%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% header generico %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Propiedades reológicas de los fluidos}
\label{propiedades-reologicas-de-los-fluidos}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Tipos de fluidos}
\label{tipos-de-fluidos}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

La reología es la ciencia que estudia las propiedades de deformación
y flujo de materiales bajo la acción de fuerzas exteriores. Las
propiedades reológicas de un fluido se describen a través de la
ecuación que vincula las fuerzas externas que se ejercen sobre un
elemento infinitesimal de volumen con el movimiento de dicho
elemento, y están ligadas al material independientemente del
sistema.\\
Consideremos una capa delgada de fluido entre dos planos
paralelos separados una distancia $dy$, como se indica en la figura
\ref{fig:reo-capas}.


Si una de las placas está fija y sobre la otra aplicamos una fuerza, se llega a la condición estacionaria cuando la fuerza se
equilibra con las fuerzas internas del fluido.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics{figuras1/reo-capas.eps}             %[width=8cm]
\caption{Desplazamiento de las capas de fluido cuando se las somete
a una fuerza}
\label{fig:reo-capas}
\end{figure}
 Se demuestra experimentalmente que para algunos fluidos en régimen laminar, el
esfuerzo de corte $(F/A)$ ($A$ es el área sobre la que es aplicada
la fuerza) resulta directamente  proporcional al gradiente de
velocidad. $A$ este tipo de fluidos se los denomina newtonianos, y
 para ellos se cumple que:




\begin{equation}
\tau  = \mu \frac{{dU}}{{dy}} = \mu \dot \gamma
\end{equation}

donde $\mu$ es la viscosidad, $\dot \gamma$ la velocidad de
deformación, U la velocidad del fluido y $\tau$ el esfuerzo de
corte.\\ Hay muchos casos en los que no se cumple una relación lineal
entre los esfuerzos y las velocidades de deformación. Estos fluidos
se designan no-newtonianos y su reología debe ser descripta por una
ecuación más general:

\begin{equation}
\tau  = \mu (\dot \gamma )\dot \gamma
\end{equation}

Entre estos fluidos podemos mencionar los \textbf{plásticos de Bingham}, que
no fluyen hasta que se alcanza un valor umbral de esfuerzo de corte
y a partir de allí tienen una relación lineal entre el esfuerzo de
corte y la velocidad de deformación. Por el contrario, existen
otros, para los cuales el cociente entre el esfuerzo de corte y la
velocidad de deformación (viscosidad aparente) disminuye
progresivamente con la velocidad de deformación. Este tipo de
fluidos se conocen con el nombre de \textbf{reofluidizantes o
pseudoplásticos}.\\
Otro tipo de fluidos son los \textbf{dilatantes} cuya
viscosidad aparente aumenta con la velocidad de deformación. Hay
además, fluidos no-newtonianos cuya viscosidad es dependiente del
tiempo. Los llamados \textbf{tixotrópicos}, por ejemplo, son aquellos que
tienen una viscosidad aparente que disminuye con el tiempo para un
dado esfuerzo de corte constante. Algunas soluciones concentradas de
polímeros son un ejemplo de este tipo de comportamiento. En la
figura \ref{fig:reo-tipos} se puede observar la variación cualitativa
del esfuerzo de corte  en función de la velocidad de deformación
$\dot \gamma$ para los distintos tipos de fluidos mencionados.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{figuras1/reo-tipos.eps}             %[width=8cm]
\caption{Variación cualitativa del esfuerzo de corte en función de la velocidad
de deformación para fluidos de distintas características reológicas.}
\label{fig:reo-tipos}
\end{figure}

\FloatBarrier

Las soluciones diluidas de polímeros que se utilizan mayormente en procesos de
recuperación de petróleo son no-newtonianas reofluidizantes y por ello centramos nuestro interés en ellos. La manera mas común de caracterizar su comportamiento reológico es caracterizando la variación de la viscosidad en función de la velocidad de deformación.

