Affine Cluster Algebras
Algèbres Amassées Affines
Résumé
We introduce generic variables in acyclic cluster algebras $\mathcal A(Q)$. We give an explicit description of these variables in terms of AR-theory of the path algebra $kQ$ and prove that they form a $\mathbb Z$-basis in a certain class of cluster algebras, including affine type $\tilde A$.
We introduce generalized Chebyshev polynomials in order to study variables associated to regular modules. In particular, this allows to prove cluster multiplication formulas for regular modules over the path algebra $kQ$.
We give a simplified proof to a theorem of Buan, Marsh and Reiten interpreting the denominators of cluster variables in terms of tilting theory in the cluster category. We also study compatibility between the Caldero-Chapoton map and extended BGP functors.
Finally, we realize non simply laced cluster algebras as subalgebras of certain quotients of simply laced cluster algebras endowed with a group of automorphisms.
We introduce generalized Chebyshev polynomials in order to study variables associated to regular modules. In particular, this allows to prove cluster multiplication formulas for regular modules over the path algebra $kQ$.
We give a simplified proof to a theorem of Buan, Marsh and Reiten interpreting the denominators of cluster variables in terms of tilting theory in the cluster category. We also study compatibility between the Caldero-Chapoton map and extended BGP functors.
Finally, we realize non simply laced cluster algebras as subalgebras of certain quotients of simply laced cluster algebras endowed with a group of automorphisms.
Nous introduisons les variables génériques dans une algèbre amassée acyclique $\mathcal A(Q)$. Nous explicitons ces variables en termes de théorie AR de l'algèbre des chemins $kQ$ et montrons qu'elles forment une $\mathbb Z$-base pour une certaine classe d'algèbres amassées comprenant les algèbres amassées affines de type $\tilde A$.
Nous introduisons des polynômes de Chebyshev généralisés grâce auxquels nous pouvons montrer des formules de multiplications de type Caldero-Keller pour les variables associées aux $kQ$-modules réguliers.
Nous donnons une démonstration simplifiée d'un résultat de Buan, Marsh et Reiten interprétant les dénominateurs des variables d'amas en termes de théorie de basculement dans la catégorie amassée. Nous étudions aussi la compatibilité entre application Caldero-Chapoton et foncteurs BGP étendus.
Enfin, nous réalisons les algèbres amassées non simplement lacées comme sous-algèbres de quotients d'algèbres simplement lacées munies d'un groupe d'automorphismes.
Nous introduisons des polynômes de Chebyshev généralisés grâce auxquels nous pouvons montrer des formules de multiplications de type Caldero-Keller pour les variables associées aux $kQ$-modules réguliers.
Nous donnons une démonstration simplifiée d'un résultat de Buan, Marsh et Reiten interprétant les dénominateurs des variables d'amas en termes de théorie de basculement dans la catégorie amassée. Nous étudions aussi la compatibilité entre application Caldero-Chapoton et foncteurs BGP étendus.
Enfin, nous réalisons les algèbres amassées non simplement lacées comme sous-algèbres de quotients d'algèbres simplement lacées munies d'un groupe d'automorphismes.
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