es proporcional al gradiente de concentración en la dirección normal a la sección. En el caso unidimensional tenemos:
\\

\begin{equation}
\bar J =  - D_m \frac{{\partial c}}{{\partial x}}\hat x
\label{eqn:fick}
\end{equation}
\\
donde $c(x,t)$ es la concentración de soluto en $g/cm^3$ y $D_m$ es el coeficiente de difusión molecular expresado en $cm^2 /s$. La ecuación diferencial de la difusión puede derivarse de la ecuación  \ref{eqn:fick} analizando la variación del flujo difusivo en un diferencial de volumen:
\\

\begin{equation}
\frac{{\partial c}}{{\partial t}} = D_m \frac{{\partial ^2 C}}{{\partial x^2 }}
\label{eqn:difusion}
\end{equation}
\\

En general, las soluciones se expresan en función de la variable adimensional  
$\xi = x^2 /D_m t$, de modo que es posible calcular $D_m$ dados un tiempo y una longitud característicos de difusión, o bien conociendo la concentración en función del tiempo.  
Los órdenes de magnitud típicos de $D_m$ son de $10^{-1}  cm^2 /s$ en gases (CNPT), $10^{-5}  cm^{2} /s$ en líquidos (a 300K) y desde $10^{-6}  cm^{2} /s$ a $10^{-20}  cm^{2} /s$ en sólidos.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Ecuación microscópica de convección-difusión}
\label{ecuacion-microscopica-de-conveccion-difusion}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Una primera escala para describir el proceso de dispersión de un trazador en un medio poroso, es una escala muy pequeña en relación con el tamaño de los poros, pero muy grande respecto de las distancias intermoleculares. En esta escala, el fluido puede ser descripto como una fase continua gobernada por las ecuaciones clásicas de la hidrodinámica: la de Navier Stokes o la ecuación de conservación de la masa.
Si $c(\bar r,t)$  es la concentración másica (masa de trazador por unidad de volumen), el flujo de trazador debido a la difusión molecular está dado por la ecuación \ref{eqn:fick3d} 
\\

\begin{equation}
\bar J_d  =  - D_m \bar \nabla c(\bar r,t)
\label{eqn:fick3d}
\end{equation}
\\

Supongamos que $\bar u(\bar r,t)$  es el campo de velocidades. El flujo de trazador $\bar J_c$ debido a la convección dentro del fluido es:
\\

\begin{equation}
\bar J_c  = \bar u(\bar r,t)c(\bar r,t)
\label{up}
\end{equation}
\\

El flujo de masa total de trazador será la suma del flujo convectivo más el difusivo:
\\

\begin{equation}
\bar J = \bar uc(\bar r,t) - D_m \bar \nabla c(\bar r,t)
\label{up}
\end{equation}
\\

Combinando esta ecuación con la de continuidad:
\\

\begin{equation}
{{\partial c(\bar r,t)} \over {\partial t}} + div\bar J = 0
\label{up}
\end{equation}
\\

resulta:
\\

\begin{equation}
{{\partial c(\bar r,t)} \over {\partial t}} + \bar u \bullet \bar \nabla c(\bar r,t) = D_m \nabla ^2 c(\bar r,t)
\label{eqn:difconvmic}
\end{equation}
\\