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\subsection{Modelos reológicos para fluidos reofluidizantes}
\label{modelos-reologicos-para-fluidos-reofluidizantes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsubsection{Ley de potencias}
\label{ley-de-potencias}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 Una expresión matemática para caracterizar el comportamiento reofluidizante corresponde a la denominada ley de potencias:
\begin{equation}
\tau  = k\dot \gamma ^n (n < 1)
\label{eqn:leypot}
\end{equation}

donde  $\tau$ es el esfuerzo de corte, $\dot \gamma$ la velocidad de
deformación, $k$ la consistencia del fluido y $n$ el exponente
característico  o índice reológico. Siendo la viscosidad aparente $\mu _a$


\begin{equation}
\mu _a  = \frac{\tau }{{\dot \gamma }} \label{Pe}
\end{equation}
utilizando \ref{eqn:leypot} tenemos,
\begin{equation}
\mu _a  = k\dot \gamma ^{n - 1} 
\label{eqn:a}
\end{equation}

Frecuentemente los fluidos reofluidizantes que se utilizan en laboratorio son soluciones poliméricas (por ejemplo de xanthano o escleroglucano). La concentración de polímero en solución está directamente relacionada con las propiedades reológicas del fluido: en el marco de los modelos reológicos que consideran un exponente característico  o índice reológico $n$, éste vale $1$ cuando la concentración de polímero es nula (fluido newtoniano), y decrece cuando crece la concentración de polímero.

En la figura \ref{fig:reo-carreau-powerlaw} se grafica en escala log-log una variación típica de viscosidad en función de la velocidad de deformación para
un fluido reofluidizante. Pueden observarse claramente tres regiones: la
primera, donde las velocidades de deformación son bajas, la
viscosidad se mantiene constante siendo su valor  $\mu _0$. Una segunda
zona de velocidades de deformación intermedias donde la viscosidad
decrece exponencialmente (la pendiente de esa región lineal
corresponde a n-1) y una tercera zona para altas velocidades de
deformación ($\dot \gamma$  tendiendo a infinito) donde nuevamente
nos encontramos con valores de viscosidad prácticamente constantes,
$\mu _\infty$. Esta última región es muy difícil de estudiar
experimentalmente ya que corresponde a velocidades de deformación muy
altas ( $\dot \gamma >10^{4} s^{-1}$), para las cuales suelen presentarse inestabilidades hidrodinámicas que afectan la medición. La viscosidad límite para velocidades de deformación muy altas debería ser teóricamente la del fluido solvente, sin embargo la viscosidad aparente medida es mayor debido a las inestabilidades.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{figuras1/reo-carreau-powerlaw.eps}             %[width=8cm]
\caption{ Comparación con datos experimentales (puntos) de los modelos de Carreau (en línea llena) y Ley de Potencias (en línea de trazos).}
\label{fig:reo-carreau-powerlaw}
\end{figure}

En la figura  \ref{fig:reo-carreau-powerlaw} se puede observar que el modelo de ley de potencias no describe bien las zonas de viscosidad constante (plateau newtonianos).
Existen modelos más elaborados que tienen en cuenta estas regiones newtonianas, por ejemplo, el modelo de Carreau \cite{carreau97}, que se muestra en la
figura \ref{fig:reo-carreau-powerlaw} con línea llena. A continuación describiremos este modelo.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\subsubsection{Modelo de Carreau}
\label{modelo-de-carreau}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
El modelo de Carreau describe las tres zonas mencionadas en la sección anterior mediante la incorporación de 4 parámetros de ajuste, los cuales permiten establecer cuantitativamente las zonas de transición entre los diferentes
comportamientos y las características de los mismos. El
parámetro $n$ cuantifica el comportamiento en
la zona correspondiente a la ley de potencias, mientras que los parámetros
$\mu _0$, $\mu _\infty$ y $\dot \gamma_0$ dan cuenta de las
transiciones entre éste régimen y los dos plateau newtonianos. En
particular $\mu _0$, $\mu _\infty$ corresponden a los valores de viscosidad
para los límites de muy bajas  y muy altas velocidades de deformación respectivamente.
 El valor de este último suele tomarse como el valor de solvente
 (en general agua) dado que es muy difícil efectuar mediciones reológicas en las zonas
 de muy altas velocidades de deformación correspondientes a fluidos reofluidizantes.
  El parámetro $\dot \gamma_0$ cuantifica el valor de la velocidad de deformación para la transición   entre la zona de ley de potencias y el plateau newtoniano a bajas velocidades de deformación.

