Analyse locale dans les variétés presque complexes - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2007

Local analysis in almost complex manifolds

Analyse locale dans les variétés presque complexes

Résumé

In this thesis, we study some aspects of local analysis in almost complex manifolds. We first study the cotangent bundle which is a fundamental tool for complex analysis and geometry. We construct a lifted almost complex structure, using a connection on the base manifold; this unifies the complete lift defined by I.Sato and the horizontal lift introduced by S.Ishihara and K.Yano. Moreover, we study some geometric properties of this lift and its compatibility with symplectic forms on the cotangent bundle.
In the next chapters, we are interested in local analysis of pseudoconvex domains of finite D'Angelo type in a four dimensional almost complex manifold. We construct local peak plurisubharmonic functions, generalizing a result of J.E.Fornaess and N.Sibony. Such plurisubharmonic functions give attraction and localization properties for pseudoholomorphic discs. In particular, this reduces the study of the Kobayashi pseudometric to a purely local problem. The Kobayashi pseudometric is an important tool for the study of pseudoholomorphic maps and for the classification of domains, and gives informations on the geometric and dynamic properties of the manifold. We give local estimates of this pseudometric on a neighborhood of the boundary, and, for a strictly pseudoconvex domain, we obtain sharp estimates. As an application we study the links between the Kobayashi hyperbolicity and the Gromov hyperbolicity; we generalize, in the almost complex setting, a result of Z.M.Balogh and M.Bonk.
Dans cette thèse, nous abordons certains aspects de l'analyse locale dans les variétés presque complexes. Dans un premier temps, nous étudions le fibré cotangent qui est un outil important pour l'analyse et la géométrie complexe. Nous construisons un relevé de structure presque complexe, à l'aide d'une connexion, qui unifie les relevés complets de I.Sato et horizontaux de S.Ishihara et K.Yano. Par ailleurs, nous dégageons les principales propriétés analytiques et symplectiques du relevé ainsi construit.
Dans les deux études qui suivent, nous nous intéressons aux propriétés locales des domaines pseudoconvexes de type de D'Angelo fini d'une variété presque complexe de dimension réelle quatre. Nous construisons des fonctions locales pic plurisousharmoniques, généralisant des travaux de J.E.Fornaess et N.Sibony. La construction d'une telle famille de fonctions permet d'établir des propriétés d'attraction et de localisation des disques pseudoholomorphes. En particulier, elle réduit l'étude de la pseudométrique de Kobayashi à un problème purement local. Le comportement asymptotique de cette pseudométrique est relié à certaines questions fascinantes d'analyse locale dans les variétés comme les phénomènes de prolongement au bord des difféomorphismes ou encore la classification des domaines, et fournit des informations intéressantes sur les propriétés géométriques et dynamiques de la variété. Nous donnons alors des estimées locales de cette pseudométrique au voisinage du bord. De plus, dans le cas de stricte pseudoconvexité, nous obtenons des estimées très fines nous permettant d'étudier les liens entre l'hyperbolicité au sens de Kobayashi et l'hyperbolicité au sens de Gromov ; nous généralisons ainsi, au cadre presque complexe, un résultat dû à Z.M.Balogh et M.Bonk.
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Dates et versions

tel-00201783 , version 1 (02-01-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00201783 , version 1

Citer

Florian Bertrand. Analyse locale dans les variétés presque complexes. Mathématiques [math]. Université de Provence - Aix-Marseille I, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00201783⟩
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