La ecuación  \ref{eqn:difconvmic} describe el transporte de un trazador por efectos combinados de la convección y la difusión molecular, y se conoce como ecuación de convección-difusión. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Ecuación macroscópica de convección-dispersión}
\label{ecuacion-macroscopica-de-conveccion-dispersion}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Analicemos cualitativamente el fenómeno de dispersión. En forma es\-que\-má\-ti\-ca, podríamos presentarlo de la siguiente manera: inicialmente se satura un medio poroso a caudal constante con un líquido dado, alcanzando el estado estacionario, y a partir de cierto instante, se inyecta en la entrada el mismo líquido, pero con una concentración uniforme de trazador (es decir que la condición inicial para la concentración de trazador es una función de tipo escalón). A la salida del medio se registra la variación de la concentración del trazador en función del tiempo en el líquido emergente, tal como ilustra en la figura \ref{fig:esemedio}. Si me\-di\-mos la evolución temporal de la concentración a la salida del medio, ésta no presenta -como sucedería si efectuaramos la medición a la entrada- un salto abrupto sino un incremento mucho más suave, hasta llegar a su valor máximo. La distribución temporal de la concentración a la salida nos permite caracterizar la zona de mezcla entre ambos fluidos.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras1/esemedio3.eps}             
\caption{Dispersión hidrodinámica de un perfil de concentración en forma de escalón. Se observa la variación temporal cualitativa de la concentración en una posición a la entrada del medio (izq.) y otra a la salida (der.)}
\label{fig:esemedio}
\end{figure}

\FloatBarrier
Numerosos trabajos experimentales y teóricos \cite{bear72} muestran que frecuentemente las variaciones del valor medio de la concentración de trazador pueden escribirse a través de una ecuación de convección-difusión macroscópica (ge\-ne\-ra\-li\-za\-ción de la ley de Fick). Es decir, escribimos una ecuación macroscópica que tiene una forma análoga a la ecuación de convección-difusión y que solamente será válida para medios porosos homogéneos.
\\

\begin{equation}
{{\partial C(\bar r,t)} \over {\partial t}} + \bar U \bullet \bar \nabla C(\bar r,t) = D_{//} \nabla _{//}^2 C(\bar r,t) + D_{\bot}  \nabla _ \bot ^2 C(\bar r,t)
\label{eqn:dispmacro}
\end{equation}
\\
donde $\nabla_{\bot}^2$  es el laplaciano correspondiente a la dirección normal a la velocidad media $U$ y $\nabla _{//}^2$  es el laplaciano correspondiente a la dirección de flujo. La concentración $C$ es ahora una concentración macroscópica definida en un tamaño mucho mayor al tamaño de los poros.
Esta ecuación es válida en una escala macroscópica donde las variables (por ejemplo la permeabilidad o la porosidad) son definidas sobre el volumen elemental representativo (VER) relacionado con las longitudes típicas de la geometría involucrada. Como se indicó en la sección \ref{VER}, el VER es el mínimo volumen en el que pueden calcularse las propiedades del medio poroso y del flujo en su interior, de manera tal que sus valores no fluctúen considerablemente al calcularlas en volúmenes mayores. De la elección de este volumen dependerá la escala en la que se promedian las variaciones de la velocidad, lo que permitirá (o no) la detección o puesta en evidencia de las heterogeneidades.
Como se dijo, $D_{//}$ y $D_{\bot}$  son respectivamente los coeficientes de dispersión longitudinal y transversal y miden el esparcimiento de una concentración inicial de trazador en la misma dirección (//) y en la dirección perpendicular ($\bot$) a la velocidad media. En general, estos coeficientes son mucho más grandes que el coeficiente de difusión molecular y tienen en cuenta los efectos de la variación de la velocidad local entre poros y los gradientes de velocidad asociados a un perfil de tipo Poiseuille en el interior de un poro individual. Estos efectos no resultan idénticos en la dirección del flujo y en la dirección perpendicular al mismo.
La ecuación \ref{eqn:dispmacro} describe la evolución de la concentración de trazador tal como se muestra en la figura \ref{fig:esemedio}.