La expresión analítica de la  dependencia de la viscosidad efectiva
$\mu$ con la velocidad de deformación $\dot \gamma$ según el modelo
de Carreau esta dada en la ecuación \ref{formula-carreau}:

\begin{equation}
    \mu = \frac{1}{(1 + (
  \frac{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma_0}})^2)^{\frac{1 - n}{2}}} (\mu_0 -
  \mu_{\infty}) + \mu_{\infty} .
  \label{formula-carreau}
\end{equation}
\\




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Reología y dispersión}
\label{reologia-y-dispersion}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

En esta sección  analizaremos la influencia de las propiedades reológicas de los fluidos
en el fenómeno de dispersión. Para ello se considerarán ejemplos en geometrías sencillas y se caracterizarán las escalas espaciales en las que tiene lugar cada uno de los procesos asociados. Presentaremos también algunos trabajos experimentales relacionados con este tema. 


Consideremos el flujo en una celda de Hele-Shaw (placas plano-paralelas) generado por un gradiente de presión constante.
El perfil de velocidades de Poiseuille en el caso de fluidos reofluidizantes, utilizando el modelo de ley de potencias,  está descripto por la expresión  \ref{eqn:perfiltapon}:
\\

\begin{equation}
u_x  = U\,({{2n + 1} \over {n + 1}})\left[ {1 - \left({{2y} \over d}\right)^{{{n + 1} \over n}} } \right]
\label{eqn:perfiltapon}
\end{equation}
\\
donde $n$ es el exponente característico o índice reológico. El cálculo para la obtención de este perfil está desarrollado en el apéndice A.

Nótese que la velocidad de deformación $\dot \gamma ={{dv_x } \over {dy}}$ es nula en el centro de la celda mientras que en las paredes es máxima.

En la figura \ref{fig:perfiltapon} se puede observar el progresivo aplanamiento central del perfil de velocidades utilizando el modelo de ley de potencias, a medida que $n$ decrece.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras1/perfiltapon.eps}             
\caption{Perfiles de velocidad (velocidad de flujo normalizada con la velocidad media en función de la coordenada $y$ normalizada) para el caso de flujos no-newtonianos reofluidizantes en una celda de Hele-Shaw. Los valores de $2y/d =1$ y $2y/d =-1$ corresponden a las paredes de la celda. El caso $n=1$ corresponde al de un fluido newtoniano}
\label{fig:perfiltapon}
\end{figure}

\FloatBarrier

El coeficiente de dispersión de la ecuación \ref{eqn:coefdispnewt} fue calculado analítica y numéricamente \cite{boschantesis} para el caso de flujo de un fluido reofluidizante en una celda de Hele-Shaw, y el mismo resulta menor respecto del caso newtoniano a igual velocidad media $U$.
\\

\begin{equation}
{{D} \over {D_m}}  = 1 + Pe^2 f(n)
\label{eqn:coefdispnonewt}
\end{equation}
\\
donde
\\

\begin{equation}
f(n) = {{n^2 } \over {6(2 + 5n)(1 + 4n)}}
\label{eqn:fden}
\end{equation}
\\

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras1/f_de_n.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Variación del coeficiente $f(n)$ de la ecuación \ref{eqn:coefdispnonewt} con el índice reológico $n$.
}
\label{fig:f_de_n}
\end{figure}

La dispersividad $l_d$ (definida en \ref{mecanismo-de-dispersion-de-taylor}) se expresa en este caso como:
\\


\begin{equation}
l_d  = d\left( {{1 \over {Pe}} + f(n) Pe} \right)
\label{eqn:dispersitaylor}
\end{equation}
\\


El coeficiente $f(n)$ decrece a partir de su valor máximo para fluidos newtonianos ($n=1 \rightarrow f(n)=1/210$) cuando la concentración de polímero aumenta (cuando $n$ disminuye). Evaluando esta expresión en $n=1$ se obtiene la ecuación \ref{eqn:ec210newt} que corresponde al caso newtoniano.
Esta disminución del coeficiente de dispersión está asociada al aplanamiento del perfil de velocidades, dado que el mecanismo de dispersión Taylor, que resulta del efecto combinado del esparcimiento longitudinal debido al campo de velocidades y de la difusión molecular transversal, se ve reducido.

