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\section{Introducción}
\label{introduccion_1}
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En primer lugar se describen en este capítulo las propiedades, magnitudes físicas y modelos que permiten describir a los medios porosos y en particular a las fracturas.

A continuación desarrollaremos el concepto de dispersión, describiendo los fenómenos físicos involucrados, y sus diferentes mecanismos y rangos de validez.
% Asimismo se presentan antecedentes de trabajos en el tema.

Finalmente se introducen los fluidos no-newtonianos, sus propiedades, los modelos que los describen, y cómo se ve afectado el fenómeno de dispersión en presencia de los mismos.
 
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\section{Medios porosos y fracturados: definiciones }
\label{medios-porosos-y-fracturados}
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Cuando utilizamos el término ``roca''o ``matriz rocosa'', nos estamos refiriendo a un sistema que está compuesto por al menos dos fases, una sólida y la otra no-sólida  (constituida por el espacio entre granos o grupos de granos constituyentes de la roca). Al considerar las dos fases ingresamos en el terreno de lo que se conoce como ``medios porosos'', en los cuales pueden existir fracturas o sistemas de fracturas. Describiremos a continuación dichos medios.

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\subsection{Medios porosos} 
\label{medios-porosos}
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Se puede definir inicialmente a un medio poroso como un ``sólido con agujeros'', sin embargo esta definición es demasiado abarcativa y ambigua. Para definir un medio poroso  pediremos que reúna ciertas características, las cuales enumeramos a continuación \cite{bear93}:
\begin{enumerate}
\item Debe existir una porción del espacio ocupado por materia heterogénea (con más de una fase), donde al menos una de las fases no es sólida. La
fase sólida se denomina {\it matriz porosa}, mientras que la
parte interna que no compone dicha matriz se denomina {\it espacio
poral}. 
\item La fase sólida debe estar distribuida a lo largo
del medio poroso. Las aperturas que componen el espacio poral son relativamente estrechas.
 
\item Es importante distinguir entre distintos tipos de poros: aquellos que forman una fase continua dentro del medio poroso, llamado interconectado, y otros
que consisten en poros aislados dispersos a lo largo del medio. Nos
interesan los casos en los que al menos algunos de los poros que
constituyen el espacio poral están interconectados. El espacio
poral interconectado ($V_{p_{e}}$) se define usualmente como {\it
Volumen Poral Efectivo}. Desde el punto de vista del transporte en
medios porosos, el espacio poral no-conectado puede considerarse
parte de la matriz porosa, ya que no contribuyen al transporte de
materia a través del medio. Incluso parte del espacio poral
interconectado puede no ser efectivo en lo que concierne al flujo,
como por ejemplo los volúmenes porales inaccesibles (``poros
ciegos''), es decir poros o canales con solamente una conexión estrecha simple, pues aún cuando pueden ser penetrados por un fluido, contribuyen de manera
despreciable al transporte.
\end{enumerate}
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\subsection{Propiedades macroscópicas de los medios porosos y fracturados}\label{propiedades_mp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\hspace{0.5cm} Prácticamente todas las propiedades macroscópicas de los medios porosos y fracturados están influenciadas por su estructura geométrica. Los parámetros más frecuentemente utilizados para describir dicha estructura son la porosidad y la permeabilidad.
\begin{itemize}
\item {\bf Porosidad}: La porosidad $\phi$ es la fracción del volumen del medio poroso que está ocupada por poros \cite{sahimi95}. Es una magnitud adimensional que depende de la estructura del medio. De acuerdo al tipo de material la porosidad puede variar desde un valor cercano a cero hasta casi la unidad. La porosidad total viene dada por la siguiente expresión:
\begin{equation}
\phi_{t}=\frac{V_{p}}{V_{t}}
\label{porosidad}
\end{equation}
donde $V_{p}$ es el volumen poral (es decir, el volumen del espacio ocupado por poros) y $V_{t}$ es el volumen total ocupado por el medio poroso.
 Para las rocas naturales, la porosidad puede clasificarse en natural (desarrollada durante el proceso de deposición) o inducida (desarrollada por algún proceso geológico subsiguiente).
Para medios porosos no con\-so\-li\-da\-dos la porosidad  puede tomar valores de $0.36$ a $0.4$, mientras que para las rocas de tipo ``sandstone'' puede tomar valores de $0.2$ a $0.3$. 