La importancia relativa entre los efectos convectivos y difusivos a escala microscópica se caracteriza por un número sin dimensiones, llamado número de Peclet (Pe):
\\

\begin{equation}
Pe = {{Ud} \over {D_m }} = {{d^2 U} \over {D_m d}} = {{\tau _d } \over {\tau _c }}
\label{up}
\end{equation}
\\
\\

\begin{equation}
\tau _d = {{d^2} \over {D_m}}, \tau _c = {{d} \over {U}}
\label{up}
\end{equation}
\\
donde $\tau _d$  y $\tau _c$  son los tiempos característicos correspondientes al transporte difusivo y convectivo respectivamente, calculados para una distancia característica $d$. En el caso de medios porosos homogéneos esa distancia co\-rres\-pon\-de aproximadamente a la mitad del tamaño promedio de poros, y en el caso de una fractura única, esa distancia corresponde a la apertura media.
En condiciones de flujo axial la dispersión transversal suele ser despreciable. En particular, nos interesaremos por el caso de flujos unidireccionales donde inicialmente la concentración de trazador está distribuida uniformemente en un plano normal a la dirección de flujo.
En estas condiciones, la ecuación \ref{eqn:dispmacro} puede reescribirse como:
\\

\begin{equation}
{{\partial C(x,t)} \over {\partial t}} + U{{\partial C} \over {\partial x}} = D {{\partial ^2 C} \over {\partial x^2 }}
\label{eqn:convecdisp}
\end{equation}
\\
donde hemos reemplazado $D_{//}$ por $D$, despreciando el término correspondiente a la dispersión transversal, siendo ahora $C$ ahora solamente función de $x$ y de $t$, y $\vec U = U\hat x$  la velocidad media.
La ecuación \ref{eqn:convecdisp} sólo es válida cuando los tiempos de tránsito son muy grandes (asociados por ejemplo a los procesos difusivos sobre escalas espaciales grandes) respecto al tiempo convectivo medio ($L/U$) donde $L$ es la longitud de la muestra.

Para el caso de una inyección inicial con una variación de concentración de tipo función escalón (figura \ref{fig:esemedio}) se puede encontrar la solución analítica de la ecuación \ref{eqn:convecdisp}, con las siguientes condiciones iniciales:

$C(x,0)=1$ para $x \leq  0$

$C(x,0)=0$ para $x > 0$

Para medios suficientemente largos (concentración nula en el infinito), se puede demostrar que la solución para $x = L$ resulta:
\\

\begin{equation}
C(L,t) = {1 \over 2}\left[ {1 - erf({{L - Ut} \over {2\sqrt {D t} }})} \right]
\label{eqn:erf}
\end{equation}
\\

La solución \ref{eqn:erf} describe la distribución de concentración en función del tiempo y corresponde a una solución de tipo gaussiana.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Mecanismo de dispersión de Taylor}
\label{mecanismo-de-dispersion-de-taylor}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Taylor \cite{taylor53} fue el primero en estudiar los efectos conjugados de la convección y de la difusión molecular cuando existe un gradiente de velocidades. La llamada dispersión de Taylor está asociada a la dispersión de un trazador en presencia de un flujo de Poiseuille, donde el coeficiente de dispersión resulta proporcional al cuadrado del número de Peclet, siendo el factor de proporcionalidad dependiente de la geometría.

Los ejemplos más conocidos están asociados a una geometría cilíndrica y a una celda de Hele-Shaw (que describiremos a continuación), interesándonos particularmente este último por representar una aproximación a la geometría de una fractura real.
En este mecanismo se conjugan los efectos de la difusión molecular y las inhomogeneidades en el campo de velocidades.

Por ejemplo, en el caso de tener un perfil de velocidades de tipo Poiseuille en una celda de Hele-Shaw, una característica importante de este mecanismo es que el gradiente transversal en el campo de velocidades, con velocidad máxima en el centro y nula en las paredes, se combina con la difusión molecular para uniformizar la concentración en el plano transversal al flujo.
Por esta característica este mecanismo de dispersión prevalece en geometrías simples, mientras que en geometrías mas complejas, como los medios porosos tridimensionales, suelen prevalecer otros tipos de mecanismos asociados al grado de desorden en el campo de velocidades.