Este resultado fue confirmado en los trabajos experimentales de Vartuli \cite{vartuli95} (en el caso de un tubo capilar) y Boschan \cite{boschantesis} (en el caso de dos placas plano-paralelas o celda de Hele-Shaw), que encontraron un decrecimiento del coeficiente de dispersión  para el caso de fluidos reofluidizantes respecto de los fluidos newtonianos. 

%%%%%%%%
En el marco del modelo de Carreau, que describe en forma más precisa los regímenes de variación de la viscosidad, el perfil de velocidades de la ecuación \ref{eqn:perfiltapon}  se ve modificado por la presencia del plateau newtonianio de bajas velocidades.

Cuando la velocidad media U es pequeña, las velocidades de deformación son pequeñas, el perfil de velocidades corresponde al de un fluido newtoniano (perfil de Poiseuille). La velocidad de deformación toma su máximo valor en las paredes (vale $6U/d$) y cero en el centro de la celda. A medida que se aumenta $U$, el valor de la velocidad de deformación en la pared aumenta, acercándose al valor de transición $\dot \gamma_0$ entre el plateau newtoniano de bajas velocidades y la zona de ley de potencias (ver figura
\ref{fig:reo-carreau-powerlaw}). La transición se produce cuando $6U/d = \dot \gamma_0$, o sea cuando la velocidad media alcanza el valor crítico $U_c = \dot \gamma_0  d / 6$. 

Para $U > U_c$ el flujo tiene una componente no-newtoniana, representada por una capa que se desarrolla desde la pared y hacia el centro de la celda (en la zona donde las velocidades de corte son mayores que $\dot \gamma_0$). Progresivamente con el aumento de $U$, el espesor de la capa de flujo no-newtoniana se va incrementando hasta que todo el flujo está totalmente descripto por el modelo de ley de potencias (excepto una franja central muy fina, con valores de velocidades de deformación cercanos al cero, que tendrá comportamiento newtoniano). En la figura \ref{fig:layers-newt-nonewt} se muestra un esquema que muestra en forma cualitativa las regiones de diferente comportamiento reológico en el espesor de la fractura. El ancho característico de las mismas variará según la velocidad media de flujo.
Gabbanelli et al. \cite{gabbanelli05} realizaron un estudio numérico de los distintos escenarios considerando un modelo de ley de potencias truncado.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras1/layers-newt-nonewt.eps}%[width=12cm]             
\caption{
Para velocidades medias muy pequeñas (a), todo el flujo tiene velocidades de deformación correspondientes al plateau newtoniano de la curva reológica, y luego el perfil de velocidades es el que corresponde a un fluido newtoniano. Cuando las velocidades de deformación alcanzan el valor de transición al comportamiento en ley de potencias, se comienza a desarrollar una capa de flujo descripta por el modelo ley de potencias (b). Para velocidades medias muy altas casi todo el flujo está descripto por el modelo de ley de potencias (excepto una franja muy fina en el centro de la celda, con valores de velocidades de deformación cercanos al cero, que tendrá comportamiento newtoniano (c)). Si la velocidad media es tal que velocidad de deformación en la pared supera el valor de transición al plateau newtoniano de altas velocidades, se desarrolla sobre la pared una capa newtoniana (d), obteniéndose en este caso un flujo con componentes de los tres regímenes que tiene en cuenta el modelo de Carreau. Experimentalmente la situación (d) es muy difícil de observar por la aparición de inestabilidades.
}
\label{fig:layers-newt-nonewt}
\end{figure}
\FloatBarrier
Eventualmente si $U$ alcanza valores muy elevados, las velocidades de deformación podrían alcanzar el plateau newtoniano de altas velocidades. Sin embargo esta situación es muy dificil de recrear experimentalmente dado que la transición a este plateau se produce a velocidades de deformación muy elevadas. 
El perfil de velocidades para el modelo de Carreau no puede ser calculado en forma analítica.