\item {\bf Permeabilidad ($cm^{2}$)}: Es una medida de la
capacidad de un medio para conducir un fluido newtoniano. La permeabilidad efectiva {\it k} se define a partir de la ley empírica de Darcy: un material poroso saturado inicialmente en su totalidad con un fluido de viscosidad igual a $1cp$
posee una permeabilidad de $1$ darcy si un gradiente de presión aplicado
de $1$ atm produce un caudal de $1 cm^{3}/s$. La ley de Darcy en este caso se expresa de la siguiente manera:

\begin{equation}
V_s=\frac{\textbf{k}}{\mu} \nabla (P+\rho g z), \left| V_s \right|= Q/A 
\label{eqn:darcy}
\end{equation}

donde $Q$  es el caudal de inyección, $A$ la sección transversal, $\mu$  la viscosidad, $P$  la presión en el seno del fluido, $V_s$ la velocidad superficial, $\rho$ la densidad, $g$ la gravedad  y $z$ la coordenada vertical con sentido positivo hacia arriba. La permeabilidad \textbf{k} puede ser un tensor de segundo orden en el caso más general, aunque en el caso de un medio isótropo y homogéneo se reduce a una constante.

Si bien la ecuación (\ref{eqn:darcy}) es de origen empírico, puede
deducirse a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes para el caso
de un flujo laminar \cite{dullien92}.

 En general, un medio posee una permeabilidad absoluta, cuyo valor está determinado únicamente por la geometría y resulta independiente de las propiedades del fluido.
En la tabla \ref{tabla-permeabilidad} se pueden observar valores de permeabilidad absoluta para distintos tipos de medios.
\begin{table}[htbp]
\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|}
   \hline
    Tipo de roca  &  Permeabilidad (darcy) \\
     \hline
        Sandstone  &  20 a 200  \\
         \hline
         Piedra de Colorado & $5.10^{-4}$ a $1$    \\
          \hline
            Rocas volcánicas  & $5.10^{-5}$ a $5.10^{-2}$  \\
            \hline
             Granito  &  $5.10^{-9}$ a $1.10^{-4}$  \\
     \hline
  \end{tabular}
  \caption{Valores de permeabilidad para diferentes tipos de roca. En el caso de rocas volcánicas o granito los valores más altos de permeabilidad sólo pueden alcanzarse si existen fracturas.}
  \label{tabla-permeabilidad}
\end{center}
\end{table}

\FloatBarrier

En la práctica, si el medio se encuentra saturado con más de una fase, la ley de Darcy puede generalizarse introduciendo, además de la permeabilidad absoluta, una permeabilidad relativa de cada fase. La permeabilidad relativa es función de la saturación de la fase y de las ca\-rac\-te\-rís\-ti\-cas de mojabilidad entre los fluidos y la roca \cite{bear93}. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{itemize}
\subsection{Volumen Elemental Representativo (VER)}
\label{VER}
\hspace{0.5cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 En los medios porosos naturales (o artificiales exceptuando el caso de medios periódicos), la estructura interna es a menudo compleja y la descripción a escala de poro individual resulta imposible. Por lo tanto es necesario definir  magnitudes macroscópicas, por ejempo la porosidad, la permeabilidad, etc. Estas cantidades serán el promedio de las magnitudes microscópicas que co\-rres\-pon\-den a un tamaño suficientemente grande respecto de la escala de las fluctuaciones microscópicas (porosidad), pero pequeña respecto de las variaciones a escala macroscópica, debidas a la heterogeneidad del medio. El vo\-lu\-men sobre el cual se realiza este promedio se llama Volumen Elemental Representativo. En la figura \ref{fig:ver} se observa cómo fluctúa la porosidad para volúmenes considerados muy pequeños por efecto de variaciones microscópicas, luego para volúmenes un poco mayores, el VER esta bien definido, y para volúmenes aún mayores, las propiedades de homogeneidad del medio son determinantes. 
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{figuras1/ver.eps}
\caption{Volumen Elemental Representativo. Se observa la variación cua\-li\-ta\-ti\-va en la medida de la porosidad al variar el tamaño de VER considerado.}
\label{fig:ver}
\end{center}
\end{figure}
\\\indent El tamaño del VER  en un medio poroso homogéneo corresponde al comienzo de la zona intermedia, tamaño a partir del cual el medio poroso puede describirse como homogéneo.
% VER para empaquetamientos de esferitas?
La descripción macroscópica y la definición de un VER en un medio poroso resulta difícil en presencia de heterogeneidades. Por ejemplo en la figura \ref{fig:ver}, si no existiera un ``plateau'' para volúmenes intermedios, no podría definirse el VER.
 En muchos casos, se presentan ca\-rac\-te\-rís\-ti\-cas multiescala en las heterogeneidades, es decir que presentan una distribución de carácter homogéneo en todas las escalas. En este caso se ge\-ne\-ra un problema en esta descripción del medio y debemos prestarle particular atención.
\FloatBarrier
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Medios fracturados} 
\label{medios-fracturados}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



Las fracturas constituyen un caso particular importante de estructuras con heterogeneidades, dado que en muchos casos las rugosidades que las constituyen no tienen una única longitud característica sino que presentan múltiples escalas. Las longitudes características se hallan repartidas en este caso entre una longitud de corte superior relacionada con el tamaño macroscópico de la fractura y una longitud de corte inferior relacionada con el tamaño de grano del material. La descripción geométrica de estructuras multiescala (fractales) fue introducida por Mandelbrot \cite{mandelbrot82}.
Un caso particular de estructuras fractales son las fracturas rocosas producidas naturalmente, que presentan propiedades autoafines.