Sean $a^2 /D_m$ y $L/U$ los tiempos característicos de difusión  molecular en el ancho del canal y de convección respectivamente (donde $a$ puede ser el radio en una geometría cilíndrica o la apertura en una fractura, $D_m$ el coeficiente de difusión molecular, $L$ la longitud del medio y $U$ la velocidad media). Para que la dispersión de Taylor tenga lugar deberá cumplirse que:

\begin{center}
$L/U >> a^2 /D_m$ %l/u<<1125
\end{center}
%reynolds  usando u=100 mPas,ro=1g/cm3,me da nu=0.01 cm2/s
% u=0.03cm/s (la mas alta que usamos),a=0.075 cm da Re=0.2

Esta condición implica que, para que el régimen de Taylor pueda de\-sa\-rro\-llar\-se, el tiempo de tránsito deberá ser mucho mayor que $a^2 /D_m$, el tiempo característico de difusión sobre la distancia $a$.
De esta forma la difusión molecular transversal al flujo tiene tiempo de "homogeneizar'' concentraciones.
En la figura \ref{fig:taylortlargo}, tomada de \cite{vartuli95}, se presentan resultados de una simulación de tipo Montecarlo del fenómeno de dispersión en una celda de Hele-Shaw. Se puede ver que para tiempos cortos ($t=100$), la distribución de partículas sigue el perfil de Poiseuille. Para tiempos intermedios ($t=1000$) se observa como la difusión molecular va homogeneizando la concentración de trazador en el plano transversal al flujo. Finalmente para tiempos largos ($t=10000$) se alcanza el régimen de Taylor y la concentración en el plano transversal al flujo es homogénea.

Para tiempos cortos ($t=100$), el esparcimiento es generado principalmente por mecanismos convectivos, y está dado por la ecuación \ref{eqn:esparconvec}
\\

\begin{equation}
\bar{\Delta x} = Ut
\label{eqn:esparconvec}
\end{equation}
\\
 
Para tiempos largos el esparcimiento longitudinal de trazador presenta ca\-rac\-te\-rís\-ti\-cas que pueden asociarse a procesos difusivos, si bien es una suma de los efectos combinados de la difusión molecular transversal y la convección longitudinal.
El coeficiente de dispersión de Taylor cuantifica este esparcimiento de tipo difusivo, según la ecuación \ref{eqn:espardifu}:
\\

\begin{equation}
\bar{\Delta x} = \sqrt {D_{taylor} t} 
\label{eqn:espardifu}
\end{equation}
\\
o bien temporalmente \cite{koplik88}:
\begin{equation}
\bar{\Delta t} = {{ }}\sqrt {{{{D_{taylor}}} \over {{{U}}^{{2}} }}{{t}}} 
\label{eqn:espardifutemp}
\end{equation}

El tiempo característico de transición entre un régimen y el otro es $\tau _d =a^2 /D_m$, tiempo característico de la homogeneización transversal por difusión molecular. Para  $t=\tau _d$  el esparcimiento está bien descripto por las ecuaciones \ref{eqn:esparconvec} y \ref{eqn:espardifu} simultáneamente.
En ese caso tenemos
\\

\begin{equation}
\sqrt {D_{taylor} \tau _d }  \simeq U\tau _d  \Rightarrow D_{taylor}  \propto {{U^2 a^2 } \over {D_m }}
\label{up}
\end{equation}
\\
y entonces el coeficiente de dispersión de Taylor tendrá una dependencia de tipo cuadrática en la velocidad de flujo.
Por brevedad notaremos $D$ por $D_{taylor}$.

La dispersividad $l_d$ se define como $D/U$, y es una longitud característica de dispersión.




