%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% header generico %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section*{Obtención del perfil de velocidades no-newtoniano}
\label{obtencion-del-perfil-de-velocidades-no-newtoniano}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=11cm]{figurasapen/heleapen.eps}%[width=12cm]             
\caption{Sistema de coordenadas en la celda de Hele-Shaw }
\label{fig:heleapen}
\end{figure}
Consideremos un flujo viscoso entre dos placas plano-paralelas separadas una distancia $d$ y el sistema de coodenadas de la figura \ref{fig:heleapen}, en ese caso, integrando la ecuación de movimiento, tenemos para $y$ entre $0$ y $d/2$  :
% considerando la ecuación de balance de momento y la expresión del tensor de esfuerzos
\\

\begin{equation}
\tau _{yx}  =\Delta P \; y  
\label{up}
\end{equation}
\\
donde $\tau _{yx}$  es el esfuerzo de corte y $\Delta P$ el gradiente de presiones en el interior de la celda. Este gradiente es constante en todo el volumen de la celda si el flujo es laminar y estacionario.

En el caso de los fluidos no newtonianos se cumple (ver inciso 1.3) :
\\

\begin{equation}
\tau _{xy}  = k\dot \gamma ^n 
\label{up}
\end{equation}
\\
donde n es el exponente característico, la velocidad de deformación (o velocidad de corte) y $k$ la consistencia del fluido.

Además como:
\\

\begin{equation}
\dot \gamma  = {{du_x } \over {dy}}
\label{up}
\end{equation}
\\

donde $u_x$ es la velocidad del fluido, combinando las ecuaciones tenemos
\\

\begin{equation}
{{du_x } \over {dy}} = \left( {{{\Delta P{\kern 1pt} y} \over k}} \right)^{{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/
 {\vphantom {1 n}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$n$}}} \quad 
\label{up}
\end{equation}
\\

con $y$ entre 0 y d/2

y si integramos aplicando a ambos lados el operador $\int\limits_y^{{\raise0.7ex\hbox{$d$} \!\mathord{\left/
 {\vphantom {d 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} {dy}$ obtenemos
\\

\begin{equation}
u_x  = \left( {{\Delta P \over k}} \right)^{{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/
 {\vphantom {1 n}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$n$}}} {n \over {n + 1}}\left[ {\left( {{d \over 2}} \right)^{{n \over {n + 1}}}  - y^{{n \over {n + 1}}} } \right]
\label{up}
\end{equation}
\\
Si queremos tener el valor de la velocidad como función de la velocidad media (que es función del caudal) podemos usar :
\\

\begin{equation}
Q = 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} a\int\limits_0^{{\raise0.7ex\hbox{$d$} \!\mathord{\left/
 {\vphantom {d 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$2$}}} {u_x dy} 
\label{up}
\end{equation}
\\

(siendo $Q = U \times d \times a$  , $a$ es el ancho de la celda)

donde se usa la simetría de reflexión para integrar en el intervalo $(0,d/2)$
Se obtiene :
\\

\begin{equation}
Q = a\left( {{{\Delta P} \over k}} \right)^{{\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/
 {\vphantom {1 n}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{$n$}}} \left({n \over {2n + 1}}\right){{d^{{{2n + 1} \over n}} } \over {2^{{n \over {n + 1}}} }}
\label{up}
\end{equation}
\\
y finalmente tenemos para $y$ entre $0$ y $d/2$
\\

\begin{equation}
u_x  = 2^{{{n + 1} \over n}} U\left( {{{2n + 1} \over {n + 1}}} \right)\left[ {{1 \over {2^{{{n + 1} \over n}} }} - \left( {{y \over d}} \right)^{{{n + 1} \over n}} } \right]
\label{up}
\end{equation}
\\
La distribución de velocidades para la coordenada $y$ entre $0$ y $-d/2$ es simétrica respecto a la de $y$ entre $0$ y $d/2$.
En el caso newtoniano de $n = 1$ re\-cu\-pe\-ra\-mos el perfil de Poiseuille :
\\

\begin{equation}
u_x  = 6{\kern 1pt} \,U\left[ {{1 \over 4} - \left( {{y \over d}} \right)^2 } \right]
\label{up}
\end{equation}
\\





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%\end{document}
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