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\subsection{Superficies autoafines} 
\label{superficies-autoafines}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Las superficies autoafines son superficies aleatorias cuya característica principal es ser estadísticamente invariante frente a una transformación de afinidad.

Consideremos la coordenada $z$ que describe la altura de una superficie sobre un plano (x,y) dada por $z(x,y)$. Consideremos ahora la siguiente transformación:
\begin{center}

$x \rightarrow \lambda x$,

$y \rightarrow \lambda y$,

$z \rightarrow \lambda^\zeta  z$

\end{center}

La superficie es autoafín si resulta invariante frente a esta transformación, o sea que debe valer:

\begin{equation}
z(x,y)=\lambda^\zeta  z(\lambda x,\lambda y)
\label{up}
\end{equation}

donde $\zeta $ es el exponente de Hurst \cite{mandelbrot82} o exponente de rugosidad.
El valor de dicho exponente fue medido experimentalmente en superficies de fracturas rocosas naturales y para una amplia gama de tipos de roca, su valor se estima en $0.80\pm 0.05$ \cite{bouchaud03}. En otros casos, tales como las rocas de tipo "sandstone", el exponente de rugosidad medido vale aproximadamente 0.5 \cite{boffa98}. El primer caso estaría asociado a la existencia de una zona de daño, mientras que en el segundo caso ésta no existiría.
Si bien este exponente podría no depender de la dirección de la fractura, en algunos casos se han observado materiales que presentan anisotropía \cite{schmittbuhl95}.
Las fracturas naturales presentan en general un alto grado de isotropía, por lo cual puede describirse la rugosidad con un único exponente. \\

En las fracturas autoafines, la varianza de la altura local $z(x,y)$ con respecto al plano de la fractura, dada por $\Delta z^2=< (z(\vec{r}+\vec{\Delta r}) - z(\vec{r}))^2 >$ (donde $\vec{r}$ es la posición $(x,y)$ sobre el plano de la fractura) verifica: 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{equation}
\frac{\Delta z}{l} = (\frac{\Delta r}{l})^\zeta ,
\end{equation}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\zeta $ es el exponente de rugosidad, y $l$ la topotesia (esto es la escala de longitud en la cual la pendiente $\Delta z/\Delta r$ es del orden de 1). 

En la figura \ref{fig:supautoaf} podemos ver una superficie autoafín de exponente de rugosidad 0.8, generada por computadora (utilizando el algoritmo de medio-punto \cite{feder88}). Como puede observarse en este ejemplo las superficies autoafines generadas utilizando el algoritmo se asemejan notablemente a las superficies de las fracturas rocosas naturales.
 


\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras1/supautoaf.eps}             
\caption{Superficie autoafín de exponente de rugosidad 0.8, generada a través de un algoritmo}
\label{fig:supautoaf}
\end{figure}
\FloatBarrier
La no existencia de una longitud característica en la rugosidad de una fractura natural \cite{feder88} se evidencia en la figura \ref{fig:four-autoaf}, donde se puede observar el espectro de potencias de Fourier de un perfil de alturas de una superficie autoafín (fractura en granito), medido experimentalmente por perfilometría. Este método permite determinar el perfil de alturas mediante el contacto mecánico de una punta de prueba con la muestra. 
Se observa una variación lineal del espectro de Fourier, y la pendiente de dicha variación (que vale $-1-2\zeta$) nos permite obtener $\zeta=0.8$.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=12cm]{figuras1/four-autoaf.eps}             
\caption{Espectro de Fourier $P(f)$ de una superficie autoafín en función del número de onda $f$. $L$ es la longitud de la muestra}
\label{fig:four-autoaf}
\end{figure}

\FloatBarrier

%J. Boffa, C. Allain and J.-.P. Hulin, Experimental analysis of fracture rugosity in granular and compact rocks. Eur Phys J AP 2 (1998), pp. 281–289

%Feder J. Fractals. New York: Plenum; 1988.

% Schmittbuhl J, Schmitt F, Scholz CH. Scaling invariance of crack
%surfaces. J Geophys Res 1995;100(B4):5953–73.Schmittbuhl95

%@17# B. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature ~W. H.
%Freeman, New York, 1982.

%\bibitem[{\textit{Bouchaud}(2003)}]{Bouchaud03}
%Bouchaud, E. (2003), The morphology of fracture surfaces: A tool for
%  understanding crack propagation in complex materials, \textit{Surface Review
%  And Letters}, \textit{10}, 797--814.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\end{document}
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