\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras1/taylortlargo.eps}             
\caption{Mecanismo de dispersión de Taylor: se puede ver en la figura la evolución de la distribución de partículas hasta alcanzar el régimen de Taylor a tiempos largos. Las unidades de $t$ son arbitrarias.}
\label{fig:taylortlargo}
\end{figure}

\FloatBarrier
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Dispersión de Taylor en una celda de Hele-Shaw (placas plano-paralelas)}
\label{taylor-hele-shaw}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Estudiemos el fenómeno de dispersión de Taylor en una geometría particular.
Taylor y Aris \cite{aris56}  supusieron un flujo estacionario caracterizado por una velocidad media $\vec U = U\hat x$  en un tubo de radio $R$, con condiciones iniciales de tipo función escalón en la concentración. En este apartado reproducimos un cálculo similar \cite{boschantesis} pero tomando en cuenta la geometría de una celda de Hele-Shaw.
Podemos ver en la figura \ref{fig:celdahelle} el sistema a considerar.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics{figuras1/celdahelle.eps}             
\caption{Esquema del sistema de coordenadas elegido. La distancia entre placas está dada por $d$}
\label{fig:celdahelle}
\end{figure}
\FloatBarrier
En ese sistema de coordenadas la ecuación de difusión-convección se expresa como:
\\

\begin{equation}
D_m {{\partial ^2 c} \over {\partial y^2 }} + u_x (y){{\partial c} \over {\partial x}} = {{\partial c} \over {\partial t}}
\label{up}
\end{equation}
\\
donde $D_m$ es el coeficiente de difusión molecular, c la concentración y $u_x$ la velocidad de flujo.
Si efectuamos un cambio de coordenadas dado por:
\\

\begin{equation}
x_i  = x - U\,t,t_i = t
\label{up}
\end{equation}
\\
de forma de tener un referencial que se desplace con la velocidad media del fluido U, obtenemos:
\\

\begin{equation}
D_m {{\partial ^2 c} \over {\partial y^2 }} - (u_x  - U){{\partial c} \over {\partial x_i }} = {{\partial c} \over {\partial t}}
\label{eqn:taylorcambiocoord}
\end{equation}
\\
Consideremos ahora en ese sistema el perfil de velocidades correspondiente a un flujo parabólico (flujo de Poiseuille): 
\\

\begin{equation}
u_x (y) = {3 \over 2} U \left[1 - \left({{2y} \over {d}}\right)^{2}\right] 
\label{eqn:poivelo}
\end{equation}
\\
para $y$ entre $0$ y $d/2$ (el perfil es simétrico respecto de $y=0$). 

Si tenemos en cuenta que el flujo es estacionario y suponemos que el gradiente de concentración en la dirección del flujo es constante, hipótesis hecha por Taylor, resulta 

\begin{equation}
{{\partial c} \over {\partial t}} = 0,{{\partial c} \over {\partial x_i }} = cte.
\label{up}
\end{equation}
\\
y reemplazando la ecuación \ref{eqn:poivelo} en la ecuación \ref{eqn:taylorcambiocoord} obtenemos:
\\

\begin{equation}
{{\partial ^2 c} \over {\partial y^2 }} = {U \over {D_m }}\left[ {{3 \over 4}\left( {{{2y} \over d}} \right)^2 } \right]{{\partial c} \over {\partial x_i }}
\label{up}
\end{equation}
\\
Si se integra ahora usando la condición de contorno en la pared,  $y = d/2$:
\\

\begin{equation}
{{\partial c} \over {\partial y}} = 0
\label{up}
\end{equation}
\\
obtenemos
\\

\begin{equation}
c(y) = {U \over {D_m }}{{\partial c} \over {\partial x_i }}{1 \over 2}\left[ {{{y^2 } \over 2} - d^2 \left({{2y} \over d}\right)^4 } \right] + C_1 
\label{up}
\end{equation}
\\

El coeficiente de dispersión $D$ surge de utilizar un análogo a la ley de Fick dada por la ecuación \ref{eqn:fick}
\\

\begin{equation}
J = {{Q_m } \over {ad}} =  - D {{\partial c} \over {\partial x_i }}
\label{up}
\end{equation}
\\

donde $a$ es el ancho de la celda y $d$ su espesor.

