Torsion rationnelle des modules de Drinfeld - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2008

Rational torsion of Drinfeld modules

Torsion rationnelle des modules de Drinfeld

Cécile Armana

Résumé

This thesis studies the existence of torsion points of rank 2 Drinfeld modules over finite extensions of F_q(T) (q a prime power). Following the approach of Mazur and Merel for the torsion of elliptic curves over number fields, we introduce and study a quotient of the Jacobian of a Drinfeld modular curve, defined by a special Teitelbaum modular symbol. Under a hypothesis of duality between Hecke algebra and modular forms for F_q[T], and a minor technical hypothesis, we show the following result: if there exists a rank 2 Drinfeld module over an extension of degree at most q of F_q(T), with a torsion point of order a prime ideal n of F_q[T], then the degree of n is at most max(q,4). For this purpose, we use a description of the action of the Hecke algebra on Teitelbaum modular symbols and on modular forms for F_q[T]. When n has small degree, we obtain unconditional results: there exists no rank 2 Drinfeld module over an extension of degree at most 2 (resp. at most 3) of F_q(T) with a torsion point of order a prime ideal of degree 3 (resp. 4 if q is at least 7). These statements partially confirm a conjecture of Poonen and Schweizer, about a uniform bound for the torsion of Drinfeld modules.
Cette thèse étudie l'existence de points de torsion pour les modules de Drinfeld de rang 2 sur des extensions finies de F_q(T), pour q puissance d'un nombre premier. Notre approche suit celle de Mazur et Merel pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres : nous introduisons un quotient de la jacobienne d'une courbe modulaire de Drinfeld, défini à l'aide d'un symbole modulaire de Teitelbaum particulier, et étudions ses propriétés. Sous une hypothèse de dualité entre algèbre de Hecke et formes modulaires pour F_q[T], ainsi qu'une hypothèse technique mineure, on montre le résultat suivant : s'il existe un module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus q de F_q(T), muni d'un point de torsion d'ordre un idéal premier n de F_q[T], alors le degré de n est au plus max(q,4). Nous utilisons pour cela une description de l'action de l'algèbre de Hecke sur les symboles modulaires de Teitelbaum et sur les formes modulaires pour F_q[T]. Lorsque le degré de n est petit, on obtient des résultats non conditionnels : il n'existe aucun module de Drinfeld de rang 2 sur une extension de degré au plus 2 (resp. au plus 3) de F_q(T) possédant un point de torsion d'ordre un idéal premier de degré 3 (resp. de degré 4 si q est au moins 7). Cela confirme partiellement une conjecture de Poonen et Schweizer de borne uniforme sur la torsion des modules de Drinfeld.
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Dates et versions

tel-00338117 , version 1 (11-11-2008)
tel-00338117 , version 2 (28-12-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00338117 , version 2

Citer

Cécile Armana. Torsion rationnelle des modules de Drinfeld. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00338117v2⟩
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