%%%%%%%%%


Otro caso en el cual la reología de los fluidos influye sobre el proceso de dispersión es el de los medios porosos, donde el flujo tiene lugar a través de diferentes canales en el sistema de caminos interconectados que forma la estructura. Este caso puede ser analizado mediante un modelo sencillo. 

Consideremos dos capilares cilíndricos de radios $a$ y $A$ $(A>a)$.

La velocidad media de flujo de un fluido reofluidizante (de tipo ley de potencias), en la sección de un capilar, está dada por la expresión \ref{eqn:vmedianncapi}
\\

\begin{equation}
U = \left\langle {v_z } \right\rangle _r  = {{(\Delta P)^{1/n} } \over {(2k)^{1/n} }}{n \over {2n + 1}}R{}^{{{n + 1} \over n}}
\label{eqn:vmedianncapi}
\end{equation}
\\
donde $R$ es el radio del capilar, $k$ la consistencia del fluido, $n$ el exponente característico del fluido y $\Delta P$ el gradiente de presión aplicado (para el cálculo de la velocidad media $U$ en una geometría similar puede verse en el trabajo de Gabbanelli \cite{gabbanelli05}).

Entonces la razón entre la velocidad media en el capilar de radio $a$ y la velocidad media en el capilar de radio $A$, suponiendo un mismo gradiente de presión aplicado, está dada por la ecuación \ref{eqn: proporcion-n-nn}:
\\

\begin{equation}
{{U_a } \over {U_A }} = \left( {{a \over A}} \right){}^{{{n + 1} \over n}} = \left( {{a \over A}} \right)^2 \left( {{a \over A}} \right){}^{{{1 - n} \over n}} = \left[ {{{U_a } \over {U_A }}} \right]_{n = 1} \left( {{a \over A}} \right){}^{{{1 - n} \over n}}
\label{eqn: proporcion-n-nn}
\end{equation}
\\

Teniendo en cuenta que $a/A<1$, y que para un fluido reofluidizante $0<n<1  \Rightarrow $ $0 < \left( {{{1 - n} \over n}} \right) < \infty $, se puede concluir que la proporción de velocidades medias entre el capilar de radio $a$ y el capilar de radio $A$ es siempre menor que en el caso newtoniano.
Esto implicaría que el contraste de velocidades medias entre canales de diferente per\-mea\-bi\-li\-dad aumenta para fluidos reofluidizantes respecto de los fluidos newtonianos.
Este fenómeno ha sido verificado experimentalmente \cite{shah95,fadili02}.

El aumento del contraste de velocidades entre canales de diferente permeabilidad actúa incrementando el fenómeno de dispersión en la escala global.

En el caso de medios porosos, D\textquoteright Onofrio
\cite{donofriotesis} estudió la influencia de las propiedades
reológicas en la dispersión para soluciones newtonianas y
no-newtonianas reofluizantes en medios porosos de simple y doble
porosidad.

Sus resultados experimentales muestran un aumento del coeficiente de dispersión para el caso de fluidos reofluidizantes respecto de fluidos newtonianos. 
\\

En este capítulo se describieron las propiedades de los medios físicos considerados en este trabajo, y se definieron las magnitudes físicas asociadas a su estudio.
Luego se introdujo el fenómeno de dispersión, y se analizaron algunos casos particulares.
Finalmente se presentaron las características más importantes que permiten describir el comportamiento de fluidos no-newtonianos y en particular reofluidizantes, y se analizó en sistemas simples cómo influye la reología en el fenómeno de dispersión.

En el capítulo siguiente describiremos los dispositivos experimentales utilizados en las experiencias.




%"Taylor Dispersion in a Polymer Solution Flowing in a Capillary Tube". -

% M VARTULI, JP Hulin, G Daccord. AICHE Journal (American Institute of Chemical %Engineering) - july 1995 - 1622-1628 - Vol. 41 -No 7

%J. P. Bouchaud and A. Georges, Phys. Rep. 195 (1991) 127.



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%\end{document}
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