El caudal másico se puede calcular como:
\\

\begin{equation}
Q_m  = 2a\int\limits_0^{d/2} {u_{xi} (y)\;} c(y)\;dy
\label{up}
\end{equation}
\\
donde se integra sobre el semiespesor de la celda y multiplicamos por 2 utilizando la simetría de reflexión en la coordenada $y$. La constante $C_1$ desaparece al integrar. 

Integrando se obtiene:
\\

\begin{equation}
{{Q_m } \over {a d}} = {{U^2 } \over {D_m }}{{d^2 } \over {210}}{{\partial c} \over {\partial x_i }}
\label{eqn:ec210newt}
\end{equation}
\\

y finalmente:
\\

\begin{equation}
D  = {{U^2 } \over {D_m }}{{d^2 } \over {210}}
\label{up}
\end{equation}
\\

en términos del número de Peclet:
\\

\begin{equation}
{{D } \over {D_m }} = {1 \over {210}}Pe^2 
\label{eqn:coefdispnewtsinaris}
\end{equation}
\\

La dispersividad $l_d = D/U$ está dada por:
\\

\begin{equation}
l_d  = {{d\;Pe} \over {210}} 
\label{eqn:dispersitaylorsinaris}
\end{equation}
\\

El resultado de Aris-Taylor \cite{aris56} considera adicionalmente un término que tiene en cuenta la contribución directa de la difusión molecular a la dispersión a muy bajos $Pe$:
\\

\begin{equation}
{{D } \over {D_m }} = 1 + {1 \over {210}}Pe^2 
\label{eqn:coefdispnewt}
\end{equation}
\\


\begin{equation}
l_d  = d\left( {{1 \over {Pe}} + {{\;Pe} \over {210}}} \right)
\label{eqn:dispersitaylor}
\end{equation}
\\


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Dispersión geométrica}
\label{dispersion-geometrica}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Consideremos el caso de geometría más compleja, como el de la figura \ref{fig:disp_geom}. En el sistema  de caminos interconectados que forma la
estructura, las partículas de trazador pueden seguir diferentes trayectorias. Las
variaciones en las velocidades locales provoca el esparcimiento de la masa de trazador, el cual ocupará un volumen  cada vez mayor en el medio a considerar. Los dos elementos básicos en este tipo de mezcla, a menudo llamada
dispersión mecánica, son el flujo y la presencia de la estructura geométrica aleatoria en la cual ocurre el desplazamiento.

Además de esta inhomogeneidad a escala microscópica, podemos
encontrar también heterogeneidades a escala macroscópica, debidas
por ejemplo a variaciones de permeabilidad de una zona a otra del
medio, etc. Estas he\-te\-ro\-ge\-nei\-da\-des también contribuyen a la dispersión
del trazador en el medio.
\\\indent En general, la dispersión geométrica domina en medios porosos tridimensionales a velocidades altas, y se expresa introduciendo un término proporcional a la velocidad media en el coeficiente de dispersión \cite{saffman59}.
Asimismo, en sistemas de fracturas donde haya un alto grado de desorden en el campo de velocidades este mecanismo puede participar contribuyendo a la dispersión.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{figuras1/dispgeo.eps}
\caption{Dispersión geométrica en un medio poroso.}
\label{fig:disp_geom}
\end{center}
\end{figure}
\\
\\\indent El desplazamiento de las partículas de trazador en el medio se puede des\-cri\-bir como una caminata aleatoria de un conjunto de partículas, donde cada partícula seguirá una trayectoria independientemente de las otras. Si $N$ es el número de pasos realizados en un cierto tiempo $t$ y $\lambda$ es la longitud de cada salto o paso de la caminata, entonces el desplazamiento cuadrático medio luego de $N$ pasos será:
\begin{equation}
<\Delta x^{2}>=N\lambda ^{2}
\label{delta_x2_rw}
\end{equation}
\indent Sea $\tau$ la duración de cada salto (entonces $t=N\tau$) y si tomamos $\lambda \approx l_{c}$ (medios homogéneos), donde $l_{c}$ es el largo del canal y sea $U$ la velocidad característica en un canal, el tiempo de tránsito de un canal a otro será:
\begin{equation}
\tau _{geom}= \frac{l_{c}}{U}
\label{tau_geom}
\end{equation}
de donde puede deducirse:
\begin{equation}
<\Delta x^{2}>= \frac{t}{\tau}l_{c}^{2}
\label{deltax^2_geom}
\end{equation}
obteniéndose entonces el coeficiente de dispersión geométrico, que será proporcional a la velocidad $U$
\begin{equation}
(D)_{geom} \sim U l_{c} 
\label{D_geom}
\end{equation}

En general  $l_{c}$ puede ser considerada como una longitud característica o de correlación para la cual la velocidad cambia de dirección.
En el caso de los medios porosos homogéneos $l_{c}$ es del orden del tamaño de grano, en el caso de materiales heterogéneos suele ser mayor.

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\subsubsection{Dispersión geométrica en fracturas}
\label{dispersion-geometrica-fracturas}
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En la sección \ref{taylor-hele-shaw} se analizó el caso de dispersión en una celda de Hele-Shaw (placas plano-paralelas).
Consideremos el caso mas general de una fractura de apertura variable.
Independientemente de la presencia de la dispersión de Taylor, la rugosidad de las paredes  de una fractura puede inducir variaciones espaciales en la velocidad de flujo en el plano de la fractura.  Este mecanismo, conocido como "dispersión geométrica", contribuye al proceso de dispersión junto al de Taylor, de forma tal que la ecuación de convección-dispersión \ref{eqn:convecdisp} es satisfecha por un coeficiente $D$ que tiene en cuenta ambos mecanismos \cite{gelhar93,gelhar87}.

Roux \cite{roux98}, uno de los autores que estudiaron la dispersión geométrica en fracturas rugosas, predijo mediante argumentos de escala que la contribución del término geométrico al coeficiente de dispersión $D$ está dada por:
\\

\begin{equation}
{{D_{geo} } \over {D_m }} \propto {{\varepsilon ^2 \xi } \over d} Pe
\label{eqn:dispergeo}
\end{equation}
\\
o bien según la definición de $l_d$
\\

\begin{equation}
{{l_d } \over d} \propto {{\varepsilon ^2 \xi } \over d}
\label{up}
\end{equation}
\\
donde $\varepsilon$ caracteriza la amplitud de las fluctuaciones de velocidad respecto de la velocidad media, $\xi$ da una longitud de correlación espacial de velocidades, y $d$ es la apertura media de la fractura.
El modelo predice asimismo que el aporte relativo de este mecanismo a $D$ es máximo para valores intermedios de $Pe$, mientras que decae frente a la difusión molecular a bajos $Pe$, y frente a la dispersión de Taylor a $Pe$ altos. Además establece los $Pe$ de transición entre estos regímenes.
Este modelo asume como hipótesis la validez de la aproximación lubricación de Reynolds \cite{brown87}, aplicable cuando las fluctuaciones de apertura ocurren en distancias grandes comparadas con la apertura media $d$.
Asimismo se asume la condición  $\xi >> d$.

Las predicciones de este modelo fueron confirmadas experimentalmente en fracturas con un grado de desorden relativamente bajo en el campo de aperturas \cite{ippolito94,adler99,detwiler00}.























%Bear, J. 1972 Dynamics of Fluids in PorousMedia. American Elsevier,
%New York, pp. 579–664.
%
%Saffman, P. G. 1959 A theory of dispersion in porous medium.
%Journal of Fluid Mechanics 6, 321–349.




%1-2 Taylor G. I., Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube,    
%       Proc. Roy. Soc. London, Ser A 1137, 219, 186-203, (1953).

%J. Bear, C.-F. Tsang and G. de Marsily, eds., Flow and Contaminant Transport in Fractured Rock (Academic, New York, 1993).
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%\end{document}
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